专题3.3 立方根、实数的运算（12题型+高效培优讲义）数学新教材浙教版七年级上册

本初中数学讲义聚焦立方根与实数运算核心知识点，前承平方根、算术平方根概念，后启实数综合应用。通过立方根的定义、性质（正负零的立方根特征）及小数点移动规律构建知识支架，结合即学即练夯实基础，为实数混合运算及综合应用奠定逻辑基础。 资料以12类题型为核心，涵盖概念理解、规律探究（如立方根小数点移动）、实际应用（如正方体棱长计算）等，通过典例与变式题训练，培养学生运算能力与推理意识。融入中考真题与阶段检测题，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

专题3.3 立方根、实数的运算 教学目标 1. 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根。 2. 理解立方根的性质（正数、负数、零的立方根特征）。 3. 能进行简单的实数四则运算，体会类比思想，并能用计算器求平方根与立方根。 教学重难点 教学重点 1. 立方根的概念与开立方运算。 2. 实数的运算顺序与法则。 教学难点 1. 立方根符号表示复杂，易与平方根混淆，尤其是负数立方根的理解。 2. 立方根与平方根、算术平方根的混合运算及实数的综合应用。 知识点01 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2：立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 【即学即练1-1】（2026·山东济南·中考真题）27的立方根是________． 【答案】3 【分析】找到立方等于27的数即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴的立方根是． 【即学即练1-2】（25-26七年级下·天津津南·期末）计算的结果等于_________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义和性质，将被开方数写成某个数的立方，即可计算出这个数的立方根． 【详解】解：，， ∴， ∴． 知识点02 立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【即学即练2-1】（24-25八年级上·河南洛阳·阶段检测）若，则______． 【答案】5 【分析】本题考查了求立方根，正确理解立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义，可求出a的值，再代入计算，即得答案． 【详解】， ， ． 故答案为：5． 知识点03 立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【即学即练3-1】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 题型01 立方根概念理解 【典例1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）要使成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 【答案】D 【详解】解：开立方与立方运算互为逆运算，任意实数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是， 对任意实数，都满足． 【变式1】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根等知识，根据立方根、平方根、算术平方根和绝对值的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A．立方根等于它本身的数是0和，故原说法正确； B．平方根是它本身的数是0，故原说法错误； C．算术平方根是它本身的数是0 和1，故原说法错误； D．绝对值是它本身的数是0和正数，故原说法错误， 故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）若，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的性质，通过立方根的性质得到,再同时立方，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 故选：C． 题型02 求一个数的立方根 【典例2】（26-27八年级·全国·暑假作业）计算：______． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】（25-26七年级下·湖南常德·期中）计算：_____． 【答案】 【详解】解：． 【变式2】（25-26七年级下·重庆云阳·期中）计算__________． 【答案】4 【分析】根据立方根的定义求出的值，再根据有理数的符号运算法则计算，即可得到最终结果． 【详解】解：． 【变式3】（25-26七年级下·天津北辰·期中）的立方根等于______． 【答案】/ 【详解】解：的立方根为． 题型03 已知一个数的立方根，求这个数 【典例3】（25-26七年级下·山东临沂·期末）已知的立方根是，则____________． 【答案】 【详解】解：∵的立方根是， ∴． 解得：． 【变式1】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若一个数的立方根是，则这个数是__________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义，若一个数的立方根是，则这个数是的立方． 【详解】解：， 的立方根是， 这个数是． 【变式2】（25-26七年级下·广东江门·期中）已知，则的值是_____． 【答案】3 【分析】根据立方根的定义，对等式两边同时开立方，转化为一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：∵， ∴， 解得：. 【变式3】（2026·福建泉州·模拟预测）若，则___________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 题型04 立方根的性质 【典例4】（24-25七年级下·四川南充·期中）已知、、在数轴上位置如图所示，化简____________． 【答案】/ 【分析】先根据数轴得到，，那么，，再化简即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴， ∴ ． 【变式1】（24-25七年级下·江西南昌·期中）若，则的值为_____． 【答案】2或或 【分析】本题考查立方根的性质，解题的关键是根据立方根等于它本身的数的特点来建立方程求解． 利用立方根等于它本身的数有这一性质，分别令等于，然后求解的值． 【详解】因为立方根等于它本身的数只有，已知， 所以分以下三种情况讨论： 情况一：当时，解得； 情况二：当时，解得； 情况三：当时，解得； 综上，的值为2或或． 故答案为：2或或． 【变式2】（25-26八年级上·重庆万州·阶段检测）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果为________． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根，算术平方根及实数与数轴，熟练掌握立方根，算术平方根及实数与数轴是解题的关键；由数轴可知，，然后问题可求解． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴； 故答案为． 【变式3】（25-26八年级上·全国·单元复习）根据立方根的意义填空： _____，_____，______，_____，_____． 观察上述结果，猜想对于实数等于什么？对于式子（是整数）的化简，你有怎样的认识？ 【答案】2，，0，，；；当为偶数时，；当为奇数时， 【分析】此题考查立方根的定义及性质，求一个数的立方根，探究实数的计算规律，正确求出一个数的立方根是解题的关键． 先根据立方根定义填空，以此总结出的结果；对于式子（是整数）需要分为偶数和奇数进行讨论，得到偶次方根和奇次方根的结果． 【详解】解：；；；；， 则对于实数； 对于式子（是整数）， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 题型05 利用开立方解方程 【典例5】（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先将方程变形，求出的值，再根据平方根的定义求出的值，进而得到x的值； （2）先将方程变形，求出的值，再根据立方根的定义求出x的值． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． （2）解：， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念及应用，解题的关键是利用平方根和立方根的定义分别求解一元二次方程和一元三次方程． （1）对于方程，先通过移项将常数项移到等号右边，得到，再根据平方根的定义，即若（），则，求出方程的解； （2）对于方程，根据立方根的定义，即若，则，先求出的立方根，再解关于的一元一次方程，得到方程的解． 【详解】（1）解：， 移项，得， 根据平方根的定义，得． ∴方程的解为； （2） 根据立方根的定义，得， 移项，得． ∴方程的解为． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查利用立方根和平方根解方程，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义及运算． （1）先将方程变形为等于一个常数的形式，再利用立方根的定义求解； （2）先将方程变形为等于一个常数的形式，再利用平方根的定义求解． 【详解】（1）解：两边同时乘2，得． 两边同时开立方，得； （2）解：两边同时除以3，得． 两边同时开平方，得， 解得或． 【变式3】（24-25七年级下·重庆开州·期中）解方程： (1)； (2) ． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义． （1）利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： 或； （2）解： 题型06 平方根与立方根的综合 【典例6】（25-26七年级下·山东德州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2）解：，， ， 的平方根为． 【变式1】（25-26七年级下·广西玉林·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题； （2）先将由（1）得，代入，再求解的平方根即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴，解得：； （2）∵由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 【变式2】（25-26七年级下·云南楚雄·期中）已知的算术平方根是，的立方根是4. (1)求，的值. (2)求的平方根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义知、，据此求解可得； （2）将、的值代入，再根据平方根的定义计算可得． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是4， ∴， 解得：； （2）解：， 则的平方根为． 【变式3】（25-26七年级下·河南安阳·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质求解即可； （2）先求出，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 解得：； （2）∵， ∴的平方根为． 题型07 立方根的应用 【典例7】（25-26八年级上·山西·阶段检测）请根据如图所示的对话内容，解答下列问题．    (1)求该正方体印章的棱长． (2)求该长方体木匣的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根、立方根的应用，解决本题的关键是熟记算术平方根、立方根的定义． （1）根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答； （2）根据题意列出方程，由算术平方根的性质即可解答． 【详解】（1）解：设玉石印章的棱长为． 由题意，可得， 解得． 答：该正方体印章的棱长为． （2）解：设该长方体木匣的长为，则高也为． 由题意，可得， 解得（负值舍去）． 答：该长方体木匣的长为． 【变式1】（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图1是一个立方体木块，其体积是． (1)求立方体的棱长； (2)如图2所示，在立方体木块中挖去一个圆柱体后，木块体积只剩，求圆柱体底面半径．（取3.14） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根和平方根的应用，掌握正方体和圆柱体的体积是解题关键． （1）根据正方体的体积公式求解即可； （2）设圆柱体底面半径为，用正方体的体积减圆柱的体积列方程求解即可． 【详解】（1）解：立方体木块的体积是， 则棱长为； （2）解：设圆柱体底面半径为， 则， 解得：（负值舍去）， 即圆柱体底面半径为． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）根据下图所示的对话内容回答下列问题： (1)求魔方的棱长． (2)求长方体纸盒的长． 【答案】(1)魔方的棱长为 (2) 【分析】本题考查立方根的应用，解决本题的关键是熟记立方根的定义． （1）设魔方的棱长为．根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答； （2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为，根据题意列出方程，由立方根的性质即可解答． 【详解】（1）设魔方的棱长为． 由题意，得， 解得， 所以魔方的棱长为． （2）设长方体纸盒的长、宽、高分别为， 由题意，得， 解得， 所以长方体纸盒的长为． 【变式3】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段检测）实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的应用，熟练掌握平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）根据正方体体积公式求出正方体金属块的棱长即可； （2）先求出长方体容器的底面积，再求出长方体容器的底面边长即可． 【详解】（1）解：∵正方体金属块的体积为， ∴这个正方体金属块的棱长为； （2）解：重新铸造的长方体的底面积为：， ∴长方体容器的底面边长为：． 题型08 与立方根有关的规律探究问题 【典例8】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）填表． a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填写下列空格： 已知，则______，______． 【答案】，，1 ，10 ，100； ， 【分析】本题考查了立方根，与立方根有关的规律题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表格的值，分别求出对应的立方根，即可作答． （2）先根据，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，补充表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 （2）∵， 则，， 【变式1】（2025·福建福州·模拟预测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出准确地说出了答案．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙. (1)你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由，，请你确定是______位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定的个位上的数是______； ③如果划去59319后面的三位319得到59，而，，请你确定的十位上的数是______． (2)已知19683是整数的立方，按照（1）中的方法，请你求出它的立方根； (3)请直接写出______． (4)是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并说明理由． 【答案】(1)①两②9③3 (2)27 (3)0.27 (4)23 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是理解并掌握立方根的定义及其延伸． （1）根据已给推理过程，按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）根据一个数的小数点向左（右）每移动三位其立方根的小数点就向左（右）移动一位进行求解即可； （4）仿照已给的推理过程求解即可． 【详解】（1）解：，， 是两位数， 的个位上的数是9，而只有个数是9的数的立方个位才是9， 的个位上的数字是 9 划去59319后面的三位 319 得到数 59，，，， 的十位上的数字是 3， 故答案是：两，9，3； （2）解：，， 是两位数， 的个位上的数是3，而只有个数是7的数的立方个位才是3， 的个位上的数字是 7， 划去19683后面的三位 683得到数 19，，，，的十位上的数字是2， ； （3）解：， ， 故答案为：； （4）解：，， ， 是两位数， 划去279841后面的四位9841得到数 27，，，，的十位上的数字是2， 的个位上的是1，而个数是1、3、7、9的数的四次方个位才是1， 验证可得 【变式2】（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【答案】(1)两 (2) (3)；； 【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据的整数次幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比相邻整数的立方确定高位数字，即可求出结果． 【详解】（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 【变式3】（25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 题型09 实数的混合运算 【典例9】（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 【变式1】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解：原式 【变式2】（2026八年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式3】（25-26七年级下·天津津南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号后合并同类二次根式即可得到结果； （2）先计算平方，化简绝对值，再去括号合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型10 程序设计与实数运算 【典例10】（25-26七年级上·山东淄博·期末）根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时，则输出的y的值等于_____． 【答案】 【分析】本题考查了流程图，算术平方根的计算，根据题意得到，得到，结合算术平方根的计算法则计算即可求解． 【详解】解：输入x的值是1时，， ∴， 故答案为： ． 【变式1】（24-25八年级上·河南周口·期中）小文编写了一个程序：输入立方根平方根，则为________． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 沿程序流程图逆向推导即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 【变式2】（2026·贵州黔东南·一模）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是________． 【答案】 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的性质，根据题意，先求出的算术平方根，在再求出立方根，即可． 【详解】解：计算程序可得，， ∴取算术平方根为， ∴取的立方根为， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）根据图中的程序，当输入x为64时，输出的值是________．    【答案】 【分析】根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的时，输出的值是多少即可． 【详解】解：当输入x为64时， ，8是有理数， ， 是无理数， ∴当输入的时，输出的值是． 故答案为：． 题型11 新定义下的实数运算 【典例11】（24-25七年级下·安徽淮南·阶段检测）定义新运算“☆”：☆，则______． 【答案】6 【分析】本题考查了新定义运算，求算术平方根，根据新定义运算结合运算法则计算即可得解，解题的关键是理解新定义运算． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）若对于实数x、y定义一种新运算：，则______． 【答案】6 【分析】代入新运算计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：6 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义运算：，则________． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴． 【变式3】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段检测）定义一种新运算，分别用和表示实数x的整数部分和小数部分．例如：；． (1)_____________，_____________． (2)如果，求的算术平方根． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求算术平方根． （1）利用算术平方根估算，即可求解； （2）先利用算术平方根估算和，得出a和b的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ，， ， ， ∴的算术平方根是． 题型12 与实数运算相关的规律题 【典例12】（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第1行               第2行           第3行        第4行   ．．．                 ．．． 根据数阵的规律，第10行从右往左数第二个数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索题，根据数阵的规律，每一行的最后一个数的被开方数是行数与的乘积，即，第10行最后一个数的被开方数为，因此从右往左数第二个数的被开方数为，即，即可作答． 【详解】解：观察数阵，第1行最后一个数为， 第2行最后一个数为， 第3行最后一个数为， 以此类推，第行最后一个数为， 因此第10行最后一个数为， 由于数阵中的被开方数是连续的正整数，从右往左数第二个数的被开方数为， ∴第10行从右往左数第二个数是， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·广东江门·期中）有这样一列数他们分别是，，，，，……，按照此规律，第11个数是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出变化规律是解题的关键． 根据，，，，，，则第个数是，从而求解． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个数是， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段检测）有一列数按如下规律排列：，，，，，，…则第10个数是________，第个数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律问题，先判断序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分子为2的序号数次方，分母为序号数加上1的算术平方根，即可得出第10个数，进而得出第n个数． 【详解】解：∵一列数按如下规律排列：，，，，，，…， ∴序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分子为2的序号数次方，分母为序号数加上1的算术平方根， 则第10个数是，第个数是． 故答案为：，． 【变式3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子： ； ； ； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：＝ ；＝ ； (2)猜想规律：＝ （n为正整数）； (3)利用规律计算的值． 【答案】(1)5，6 (2)n (3) 【分析】本题考查数字变化的规律，解题的关键是： （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）提取3之后，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ， ， 故答案为：5，6． （2）由（1）知， 从1开始连续个奇数的和等于的平方， 又， 所以． 故答案为：． （3）原式 ． 一、单选题 1.（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列说法正确的是（     ） A．正数有两个互为相反数的立方根 B．负数没有立方根 C．一个数的立方根的符号与这个数的符号相同 D．的立方根是 【答案】C 【详解】解：根据立方根的定义：若，则是的立方根， 任何实数都只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， A选项，正数只有一个正的立方根，故A错误； B选项，负数有一个负的立方根，故B错误； C选项，正数的立方根为正，负数的立方根为负，的立方根为， 因此一个数的立方根的符号与这个数的符号相同，故C正确； D选项，的立方根只有一个，故D错误． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C． D．立方根等于本身的数只有 【答案】C 【详解】解：∵ 正数的立方根是正数，，∴ 的立方根是，A错误； ∵ 负数有一个负的立方根，，∴ 的立方根是，B错误； ∵ ，，∴ ，C正确； ∵ ，，，∴ 立方根等于本身的数是，D错误． 3．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根和立方根的性质，逐项判断，即可解答． 【详解】解：，故A错误． ，故B错误． ，故C正确． ， ，故D错误． 4．（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【答案】A 【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可． 【详解】， ， 又 ， ． 二、填空题 5．（25-26七年级下·四川成都·期末）25的算术平方根是________，的立方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴25的算术平方根是5，的立方根是． 6．（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知，，则____________． 【答案】 【分析】本题考查立方根的运算性质，将变形为，再利用立方根的乘法性质拆分计算，结合已知条件即可求出结果． 【详解】． 7．（25-26七年级下·福建福州·期末）若的立方根是，则的平方根是________． 【答案】 【分析】先根据题意可得的值，然后求的平方根即可． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， 解得：， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 8．（25-26七年级下·北京大兴·期末）已知一个正方体的棱长为，若它的体积变为原来的27倍，则改变后正方体的棱长为_______． 【答案】 【详解】解：原正方体的棱长为， 原正方体体积为 ， 改变后正方体体积为 ， 设改变后正方体的棱长为， 可得， 解得. 三、解答题 9．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列方程中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 10．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段检测）已知一个正方体的体积为． (1)求该正方体的棱长； (2)若将该正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？ 【答案】(1)； (2)棱长变为原来的2倍． 【分析】本题考查了立方根的实际应用及正方体的体积公式，熟练掌握正方体的体积公式是解题的关键． （1）设正方体的棱长为，根据正方体的体积公式，列出方程，解方程即可； （2）根据题意，计算出正方体变化后的体积，根据体积公式，计算出变化后的棱长，即可得解． 【详解】（1）设正方体的棱长为，由题意得：， 解得：， 答：该正方体的棱长为6cm； （2）当正方体的体积变为原来的8倍，即体积为 设此时正方体的棱长为， 由题意得：， 解得：， 答：它的棱长变为原来的2倍． 11．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）已知是27的立方根，是的算术平方根与的立方根的和，是的平方根． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小； (2)求的所有可能值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根及实数的大小比较，解题的关键是掌握立方根和算术平方根的定义，注意一个正数有两个平方根， (1)中由27的立方根得，由的算术平方根与的立方根求和得，再计算，比较三个数的大小； (2)中先计算，再由平方根的定义得． 【详解】（1）解：是27的立方根， ， 的算术平方根为的立方根为， ， ， ， ； （2）解：， 是的平方根， ． 12．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 【答案】(1)20； (2)4． 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为4、16， 小正方形的边长为，大正方形的边长为， ，， 长方形的周长为； （2）解：， 即图中两块阴影部分的面积之和为4． 1、 单选题 1.（25-26七年级下·山西吕梁·期末）下列说法正确的是（     ） A．的平方根和立方根都是 B．负数的平方根仍是负数 C．一个数的算术平方根比这个数小 D．两个数互为相反数，它们的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】结合平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，通过举反例排除错误选项． 【详解】解：A．∵的平方根是，立方根是，∴A错误． B．∵负数没有平方根，∴B错误． C．∵的算术平方根是，的算术平方根是，均等于原数；的算术平方根是，大于原数，∴C错误． D．设互为相反数的两个数为与，∵它们的立方根分别为和，∴两个数互为相反数时，它们的立方根也互为相反数，∴D正确． 2．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，三组数均相等，不互为相反数． 选项D中，与互为相反数． 3．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 4．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（   ） A．11 B．16 C．28 D．44 【答案】C 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出a的值，进而求出x的值，再根据立方根的定义求出y的值即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； ∵实数的立方根是， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 二、填空题 6．（25-26七年级下·陕西商洛·期末）若一个正数的两个不同平方根是和，则的立方根为________． 【答案】 【分析】根据正数的两个不同平方根互为相反数的性质，列方程求出的值，再计算的立方根即可. 【详解】解： 一个正数的两个不同平方根互为相反数， ， 去括号，合并同类项得 ， 解得， ， 的立方根为. 7．（25-26七年级下·安徽六安·阶段检测）若，，则______． 【答案】8 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 8．（25-26七年级下·广东湛江·期中）已知，，则______． 【答案】 【分析】根据已知的式子，结合立方根的定义找到规律：被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，相应的立方根的小数点向右（或向左）移动一位，据此解答即可． 【详解】解：， 且被开方数的小数点向右移动三位，相应的立方根的小数点向右移动一位， ． 9．（25-26七年级下·陕西延安·期中）小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【答案】6 【分析】先根据正方体体积公式求出印章的棱长，得到长方体木匣的宽，再设木匣的长为未知数，根据长方体体积公式求解即可． 【详解】解：设正方体印章的棱长为， 由正方体体积公式得：， ∴， 因此木匣的宽为， 设木匣的长为，则木匣的高也为， 根据长方体体积公式可得：，即， 所以， 即木匣的长为． 10．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）已知有理数a，b满足，则_____． 【答案】 【分析】先将该等式整理，按照有理数和无理数进行分组得到，根据有理数和无理数的和为无理数，得出是有理数，即可解答． 【详解】解：， ， ， ∵a，b都是有理数， ∴，解得：， ∴． 三、解答题 11．（24-25七年级下·四川南充·阶段检测）计算 (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）依次计算乘方，绝对值，立方根，再合并化简即可； （2）按照先乘方，再乘除，最后加减的顺序计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 13．（25-26七年级下·山西朔州·期末）手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗，球的体积公式是，其中r是球的半径）． (1)求融合后大球的半径（结果保留根号）； (2)判断融合后大球的半径能否达到，并说明理由． 【答案】(1)融合后大球的半径为 (2)融合后大球的半径不能达到． 理由如下： 因为，，， 所以，即融合后大球的半径不能达到． 【分析】（1）融合后大球的体积等于半径为的球与半径为的球的体积之和，根据球的体积公式求出，再开立方求出r； （2）判断融合后大球的半径能否达到，就是比较无理数与6的大小关系，可将和6分别立方，立方大的，立方根也大． 【详解】（1）解：融合后大球的体积V= 设融合后大球的半径为． 根据题意，得， 所以． 所以 答：融合后大球的半径为． （2）略． 14．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【答案】(1)，或；； (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的定义以及实数大小比较，关键是根据平方根的双值性求出的所有可能值，再分别计算和，从而比较大小和求的值． （1）先根据立方根的定义求出，再根据平方根和立方根的定义求出的所有可能值，然后计算，最后根据正数大于负数，以及正数之间的大小比较规则比较，，的大小． （2）先根据的不同取值分别计算的值，再对结果进行平方，得到的所有可能值． 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴． ∵的平方根是，的立方根是， ∴当取时，；当取时，． ∴或． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴； 综上，； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 故只有一个值为． 15．（25-26七年级下·山东日照·期中）人教版七年级数学下册第59页《数学活动2》讲述我国著名数学家华罗庚的故事，同时揭示了数学中求立方根的奥秘．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是________，由此求得________； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①________，②________． 【答案】(1)①两；②9；③3，39 (2)①；② 【分析】（1）①由可知是两位数； ②由可知的个位上的数是9； ③由可知的十位上的数是3，进而得出； （2）①的立方根是负数，由可知是两位数；由可知的个位上的数是8；由可知的十位上的数是4；进而得出，即可求出的值； ②由于，仿照①的步骤求出即可求解． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数； ②的个位上的数是9，而， 的个位上的数是9； ③，，， 的十位上的数是3， 又的个位上的数是9， ； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵110592的个位上的数是2，而， ∴个位上的数是8， ∵划去后面的三位得到数，而，， ， 十位上的数为4， ∴， ∴； ②∵， ，，， ， 是两位数， ∵个位上的数是，而， 个位数是1， ∵划去后面的三位得到数，而， ∴， 十位数为8， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.3立方根、实数的运算 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01立方根的定义 知识点02立方根的性质 2.知识清单 知识点03立方根小数点位数移动规律 题型01立方根概念理解 题型02求一个数的立方根 题型03已知一个数的立方根，求这个数 题型04立方根的性质 立方根、实 题型05利用开立方解方程 数的运算 题型06平方根与立方根的综合 3.题型精讲 题型07立方根的应用 题型08与立方根有关的规律探究问题 题型09实数的混合运算 题型0程序设计与实数运算 题型1新定义下的实数运算 题型12与实数运算相关的规律题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根。 教学目标 2.理解立方根的性质（正数、负数、零的立方根特征）。 3.能进行简单的实数四则运算，体会类比思想，并能用计算器求平方根与立方根。 教学重点 教学重难点 1.立方根的概念与开立方运算。 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.实数的运算顺序与法则。 教学难点 1.立方根符号表示复杂，易与平方根混淆，尤其是负数立方根的理解。 2.立方根与平方根、算术平方根的混合运算及实数的综合应用。 知识清单 知识点01立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果x=a,那 么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方 注意：一个数a的立方根，用a表示，其中a是被开方数，3是根指数.开立方和立方互为逆运算 2:立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同.两个 互为相反数的数的立方根也互为相反数 【即学即练1-1】(2026山东济南中考真题)27的立方根是 125 【即学即练1-2】(25-26七年级下·天津津南·期末)计算} 2> 的结果等于 知识点02立方根的性质 -a=-a a =a (a'=a 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题 【即学即练21】(24-25八年级上河南洛阳阶段检测)若ā=-5，则-a=一 知识点03立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例 如， 0.000216=0.06,/0.216=0.6216=6,216000=60 【即学即练3-1】(25-26七年级下·河北秦皇岛期中)探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： a 0.0001 0.01 1 10 10000 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 √a 0.01 y 100 (1)表格中x= y= (2)从表格中探究a与√a数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知V10≈3.16，则V1000≈ ②已知V3.24=1.8,若Va=180,则a=_ (3)拓展：已知0.214≈0.5981,2.14≈1.289,21.4≈2.776，则2140=」 题型精讲 题型01立方根概念理解 【典例1】(25-26七年级下吉林长春期中)要使云=a成立，那么a的取值范围是（) A.a≤0 B.a<0 C.a20 D.任意数 【变式1】(25-26七年级上浙江湖州期末)对问题“已知x-1=x-1,求x的值”，甲、乙两人的说法 如下： 甲：x的值是1；乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值. 下列对甲、乙说法的判断正确的是() A.甲说得对，符合条件的x的值只有1 B.乙说得对，x还有另一个值2 C.乙说得对，x还有另一个值-1 D.两人说得都不对，x应有3个不同值 【变式2】(25-26八年级上·上海嘉定·期中)下列说法正确的是() A.立方根是它本身的数是0和±1 B.平方根是它本身的数是0和1 C.算术平方根是它本身的数是1 D.绝对值是它本身的数是0 【变式3】(25-26八年级上四川宜宾阶段检测)若x+-y=0,则x与y的关系是() A.x=y=0 B.x+y=0 C.x=y D.y=1 题型02求一个数的立方根 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(26-27八年级全国暑假作业)计算：-27= 【变式1】(25-26七年级下·湖南常德期中)计算： 【变式2】(25-26七年级下·重庆云阳期中)计算--64= 27 【变式3】(25-26七年级下天津北辰期中)125的立方根等于 题型03已知一个数的立方根，求这个数 【典例3】(25-26七年级下山东临沂·期末)已知4a-3的立方根是-3，则a= 【变式1】(25-26七年级下·河北沧州期末)若一个数的立方根是-1，则这个数是 【变式2】(25-26七年级下'广东江门期中)已知(x-°=8，则x的值是 【变式3】(2026福建泉州模拟预测)若-a=-3,则a=」 题型04立方根的性质 【典例4】(24-25七年级下·四川南充期中)已知a、b、c在数轴上位置如图所示，化简 V(c-a)2+b+c-Vb a0c→ 【变式1】(24-25七年级下江西南昌期中)若2x-4=2x-4,则x的值为 【变式2】(25-26八年级上·重庆万州阶段检测)实数4，b,c在数轴上对应的点的位置如图所示，那么 化简e+la+bl+V(c-a}的结果为 b c 0 a 【变式3】(25-26八年级上全国单元复习)根据立方根的意义填空： 23- 2 -3 观察上述结果，猜想对于实数a,a等于什么？对于式子a(n≥2，n是整数)的化简，你有怎样的认识？ 题型05利用开立方解方程 【典例5】(25-26八年级上·四川成都阶段检测)解方程： 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1①)4(x+2)}-36=0: (2)x3-8=0 【变式1】(25-26八年级上·广东佛山阶段检测)解方程： (1)x2-16=0: (2)(x+3)3=-8 【变式2】(25-26八年级上陕西西安期中)解方程： 时4 (2)3(x+1)}-27 【变式3】(24-25七年级下·重庆开州期中)解方程： 02x--20, 9 (2)(-2+x)=-125 题型06平方根与立方根的综合 【典例6】(25-26七年级下·山东德州期中)已知4a+3的立方根是3,3a+b的算术平方根是5. (1)求a,b的值： (2)求3a-b的平方根. 【变式1】(25-26七年级下广西玉林期中)已知2a-1的平方根是±3,25+b的立方根是3. (I)求a,b的值 (2)求2a+3b的平方根. 【变式2】(25-26七年级下·云南楚雄期中)己知3x-5的算术平方根是2,5x-7y的立方根是4. (1)求x,y的值 (2)求2x-y+12的平方根. 【变式3】(25-26七年级下河南安阳期中)己知x-2的平方根是+2，x+3y-9的立方根是-3. (1)求y的值： (2)求x2+y的平方根. 题型07立方根的应用 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【典例7】(25-26八年级上·山西·阶段检测)请根据如图所示的对话内容，解答下列问题. 我有一枚正方体的玉石印章， 我有一枚长方体的木厘，它的 它的体积是125cm3 体积是180cm3,木匣的宽与 你的印章的棱长相等，木匣 的长与高相等 (1)求该正方体印章的棱长. (②)求该长方体木厘的长。 【变式1】(25-26七年级上·浙江温州期中)如图1是一个立方体木块，其体积是1000cm3 图1 图2 (1)求立方体的棱长： (2)如图2所示，在立方体木块中挖去一个圆柱体后，木块体积只剩497.6cm,求圆柱体底面半径.（π取 3.14) 【变式2】(25-26八年级上·全国课后作业)根据下图所示的对话内容回答下列问题： 我有一个正方体的魔方，它的体积是216cm 我有一个长、宽、高之比为31：3的长 方体纸盒，它的体积与你的魔方的体 积之比为8：3。 (1)求魔方的棱长. (2)求长方体纸盒的长. 【变式3】(24-25七年级下河北廊坊阶段检测)实验课上，张老师拿出一块体积为216cm的正方体金属 块，并提出了两个问题： ()这个正方体金属块的棱长是多少？ (②)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新 铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为3.375cm,求这个长方体容器的底面边长. 题型08与立方根有关的规律探究问题 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例8】(25-26八年级上全国课后作业)(1)填表. g 0.000001 0.001 1 1000 1000000 a (2)根据你发现的规律填写下列空格： 已知3=1.442，则3000= 30.003 a 0.000001 0.001 1000 1000000 a 0.01 0.1 1 10 100 【变式1】 (2025·福建福州模拟预测)据说， 我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻 座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根.华罗庚脱口而出准确地说出 了答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙 (1=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729 ()你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①由10°=1000,1003=1000000，请你确定59319是 位数； ②由59319的个位上的数是9，请你确定59319的个位上的数是 ③如果划去59319后面的三位319得到59，而3-27,4=64，请你确定59319的十位上的数是 (2)已知19683是整数的立方，按照(1)中的方法，请你求出它的立方根： (3)请直接写出0.019683= (4)279841是我们没有学习过的四次方根，且它的结果也是一个整数，请你根据材料的方法求出结果，并 说明理由， 【变式2】(25-26七年级下广东广州期中)著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有 一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39.你知道华罗庚是怎样准确迅速地计 算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由103=1000,100=1000000，请问59319是几位数？答：位数： (2)由59319的个位上的数是9，即59319的个位上的数是 (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27,43=64，那59319的十位上的数是 已知5832,421875都是整数的立方，按照上述方法，5832= .421875= 【变式3】(25-26七年级下·重庆綦江·期末)小明想要探究被开方数末尾带“0时，算术平方根与立方根 的变化规律， 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 已知V1=1,则V100=10,V10000=100:已知V5=3,则V900=30,√90000=300： 己知近=1，则1000=10,000000=100：已知8=2，则8000=20,8000000=200： ()根据小明的发现，请填空：若Va=2.5,那么100a=_:若6=-1.2，那么000000b=_ (2)现有一个长方形，其长和宽分别用x,y来表示，且满足x+y-8=4。 ①求该长方形的周长C. ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长C,请利用(1)中所得规律，求出VC的值. 题型09实数的混合运算 【典例】(26-27八年级上湖南衡阳开学考试)计算：(-)26+V9+8)-V2-3引 【变式1】(26-27八年级上陕西西安开学考试)计算：V9-1-+(-2}-27 【变式2】(2026人年级上全国专题练习》计算：2+1-51-(2 【变式3】(25-26七年级下·天津津南期末)计算： 1)23+2)-25, (2(5+26-27+2W6-7): 题型10程序设计与实数运算 【典例10】(25-26七年级上·山东淄博期末)根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是1时， 则输出的y的值等于 +V3 输入x的值 否 x1+V3) 【变式1】(24-25八年级上河南周口期中)小文编写了一个程序：输入x→立方根→平方根→±2，则 x为 【变式2】(2026贵州黔东南·一模)按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为64，则最后输出'的 值是 输入x→取算术平方根→取立方根→输出y 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26七年级上浙江杭州期中)根据图中的程序，当输入x为64时，输出的值是 是 否 y=vx 输入x ≥0 y是无理数 输出y y=-沉 题型11新定义下的实数运算 【典例11】(24-25七年级下安徽准南阶段检测)定义新运算“☆”：a☆b=Vab+4,则8☆(3☆4)= 【变式1】(25-26八年级上山东枣庄阶段检测)若对于实数x、y定义一种新运算：x⊕y=√y+4,则 4⊕8= 【变式2】(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨期中)定义运算：a*b=√a-b,则8*(-1)= 【变式3】 (23-24八年级上江苏宿迁·阶段检测)定义一种新运算，分别用[)和(x)表示实数x的整数部 分和小数部分.例如：[3.5]=3，(3.5)=0.5：[3]=1，(3)=3-1. (1)[V10]= ,(10)= (②)如果(7)=a,[41]=b,求a+b-V7的算术平方根. 题型12 与实数运算相关的规律题 【典例12】(25-26八年级上·河南平顶山阶段检测)如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第1行 1√2 第2行 5256 第3行 7⑧3√0√112 第4行 13V141547√18√19√20 根据数阵的规律，第10行从右往左数第二个数是 【变式1】(24-25七年级下·广东江门期中)有这样一列数他们分别是V5,√20，√45，√80，V25, …, 按照此规律，第11个数是 2315 【变式2】(23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段检测)有一列数按如下规律排列： 2,4’4’16 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 √6√ 32’ 64,…则第10个数是 第个数是 【变式3】(23-24八年级上辽宁沈阳期中)请观察下列式子： =1: 1+3=4=2: V1+3+5=V9=3: V1+3+5+7=V16=4」 根据阅读解决下列问题： (1)计算：V1+3+5+7+9=-;V1+3+5+7+9+11=-: (2)猜想规律： √1+3+5+7+9+11+.+(2n-l)=_(为正整数)： (3)利用规律计算√3+9+15+21+27+33+…+603的值. 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末)下列说法正确的是() A.正数有两个互为相反数的立方根 B.负数没有立方根 C.一个数的立方根的符号与这个数的符号相同 D.2的立方根是±迈 2.(25-26七年级下·福建福州期中)下列结论正确的是() A.27的立方根是±3 B.-8没有立方根 C.8=-8 D.立方根等于本身的数只有0 3.(25-26七年级下·湖北孝感期末)下列各式中正确的是() A.36=6 B.V32=-3 C.-3=-3 D.30.08=0.2 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 4. (25-26七年级下福建南平期中)若2.14≈1.289,21.4≈2.776，则2140≈（) A.12.89 B.27.76 C.128.9 D.277.6 二、填空题 5.(25-26七年级下四川成都期末)25的算术平方根是 -27的立方根是 6.(25-26七年级下·内蒙古通辽阶段检测)已知2=1.2599,20=2.7144，则0.02= 7.(25-26七年级下福建福州期末)若x+5的立方根是2，则x+1的平方根是 8.(25-26七年级下北京大兴期末)已知一个正方体的棱长为2cm,若它的体积变为原来的27倍，则改 变后正方体的棱长为_cm。 三、解答题 9.(2025八年级上全国专题练习)求下列方程中x的值： (①)(2-x)°=64： (2)64(x+1)3-125=0 10.(24-25七年级下·安徽蚌埠阶段检测)已知一个正方体的体积为216cm. (1)求该正方体的棱长： (2)若将该正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？ 1 11.(25-26七年级下江苏南通阶段检测)已知。是27的立方根，b是g的算术平方根与8的立方根的 和，c是a+6b的平方根. (I)直接写出a,b的值，并比较a,b,a-b的大小： (2)求C的所有可能值. 12.(25-26七年级上河北唐山阶段检测)如图，在长方形ABCD内，两个正方形的面积分别为4、16. D 16 C (I)求长方形ABCD的周长： (2)图中两块阴影部分的面积之和为 能力提升 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(25-26七年级下·山西吕梁期末)下列说法正确的是() A.1的平方根和立方根都是1 B.负数的平方根仍是负数 C.一个数的算术平方根比这个数小 D.两个数互为相反数，它们的立方根也互为相反数 2.(24-25八年级上山东青岛阶段检测)下列各组数中，互为相反数的是() A.2与2 B.-2与8 c.2与(2) D.-2与V-2 3.(24-25七年级下四川德阳期中)已知0.214≈0.5981， 2.14≈1.289,21.4≈2.776，则21400≈ () A.27.76 B.12.89 c.59.81 D.5.98 4.(25-26七年级下·湖南邵阳期中)已知一个正数x的两个平方根分别是a+3和2a-12,实数y的立方 根是-2，则x+y的值为() A.11 B.16 C.28 D.44 5.(25-26七年级下·陕西商洛·期中)如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为 150cm,图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大91cm,则图2的正方体礼盒的表面积为 () 图1 图2 A.216cm2 B.243cm2 C.157cm2 D.132cm2 二、填空题 6.(25-26七年级下~陕西商洛期末)若一个正数的两个不同平方根是a+7和2a-4,则a的立方根为 7.(25-26七年级下安徽六安阶段检测)若ā=-2，Vb=4,则a+b= 8.(25-26七年级下广东湛江期中)已知2.061≈1.273,20.61≈2.742，则20610≈ 9.(25-26七年级下陕西延安期中)小亮有一枚体积为125cm的正方体玉石印章，可以放进一个体积为 180cm3的长方体木厘中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木厘 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的长为 cm 10,(25-6七年级下四训鹊阳期中)已知有理数a,6清足5-5a=-26+号6-a,则g+6=— 三、解答题 11.(24-25七年级下·四川南充阶段检测)计算 ①(-2}'+小2-5-3+64 a--(2×g+2*(j 12.(25-26七年级上浙江宁波·期中)如图所示，已知正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为√2和 3. E G ←2长—3 ()三角形BGF的面积为：一；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积.（结果保留根号） 13.(25-26七年级下·山西朔州：期末)手工课上，同学们将两个半径分别是3cm，,5cm的实心彩泥球揉捏 4 融合做成了一个更大的实心球（不计损耗，球的体积公式是”= ,其中r是球的半径). (1)求融合后大球的半径（结果保留根号）； (2)判断融合后大球的半径能否达到6Cm,并说明理由， 14.(25-26七年级上~浙江杭州期末)已知。是27的立方根，b是g的平方根与8的立方根的和，c是 a+6b的平方. (I)直接写出a,b的值，并比较a,b,a-b的大小. (2)求c的所有可能值. 15.(25-26七年级下·山东日照·期中)人教版七年级数学下册第59页《数学活动2》讲述我国著名数学家 华罗庚的故事，同时揭示了数学中求立方根的奥秘.我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上 邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根.华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问 计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求59319 13114 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①由103=1000,1003=1000000，可以确定59319是 位数； ②由5319的个位上的数是9，可以确定59319的个位上的数是 ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=-27,43=64，可以确定59319的十位上的数是 由此求得59319=： (2)请你根据(1)中小明的方法，完成如下填空： ①3-110592= ②0.531441= 14114