第3章第6讲平方根和立方根（3.1、3.3）专题讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第3章 实数　第6讲 平方根和立方根(3.1、3.3) 第3章 实数 第6讲 平方根和立方根(3.1、3.3) 专题讲义 A组 1. 下列等式成立的是（　　） 2. 下列说法正确的是（　　） A. 4 的平方根是 2 B. 平方根是它本身的数是 0 D. 负数没有立方根 3. 若 ，，则 a+b=（　　） A. -5 或 -11 B. -5 C. -11 D. 5 或 11 4. 一个长、宽、高分别为 50cm，8cm，20cm 的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是（　　） A. 40cm B. 200cm C. 20cm 5. 已知，，则 的值为（　　） A. 0 或 1 B. 0 或 2 C. 0 或 6 D. 0，2 或 6 6. 若 是一个正整数，则满足条件的最小正整数 n=＿＿＿。 7. 已知一个数的两个平方根分别是 a+2 和 a-18，则这个数是＿＿＿。 8. 已知 ，则 的值为＿＿＿。 9. 已知 ，当 x=＿＿＿ 时，y 的最小值是＿＿＿。 10. 若 x，y 都是实数，且 ，则 xy=＿＿＿。 11. 已知 2a+1 的平方根为 ±3，3a+b-1 的算术平方根为 4，求 a+2b 的平方根。 12. 利用平方根、立方根的概念解下列方程： ； ； ； 。 13. 若实数 a，b 满足 ，请按要求解答下列问题： (1)若 a，b 都是整数，请写出一对符合条件的 a，b 的值。 (2)若 a，b 都是分数，请写出一对符合条件的 a，b 的值。 B组 14. 已知 ，，，。若 n 为整数且 ，则 n 的值为（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 15. 若 a 为有理数，下列代数式：，100a，|a|+2，，，，，|4-a|， 中，一定有平方根的数有（　　） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 16. 观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题： 【发现规律】(1)在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向＿＿＿移动＿＿＿位。 【运用规律】(2)已知 ，则 ，。 【类比探究】(3)已知 ，则 ，。 17. 阅读理解。观察下列变形： ；；；… 解答下列各题： (1)填空：；；。 (2)请你写出两个符合上述规律的式子。 18. 计算下列各式，根据计算结果，回答问题： ，，，，，。 一定等于 a 吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来。 (2)利用你总结的规律，计算：。 (3)有理数 a，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：。 19. 国庆手抄报展览即将开始。为制作出精美的国庆主题展览作品，小华想用一张面积为 的正方形卡纸，沿着边的方向裁出一张面积为 的长方形卡纸，用于制作展览作品的背景。 (1)请你帮小华设计一种可行的裁剪方案。 (2)若设计长方形卡纸的长宽之比为 5：3，小华能用这张卡纸裁出符合要求的长方形卡纸吗？若能，请你帮助小华设计裁剪方案；若不能，请说明理由。 C组 20. 当 a+b=0 时， 成立。若将 a 看成 的立方根，b 看成是 的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”。请利用这一结论解决问题：若 与 的值互为相反数，则 x=＿＿＿。 21. 对 a，b 定义新运算“*”如下：当 a≥b 时，；当 a<b 时，。已知 (-2)*m=-12，则实数 m=＿＿＿。 22. 若 ，其中 a，b 均为整数，则 |a+b|=＿＿＿。 23. 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求 59319 的立方根。华罗庚脱口而出：39。众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘。你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①因为 ，，又因为 1000<59319<1000000，所以 ，所以能确定 59319 的立方根是个两位数； ②因为 59319 的个位数是 9，又因为 ，所以能确定 59319 的立方根的个位数是 9； ③如果划去 59319 后面的三位 319 得到数 59，而 ，则 ，可得 ，由此能确定 59319 的立方根的十位数是 3，因此 59319 的立方根是 39。 (1)现在换一个数 195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空。 ①它的立方根是＿＿＿位数； ②它的立方根的个位数是＿＿＿； ③它的立方根的十位数是＿＿＿；④195112 的立方根是＿＿＿。 (2)请直接填写结果： ①； ②。 24. 定义：若无理数 的被开方数（T 为正整数）满足 （其中 n 为正整数），则称无理数 的“共同体区间”为 (n,n+1)。例如：因为 ，所以 的“共同体区间”为 (1,2)。请回答下列问题： 的“共同体区间”为＿＿＿。 (2)若无理数 的“共同体区间”为 (2,3)，求 的“共同体区间”。 (3)若整数 x，y 满足关系式：，求 的“共同体区间”。 参考答案 A组 1. A 2. B 3. A 4. C 5. B 6. 3 7. 100 8. -1 9. 7 19 10. 2 11. 因为 2a+1 的平方根为 ±3，所以 2a+1=9，解得 a=4；因为 3a+b-1 的算术平方根为 4，所以 3a+b-1=16，即 12+b-1=16，解得 b=5，所以 a+2b=4+10=14，所以 a+2b 的平方根为 。 12. (1)因为 ，所以 x=±3。 (2)因为 ，所以 x-1=2，所以 x=3。 (3)因为 ，所以 x-1=49，所以 x=50。 (4)因为 ，所以 x-1=-8，所以 x=-7。 13. (1)因为 ，，所以 a=1，b=-27。 (2)因为 ，，所以 ，。 B组 14. B 15. C 16. (1)右　一 (2)因为 ，所以 ，。故答案为 0.235；23.5。 (3)在算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的算术平方根的小数点就向右移动一位。因为 ，所以 ，。故答案为 19.13；191.3。 17. (1)144　12　256　16　576　24 ；。（答案不唯一） 18. ，，，，，。 (1)不一定，a≥ 0 时，，a<0 时，，即 。一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 (2)因为 3.14<π，所以 ，故答案为 π-3.14。 (3)观察数轴可知 -2<a<-1，0<b<1，a-b<0。所以原式=|a|+|b|-|a-b|=-a+b+a-b=0。 19. (1)设面积为 的正方形纸片的边长为 a cm，所以 ，所以 a=±20。又因为 a>0，所以 a=20。又因为要裁出的长方形面积为 ，所以若以原正方形纸片的边长为长方形的长，则长方形的宽为 300÷20=15(cm)，所以可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为 15cm 的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形。 (2)因为长方形纸片的长宽之比为 5：3，所以设长方形纸片的长为 5x cm，则宽为 3x cm，所以 5x· 3x=300，所以 ，所以 ，所以 。又因为 x>0，所以 ，所以长方形纸片的长为 。又因为 ，即 ，所以小华不能用这块纸片裁出符合要求的纸片。 C组 20. 8 21. -3 或 22. 0，2，4 23. (1)①因为 ，，1000<195112<1000000，所以 ，所以能确定 195112 的立方根是一个两位数。故答案为两； ②因为 195112 的个位数字是 2，又因为 ，所以能确定 195112 的个位数字是 8。故答案为 8； ③如果划去 195112 后面三位 112 得到数 195，而 ，所以 ，可得 ，由此能确定 195112 的立方根的十位数是 5。故答案为 5； ④根据②③可得 195112 的立方根是 58。故答案为 58。 (2)①13824 的立方根是两位数，立方根的个位数是 4，十位数是 2，所以 13824 的立方根是 24。故答案为 24； ②175616 的立方根是两位数，立方根的个位数是 6，十位数是 5，所以 175616 的立方根是 56。故答案为 56。 24. (1)因为 ，所以 的“共同体区间”是 (5,6)。故答案为 (5,6)。 (2)因为无理数 的“共同体区间”为 (2,3)，所以 ，即 4<a<9，所以 10<a+6<15，所以 ，所以 的“共同体区间”为 (3,4)。 (3)因为 ight|=2024，所以 且 ，或 且 ，解得 x=4，y=4；或 x=3，y=5；或 x=3，y=3。 分以下三种情况：当 x=4，y=4 时，x(y+1)=20，因为 ，所以 的“共同体区间”为 (4,5)； 当 x=3，y=5 时，x(y+1)=18，因为 ，所以 的“共同体区间”为 (4,5)； 当 x=3，y=3 时，x(y+1)=12，因为 ，所以 的“共同体区间”为 (3,4)；综上所述， 的“共同体区间”为 (4,5) 或 (3,4)。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $