精品解析：江苏靖江市实验学校2026-2027学年上学期九年级第一学期9月阶段质量检测数学试卷

2026－2027靖江市实验学校九年级第一学期阶段质量检测 数学试卷（第①次月考） （满分150分 考试时间120min） 一、选择（18分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：中未知数最高次数为1，不符合题意； 选项B：不是整式方程，且含有两个未知数和，不符合题意； 选项C：是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合题意； 选项D：中未知数最高次数为3，不符合题意； 故答案为C． 2. 如图，四边形四边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用相似多边形的性质得到，，然后利用四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∴． 3. 已知、、、依次成比例线段，其中，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵、、、依次成比例线段，，，， ∴， ∴． 4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，熟记相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 将选项中所给的条件添加后，由两个三角形相似的判定定理分析是否能确定即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， ， A、当时，由两角对应相等的两个三角形相似即可得到，不符合题意； B、当时，则，由于不是边的夹角、不是边的夹角，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可知，此条件无法判定，符合题意； C、当时，则，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可得到，不符合题意； D、当时，由两角对应相等的两个三角形相似即可得到，不符合题意； 故选：B． 5. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）． A. 点，均在其图象上 B. 函数图象在第二、四象限 C. 若，则x的取值范围是 D. 该函数图象上有两点，，若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐个判断各选项的说法，即可得到答案． 【详解】解：A选项：将代入，得，所以点在图象上；将代入，得，所以点也在图象上，A说法正确，不符合题意； B选项：因为，所以反比例函数图象位于第二、四象限，B说法正确，不符合题意； C选项：令，代入得，解得，因为，在第四象限内随增大而增大，所以当时，的取值范围是，C说法正确，不符合题意； D选项：反比例函数仅在每个象限内满足随增大而增大，若两点不在同一象限，结论不成立，例如取，，满足，此时，，有，不满足，D说法错误，符合题意． 6. 如图，是三条角平分线的交点，，过作，分别交、于，两点，，设，，，关于的方程（ ） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 无实根 D. 有两个实根，但无法确定是否相等 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式，与角平分线有关的三角形内角和问题等先证明，再证明，同理得，则，，即可得出，即，则，即可得到答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵M是三条角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴， ∴， 同理可得出：， ∴， ∴， ，即：， 即． ∴ ∴关于x的方程有两个相等的实数根， 故选：A． 二、填空题（30分） 7. 若，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据比例设a=2k，b=3k，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】∵， ∴设a=2k，b=3k， ∴ . 故答案为 【点睛】此题考查比例的性质，掌握运算法则是解题关键 8. 已知线段，，则线段，的比例中项是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例中项的定义，可得比例中项的平方等于两条已知线段的乘积，结合线段长度为正数确定最终结果． 【详解】解：设线段，的比例中项为， ， ，， ， 线段的长度为正数， ． 9. 若函数是反比例函数，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 如图，直线交于点O，．若，，．则的值为______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m等于________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义可得，再根据方程的根的定义可得一个关于m的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可得． 【详解】由一元二次方程的定义得：， 解得， 关于x的一元二次方程有一个根为0， ， 解得或（与不符，舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、利用因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握定义和方程的解法是解题关键． 12. 如图，在函数的图象上任取一点，过点作轴的垂线交函数的图象于点，连接，，若的面积为，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，利用列关于的方程求解． 【详解】解：如图，与轴交于点， 点在的图象上，轴， ， 点在的图象上， ， 的面积为， ，即， ， 的图象在第二象限， ． 13. 已知关于的一元二次方程的两个根分别为直角三角形的两直角边长，且该直角三角形的面积为3，则该直角三角形的斜边长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程两根为直角三角形两直角边长，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合面积求出两根之积，再通过勾股定理和完全平方公式计算斜边长． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，， 即直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为， 根据一元二次方程根与系数的关系，得，， 直角三角形的面积为3， ， ， ， ， ， ， 该直角三角形斜边长为． 14. 如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由与等高，根据面积比得出底边与的比，进而得出与的比，利用证得，求出与的比，再证，利用相似三角形周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：，且与等高， ，  ，  ∵，  ，  ，  ∵， ，，  ，  ． 15. 如图，，分别是反比例函数，图象上的点，且轴，过，两点分别作轴的垂线段，垂足分别为，两点，连接，交于点，若，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，由垂直于同一直线的两直线平行得出，证得，利用得出、的关系，表示出点的坐标然后计算． 【详解】解：设点的坐标为， 是反比例函数图象上的点， ， 过，两点分别作轴的垂线段， ， ， ， ， ， ， ， ， 轴， 点的坐标为， 点是反比例函数图象上的点， ． 16. 如图，在中，，，D为直线左侧一点．若，则的最大值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】考查了相似三角形及二次函数的部分应用，通过相似三角形对应边成比例列出相应的式子，再根据式子构造函数通过函数来求最值． 【详解】解：已知： 得 取， 得，即 在中； 代入上式： 设， 则， ，抛物线开口向下， 当时，取最大值 三、解答题（102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）利用公式法解答即可； （）移项后利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：移项，得 ，  因式分解，得， ∴或， 解得 ，． 18. 计算与化简求值： 先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 19. 如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，请利用无刻度的直尺作图． （1）将绕点逆时针旋转，得到，请画出． （2）以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请画出． （3）作出上的点，使． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别作出点、绕点逆时针旋转的对应点、，连接点、、，得到即为所求； （2）连接线段并延长到点，使，连接线段并延长到点，使，连接线段并延长到点，使，连接点、、，得到即为所求； （3）利用格点作，使，连接交于点，则，根据相似三角形的性质可知，点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 【答案】证明：，，， ， 又， ． 【解析】 【分析】根据两边成比例切夹角相等证明相似即可． 【详解】略 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，继而得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，是方程的两个根， ， ， ， 整理得， 解得或， 由（1）得， ． 22. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低元 【解析】 【分析】（1）根据9月、11月销售量及月平均增长率相同的条件，列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取对应解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得， 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元． 23. 直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求直线的解析式； （2）若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用交点坐标的意义，反比例函数的解析式，确定点和点，再利用待定系数法，求解即可； （2）不妨设，分， ， ，三种情形求解即可． 【小问1详解】 解：直线与反比例函数的图象分别交于点和点， ， 解得， 故点和点， 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为； 【小问2详解】 解：由点是轴上一动点，故点P的纵坐标为0，不妨设， 的解析式为，且直线与坐标轴分别交于点C和点D， ，， ，，， 当时，如图所示， 则， ∴ ∴的横坐标相同， ∵， ∴； 当时，如图所示， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，点P位于点A的右侧，此时是锐角，不符合要求，舍去， 故， 经检验，是原方程的根， ∴； 当时，此情形显然不成立； 综上所述，符合题意的点坐标为或． 24. 阅读下面数学材料，并完成相应的任务： 黄金分割数 一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段、、之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程：设，，则． 任务： （1）概念理解：根据材料可知，一条线段有______________个黄金分割点． （2）补全材料中求黄金分割数k的解答过程． （3）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点．求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】（1） （2）解：设，，则， ， ， 整理得：， 解得：， 线段的长度不能是负数， ， ， ； （3）证明：在中，，， 设，则， ， 以点为圆心，长为半径画弧交于点， 则，， 以点为圆心，长为半径画弧交于点， 则， ， ，， ， 点是线段的黄金分割点． 【解析】 【分析】（1）根据黄金分割的定义可知一条线段有个黄金分割点； （2）根据黄金分割的定义可得方程：，解方程求出的值即为线段的长度，根据黄金分割的定义求出黄金分割数的值； （3）设，则，证明，即可证明点是线段的黄金分割点． 【小问1详解】 解：如下图所示，点为线段上一点，点把线段分成和两段， 其中， 线段、、之间的关系满足， 则点是线段的一个黄金分割点； 如下图所示，点为线段上一点，点把线段分成和两段， 其中， 线段、、之间的关系满足， 则点是线段的一个黄金分割点； 综上所述，一条线段有个黄金分割点； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 【课本再现】 （1）如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 （2）在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连结，将射线绕点逆时针旋转度（）交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 【答案】（1）证明：如图，作， 是的角平分线， ， ，， 四边形是矩形， ， ， 即， 在与中， ， ， ． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质作辅助线，再证明全等即可求出答案． （2）①利用矩形的性质过点P分别作，的垂线，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．②借鉴第①问的方法，过点P作的平行线，构造相似三角形求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图所示，,过点P分别作，的垂线，交于点H，交于点N， 在平行四边形中，， 四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ； ②如图，作，作， ， ，， ， ， ，，， ， ，， ， ，， ， 又， 四边形是等腰梯形， ， ， ， ， ． 26. 综合与探究 用配方法解一元二次方程，配方的过程可以用拼图直观表示．把方程变形为，即．配方的过程可以看成将一个长为，宽为，面积为24的矩形割补成一个正方形，具体如下： 配方的过程： ，（如图（1）） ，（如图（2）、（3）） ，（如图（4）） ．（如图（5）） 【初步应用】 （1）如图（6）是利用矩形割补对方程配方的结果，则______________；由图（6）可知方程配方的结果是______________． 【综合应用】 （2）如图（7），将面积为8的正方形剪去一个边长为的小正方形，类比以上用矩形割补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程有正整数解，请求出的值． 【迁移应用】 （3）现有长为，宽为，面积为的矩形（，，），，为常数，如图（8），请你尝试用四个相同的这样的矩形拼成一个新图形，并利用该图形直观展示如何通过几何方法求一元二次方程的正数解，画出图形并根据图形推导出求解过程（画图时，将，标在对应线段旁）． 【答案】（1）， （2）；或 （3）解：根据题意，画图如下： ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，再把3平均分成2份，一份图形的面积为，根据，解得即可；根据题意，得配方结果为，结合已知确定答案即可． （2）类比上述方法，结合正整数解的意义，估算求解即可． （3）先根据一个矩形的面积为，得到四个矩形的面积为，再应用给出的方法拼成一个边长为的大正方形，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，， 故， 解得； ， ， ． 【小问2详解】 解：根据题意，得， ， ， ， 故方程的正数解为， 由方程有正整数解，且， ， 故x的正整数值为1或2； 或． 【小问3详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027靖江市实验学校九年级第一学期阶段质量检测 数学试卷（第①次月考） （满分150分 考试时间120min） 一、选择（18分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四边形四边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知、、、依次成比例线段，其中，，，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ）． A. 点，均在其图象上 B. 函数图象在第二、四象限 C. 若，则x的取值范围是 D. 该函数图象上有两点，，若，则 6. 如图，是三条角平分线的交点，，过作，分别交、于，两点，，设，，，关于的方程（ ） A. 一定有两个相等实根 B. 一定有两个不相等实根 C. 无实根 D. 有两个实根，但无法确定是否相等 二、填空题（30分） 7. 若，则的值为________. 8. 已知线段，，则线段，的比例中项是______________． 9. 若函数是反比例函数，则的值为__________． 10. 如图，直线交于点O，．若，，．则的值为______． 11. 若关于x的一元二次方程有一个根为0，则m等于________． 12. 如图，在函数的图象上任取一点，过点作轴的垂线交函数的图象于点，连接，，若的面积为，则的值为______________． 13. 已知关于的一元二次方程的两个根分别为直角三角形的两直角边长，且该直角三角形的面积为3，则该直角三角形的斜边长为______________． 14. 如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为______． 15. 如图，，分别是反比例函数，图象上的点，且轴，过，两点分别作轴的垂线段，垂足分别为，两点，连接，交于点，若，则的值为______________． 16. 如图，在中，，，D为直线左侧一点．若，则的最大值为______________． 三、解答题（102分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 计算与化简求值： 先化简，再求值：，其中是方程的根． 19. 如图，在由边长为个单位的小正方形组成的网格中，点，，，均为格点，请利用无刻度的直尺作图． （1）将绕点逆时针旋转，得到，请画出． （2）以点为位似中心，将在网格中放大为原来的倍，得到，请画出． （3）作出上的点，使． 20. 如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 21. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 22. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 23. 直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求直线的解析式； （2）若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 24. 阅读下面数学材料，并完成相应的任务： 黄金分割数 一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段、、之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程：设，，则． 任务： （1）概念理解：根据材料可知，一条线段有______________个黄金分割点． （2）补全材料中求黄金分割数k的解答过程． （3）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点．求证：点是线段的黄金分割点． 25. 【课本再现】 （1）如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 （2）在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连结，将射线绕点逆时针旋转度（）交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 26. 综合与探究 用配方法解一元二次方程，配方的过程可以用拼图直观表示．把方程变形为，即．配方的过程可以看成将一个长为，宽为，面积为24的矩形割补成一个正方形，具体如下： 配方的过程： ，（如图（1）） ，（如图（2）、（3）） ，（如图（4）） ．（如图（5）） 【初步应用】 （1）如图（6）是利用矩形割补对方程配方的结果，则______________；由图（6）可知方程配方的结果是______________． 【综合应用】 （2）如图（7），将面积为8的正方形剪去一个边长为的小正方形，类比以上用矩形割补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程有正整数解，请求出的值． 【迁移应用】 （3）现有长为，宽为，面积为的矩形（，，），，为常数，如图（8），请你尝试用四个相同的这样的矩形拼成一个新图形，并利用该图形直观展示如何通过几何方法求一元二次方程的正数解，画出图形并根据图形推导出求解过程（画图时，将，标在对应线段旁）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $