解题大招53 破解复数中的三大非常规问题：复数方程、复数中的轨迹问题、新定义问题（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦复数三大非常规问题，构建“代数解法-几何转化-创新应用”三阶方法体系，通过典例精析实现知识逻辑与解题策略的深度融合，培养数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数方程求解|2典例+6跟踪训练|实系数方程韦达定理，设z=x+yi化归实数方程，二次方程求根公式|从实系数到复系数方程的拓展，根与系数关系的延续| |模的轨迹问题|2典例+6跟踪训练|模的几何意义转化为圆/椭圆/双曲线轨迹，坐标法求最值|复数模与平面解析几何的关联，体现数形结合思想| |新定义问题|2典例+6跟踪训练|新定义五步法：精读-转化为a+bi形式-分离实虚部-列方程-验证|复数概念在新情境下的应用迁移，培养创新意识|

解题大招53 破解复数的三大非常规问题： 复数方程、与模相关的轨迹问题、新定义问题 知识点01 复数方程的解法 1．实系数一元二次方程的复数根 对于一元二次方程，根的判别式为，则 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 2．求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 3．实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） （1）当时，方程的两个实根满足韦达定理 ，. （2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则 ， . 知识点02 复数模的几何性质 由复数的几何意义可知，复数与复平面内的点一一对应，而点又与平面向量一一对应，故复数与也一一对应，因此，我们可以把复数说成点或向量，且此时复数z的模． 利用复数的几何意义，容易证明复数的下述几何性质成立(证明过程请同学们自行完成). 性质：设动点Ｐ,定点A、B分别为复数、、所对应的点,则： (1)的几何意义为点P到点A的距离； ⑵复数方程(r>0）表示的图形为以点A为圆心，以为半径的圆，特别地,表示以原点为圆心，半径为r的圆. ⑶复数方程表示的图形为线段AB的垂直平分线. ⑷复数方程,当时，表示线段; 当时，表示以点A、B为焦点，为长轴长的椭圆； (5)复数方程()表示的图形为以点A、B为焦点，为虚轴长的双曲线. 题型01 复数范围内方程的根 求解复数集上的方程的方法 (1)设化归为实数方程来解决． (2)把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． (3)对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 【典例1-1】（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是方程的根，代入方程求解即可. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，所以，解得， 故选：C 【典例1-2】(多选)（24-25高三下·海南·阶段检测）(多选)在复数范围内，关于的方程的其中一个根为，另一根为，则下列结论正确的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A将代入方程求解即可判断，对于B利用A选项得方程，求方程的根即可求，对于C计算即可判断，对于D先计算，最后利用即可求解. 【详解】对于A：是方程的根，则， 即，那么，所以，，故A错误； 对于B：由A知，，所以，，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，所以，故D正确． 故选：BCD． 【跟踪训练】 1．（2026·山东·模拟预测）已知z是方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 3．在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（25-26高三上·山东青岛·期末）实系数一元三次方程在复数集内有3个根，则，，．设是方程的3个根，则（    ） A． B． C．3 D．4 5．(多选)（2026·山东济南·二模）已知复数是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 6．(多选)（2026·湖北·二模）已知复数、是方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 类型02 复数中的轨迹问题 复数模的轨迹问题 （1）代表复平面内以原点为圆心，为半径的圆；是以对应点为圆心、为半径的圆. （2）表示两点垂直平分线；为椭圆类轨迹. （3）设代入模长公式，转化为的直角坐标方程，判断曲线类型. 【典例2-1】(多选)（25-26高三上·贵州安顺·期末）(多选)设复数（为虚数单位，），则下列结论正确的是（   ） A．当时，为纯虚数 B．一定是实数 C．的最小值为2 D．在复平面内对应点的轨迹是圆 【答案】AC 【分析】根据复数的分类判断A，特殊值法计算判断B，结合模长公式判断C，根据复数在复平面内对应点的轨迹判断D. 【详解】因为复数， 当时，为纯虚数，A选项正确； 当时，不是实数，B选项错误； ，所以的最小值为2，C选项正确； 设在复平面内对应点为， 所以在复平面内对应点的轨迹是直线，D选项错误. 故选：AC. 【典例2-2】（多选）2025·河南郑州·二模）(多选)已知复数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】设，得到其在复平面的点坐标，设，证明，从而得到点的轨迹为椭圆，然后得到椭圆方程.结合椭圆中线段分别计算各个选择中的结果即可. 【详解】设，则复数在复平面内对应点，设， 则，同理， ∴，即点的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴，焦半径， ∴短半轴，∴点的轨迹方程为：， A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：若，即，令，则，∴，C选项正确； D选项：，若，则或，当时，，此时；当时，，此时，D选项错误. 故选：ABC. 【跟踪训练】 1．（26-27高二上·安徽阜阳·开学考试）设，在复平面内对应的点为Z，则满足的点Z的集合形成的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）若复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·广西·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（多选）（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知，为复数，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．(多选)（26-27高二上·河北廊坊·开学考试）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法错误的是（    ） A．若，则或 B．若点的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C．若，则的虚部为 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 6．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）若复数满足，且，则的取值范围为______． 类型03 复数中的新定义问题 复数新定义解题策略 先精读题干，把陌生新运算、新规则转化为复数标准形式z=a+bi；设z=x+yi(x,y∈R)代入定义展开，分离实部与虚部；依据复数相等条件，实虚部分别相等列方程；结合模、共轭、四则运算化简计算；求出解后代回新定义验证，剔除不合题意的增根. 【典例2-1】（多选）（25-26高一下·安徽阜阳·期末）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础.其中e是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】由新定义知识依次判断选项即可． 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B错误； 对于C，因为， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为， 则在复平面内分别对应点， 可得， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D正确. 【典例2-2】（多选）（25-26高一下·福建泉州·期末）欧拉公式是虚数单位巧妙地将复数、指数函数与三角函数联系起来，在涉及波动、振动、周期信号、交变场等理工领域应用广泛，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．复数的模等于 D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，，，故A选项正确； 对于B选项，，故B选项正确； 对于C选项，解法一：， 解法二：， 所以，故C选项错误； 对于D选项， ，故D选项正确． 【跟踪训练】 1．（25-26高一下·湖北武汉·期中）欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．已知是复数，定义关于复数的一种运算“”：当，时，（   ） A． B． C． D． 3.（多选）（2026·山东滨州·一模）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 4．（多选）（25-26高三上·广西河池·期末）在代数发展史上的很长一段时间内，解一元多项式方程一直是人们研究的一个中心问题.我们发现：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积，进而一元次多项式方程有个复数根（重根按重数记），我们发现这些根与系数之间存在一些确定的关系.比如，实系数一元二次方程在复数集内的根为，，容易得到，.根据以上信息，下列关于方程的结论，正确的有（   ） A．是该方程唯一的有理数解 B．方程存在两个虚数根，且它们为共轭复数 C．若方程在复数集内的根为，，，，则 D．若方程在复数集内的根为，，，，则 5．(多选)（24-25高一下·江苏南京·期末）欧拉公式为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若在复数范围内关于的方程的两根为，其中，则（    ） A．复数对应的点位于第二象限 B． C． D．若复数满足，则的最大值为 6．（多选）已知复数(，为虚数单位)，，定义：，，则下列说法正确的有（ ） A．若是复数的共轭复数，则恒成立 B．对任意，都有恒成立 C．存在，有成立 D．对任意，都有恒成立 1．（25-26高一下·四川内江·期末）已知是关于的方程的一个根，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西宝鸡·二模）已知关于的实系数方程的一个虚根为，则另外一个根的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 4．（2024·湖南岳阳·三模）若虚数单位是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．2 C． D．5 5．（2026·广东·模拟预测）在复数集范围内，若是的一个根，则（   ） A．0或3 B．1或2 C．2或0 D．3或1 6．（25-26高三下·陕西榆林·期中）已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（    ） A．一条直线 B．一条线段 C．一个圆 D．一段圆弧 7．（2026·河北沧州·一模）已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 8．（25-26高一下·浙江·期中）若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 9．（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）在复平面内，已知复数和对应的向量分别是和（其中是坐标原点，为虚数单位），向量对应的复数是，若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．（2026高三下·福建泉州·专题练习）设复数满足，则下列结论错误的是（ ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 11．(多选)（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为实数，若在复数范围内，方程存在两个虚数根分别为 ，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．的取值范围为 12．(多选)（25-26高三上·吉林·阶段检测）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B．若复数，满足，则 C．若，，则的最小值为1 D．若是关于x的方程（p，）的根，则 13．(多选)（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）下列命题为真命题的是（    ） A．在复数集C中，方程有两个根，分别为， B．若空间中的O，A，B，C满足，则A，B，C三点不共线 C．是空间的一组基底，若，，则能为空间的一组基底 D．复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆 14．(多选)（26-27高二上·浙江·开学考试）已知复数，均不为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的虚部为 B． C．若，则的最小值为 D．若，则 15．(多选)（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．的实部为 C． D．若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 16．(多选)（25-26高三下·河南周口·阶段检测）定义复数数列满足，其中为的共轭复数，且，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点随着的增大，将会越来越靠近一个定点 D．在复平面内对应的点随着的增大，将不会越来越靠近一个定点 17.（25-26高三下·上海·阶段检测）若实系数方程有一个虚数根的模为4，则实数的取值范围为___________． 18．（2026·上海·三模）已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 19．（25-26高一下·江苏无锡·期中）复数满足，则的最小值为________． 20．（26-27高二上·重庆·开学考试）复数满足，则的最小值为__________． 22．（24-25高一下·河北雄安·期末）殴拉（1707-1783）是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数之间的关系，请你根据欧拉公式将复数表示成（，i为虚数单位）的形式______． 23．（2026·福建泉州·模拟预测）对于复数，，定义♥为的实部.若，♥，则可以为____________.（写出一个满足条件的答案） 24．（25-26高一下·重庆九龙坡·期末）若复数 在复平面内对应的点为，则满足条件的点组成的图形的面积是_____. 25．（2025高三下·重庆·竞赛）若实数使得关于的方程有模为的虚根，则的取值范围为_______. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招53 破解复数的三大非常规问题： 复数方程、与模相关的轨迹问题、新定义问题 知识点01 复数方程的解法 1．实系数一元二次方程的复数根 对于一元二次方程，根的判别式为，则 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 2．求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 3．实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） （1）当时，方程的两个实根满足韦达定理 ，. （2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则 ， . 知识点02 复数模的几何性质 由复数的几何意义可知，复数与复平面内的点一一对应，而点又与平面向量一一对应，故复数与也一一对应，因此，我们可以把复数说成点或向量，且此时复数z的模． 利用复数的几何意义，容易证明复数的下述几何性质成立(证明过程请同学们自行完成). 性质：设动点Ｐ,定点A、B分别为复数、、所对应的点,则： (1)的几何意义为点P到点A的距离； ⑵复数方程(r>0）表示的图形为以点A为圆心，以为半径的圆，特别地,表示以原点为圆心，半径为r的圆. ⑶复数方程表示的图形为线段AB的垂直平分线. ⑷复数方程,当时，表示线段; 当时，表示以点A、B为焦点，为长轴长的椭圆； (5)复数方程()表示的图形为以点A、B为焦点，为虚轴长的双曲线. 题型01 复数范围内方程的根 求解复数集上的方程的方法 (1)设化归为实数方程来解决． (2)把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． (3)对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 【典例1-1】（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是方程的根，代入方程求解即可. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，所以，解得， 故选：C 【典例1-2】(多选)（24-25高三下·海南·阶段检测）(多选)在复数范围内，关于的方程的其中一个根为，另一根为，则下列结论正确的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A将代入方程求解即可判断，对于B利用A选项得方程，求方程的根即可求，对于C计算即可判断，对于D先计算，最后利用即可求解. 【详解】对于A：是方程的根，则， 即，那么，所以，，故A错误； 对于B：由A知，，所以，，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，所以，故D正确． 故选：BCD． 【跟踪训练】 1．（2026·山东·模拟预测）已知z是方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合复数模的公式进行求解即可. 【详解】由题，因为，所以z和是方程的两个根， 所以，即，所以. 故选：B. 2．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知是实数，是关于的方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是方程的根，代入方程求解即可. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，所以，解得， 故选：C 3．在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】设，代入方程后利用复数的运算法则列方程组求得，即可得解. 【详解】设，那么原方程即为， 得故或或 所以，故方程的解的个数为6. 故选：C 4．（25-26高三上·山东青岛·期末）实系数一元三次方程在复数集内有3个根，则，，．设是方程的3个根，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式代入计算即得. 【详解】由是方程的3个根，得， 所以 . 故选：B 5．(多选)（2026·山东济南·二模）已知复数是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对A，由题知，方程的两根为，则，正确； 对B，若，则， 若，则，错误； 对CD，由韦达定理可知，，，C错误，D正确. 6．(多选)（2026·湖北·二模）已知复数、是方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】AD 【详解】实系数一元二次方程的虚根共轭成对，因此，A正确 由韦达定理可知，，所以B错误； ，C错误， ，可得，由韦达定理可知，所以， D正确. 类型02 复数中的轨迹问题 复数模的轨迹问题 （1）代表复平面内以原点为圆心，为半径的圆；是以对应点为圆心、为半径的圆. （2）表示两点垂直平分线；为椭圆类轨迹. （3）设代入模长公式，转化为的直角坐标方程，判断曲线类型. 【典例2-1】(多选)（25-26高三上·贵州安顺·期末）(多选)设复数（为虚数单位，），则下列结论正确的是（   ） A．当时，为纯虚数 B．一定是实数 C．的最小值为2 D．在复平面内对应点的轨迹是圆 【答案】AC 【分析】根据复数的分类判断A，特殊值法计算判断B，结合模长公式判断C，根据复数在复平面内对应点的轨迹判断D. 【详解】因为复数， 当时，为纯虚数，A选项正确； 当时，不是实数，B选项错误； ，所以的最小值为2，C选项正确； 设在复平面内对应点为， 所以在复平面内对应点的轨迹是直线，D选项错误. 故选：AC. 【典例2-2】（多选）2025·河南郑州·二模）(多选)已知复数满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】设，得到其在复平面的点坐标，设，证明，从而得到点的轨迹为椭圆，然后得到椭圆方程.结合椭圆中线段分别计算各个选择中的结果即可. 【详解】设，则复数在复平面内对应点，设， 则，同理， ∴，即点的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴，焦半径， ∴短半轴，∴点的轨迹方程为：， A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：若，即，令，则，∴，C选项正确； D选项：，若，则或，当时，，此时；当时，，此时，D选项错误. 故选：ABC. 【跟踪训练】 1．（26-27高二上·安徽阜阳·开学考试）设，在复平面内对应的点为Z，则满足的点Z的集合形成的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】表示复平面内点Z到点的距离，又， 所以点Z的集合形成的图形为以为圆心，3和5为半径所对应的圆环， 故其面积为. 2．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）若复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在复平面中对应点，， 即，表示点Z在以为圆心，以为半径的圆上. 表示点Z到原点的距离，所以的最小值即为圆M上的点Z到原点O的距离最小值，. 3．（2026·广西·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】由，则复平面内复数所对应的点到定点的距离为2， 则点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 而表示点到原点的距离，则的最小值为. 4．（多选）（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）已知，为复数，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】设，，， A.法一：∵，∴， 即，而 ，显然 条件推不出结论， 法二：举反例，取， 满足，但是， ，A错误. B.∵，∴， 即，∴，B正确. C.∵， ∴，即 ，其几何意义 是圆上任意两个点， 又，其几何 意义是两个点之间的距离小于等于2， ∵圆上任意两点(直径），∴C正确. D.举反例，当时，， 满足，但是，D错误. 5．(多选)（26-27高二上·河北廊坊·开学考试）设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法错误的是（    ） A．若，则或 B．若点的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C．若，则的虚部为 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【分析】举反例可判断A；代入方程根据复数相等列方程组计算可得，进而可判断B；根据复数的概念可判断C；根据复数的几何意义利用两圆面积相减计算可判断D. 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，点Z的坐标为，则， 又因为是关于的方程的一个根， 所以， 整理得， 所以，解得 所以，故B正确； 对于C，的虚部为，故C错误； 对于D，设 则， 所以，即， 圆的面积为，圆的面积为， 因为， 所以点的集合所构成的图形的面积为，故D错误. 6．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）若复数满足，且，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】设，将复数条件转化为复平面上两个圆的约束，利用几何意义，把求的值域转化为求两圆交点弧上的点到定点的距离范围. 【详解】设，则，， 则得，即，整理得． 由得，又， 所以即，整理得． 所以点是以点为圆心，以为半径的圆落在圆上及内部圆弧上的点． 联立，得，解得， 由，解得， 所以两圆的交点分别为，且圆弧的中点为， 为点到点的距离，最小值为到的距离， 最大值为或到的距离， 故可得其取值范围为．    类型03 复数中的新定义问题 复数新定义解题策略 先精读题干，把陌生新运算、新规则转化为复数标准形式z=a+bi；设z=x+yi(x,y∈R)代入定义展开，分离实部与虚部；依据复数相等条件，实虚部分别相等列方程；结合模、共轭、四则运算化简计算；求出解后代回新定义验证，剔除不合题意的增根. 【典例2-1】（多选）（25-26高一下·安徽阜阳·期末）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础.其中e是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A． B．在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】由新定义知识依次判断选项即可． 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B错误； 对于C，因为， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为， 则在复平面内分别对应点， 可得， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D正确. 【典例2-2】（多选）（25-26高一下·福建泉州·期末）欧拉公式是虚数单位巧妙地将复数、指数函数与三角函数联系起来，在涉及波动、振动、周期信号、交变场等理工领域应用广泛，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．复数的模等于 D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，，，故A选项正确； 对于B选项，，故B选项正确； 对于C选项，解法一：， 解法二：， 所以，故C选项错误； 对于D选项， ，故D选项正确． 【跟踪训练】 1．（25-26高一下·湖北武汉·期中）欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意， 2．已知是复数，定义关于复数的一种运算“”：当，时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再结合运算“”的定义直接计算即可. 【详解】因为，， 所以，从而. 故选：A 3.（多选）（2026·山东滨州·一模）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（   ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点位于第一象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ABC 【分析】对于A，根据题意可得，即可得虚部；对于B，根据题意可得，结合复数的几何意义分析判断；对于C，根据题意结合诱导公式分析判断；对于D，由题意可得，结合面积公式分析判断. 【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C，因为，， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为，， 则在复平面内分别对应点， 可得，， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D错误. 4．（多选）（25-26高三上·广西河池·期末）在代数发展史上的很长一段时间内，解一元多项式方程一直是人们研究的一个中心问题.我们发现：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积，进而一元次多项式方程有个复数根（重根按重数记），我们发现这些根与系数之间存在一些确定的关系.比如，实系数一元二次方程在复数集内的根为，，容易得到，.根据以上信息，下列关于方程的结论，正确的有（   ） A．是该方程唯一的有理数解 B．方程存在两个虚数根，且它们为共轭复数 C．若方程在复数集内的根为，，，，则 D．若方程在复数集内的根为，，，，则 【答案】BD 【分析】依题意可将方程进行因式分解得出该方程的4个复数根，对选项逐一分析判断可得结果. 【详解】根据题意可将方程分解为4个一次因式的乘积， 易知， 由方程可得，解得； 所以方程的4个复数根分别为； 对于A，和均是该方程的有理数解，即A错误； 对于B，显然互为共轭复数，即B正确； 对于C，易知4个复数根之和为，所以C错误； 对于D，4个复数根之积为，即D正确. 故选：BD 5．(多选)（24-25高一下·江苏南京·期末）欧拉公式为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若在复数范围内关于的方程的两根为，其中，则（    ） A．复数对应的点位于第二象限 B． C． D．若复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】先根据欧拉公式得出，由复数对应点的特征判断选项A；代入方程（a，），根据复数相等的充要条件得出，；根据韦达定理可得出，进而可判断选项BC；由复数的几何意义及点与圆的位置关系判断选项D. 【详解】因为，所以，则复数对应的点位于第一象限，故选项A不正确； 又因为在复数范围内关于x的方程（a，）的两根为，， 所以，且，即， 则，解得：.所以， ，故选项BC都正确； 由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上， 可看作单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为， 则该单位圆上的点到点的距离最大值为，故选项D正确. 故选：BCD. 6．（多选）已知复数(，为虚数单位)，，定义：，，则下列说法正确的有（ ） A．若是复数的共轭复数，则恒成立 B．对任意，都有恒成立 C．存在，有成立 D．对任意，都有恒成立 【答案】ABD 【分析】利用复数的相关概念及运算规则，结合绝对值不等式以及新定义运算即可. 【详解】对于A，，则，，故A正确； 对于B，由，得， ；； ，，即，故B正确； 对于C，设， ， ； ，， ， 由绝对值不等式可得，即，故C错误； 对于D，设，则 ，，； 由，， ，即，故D正确． 1．（25-26高一下·四川内江·期末）已知是关于的方程的一个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将代入方程， 得， 即， 解得． 2．（2026·云南保山·二模）棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由棣莫弗公式，. 3．（2025·陕西宝鸡·二模）已知关于的实系数方程的一个虚根为，则另外一个根的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】将虚数根代入可得，即可求解方程的虚数根，利用虚部的定义求解即可. 【详解】将代入中可得，解得， 故，故， 因此另一个虚数根为，故其虚部为1， 故选：A 4．（2024·湖南岳阳·三模）若虚数单位是关于的方程的一个根，则（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】利用方程根的意义，结合复数为0的充要条件求出，再求出复数的模. 【详解】依题意，，即，又， 则，所以. 故选：C 5．（2026·广东·模拟预测）在复数集范围内，若是的一个根，则（   ） A．0或3 B．1或2 C．2或0 D．3或1 【答案】A 【详解】由，得，所以或， 又是的一个根，所以或， 所以或. 6．（25-26高三下·陕西榆林·期中）已知复数满足，则在复平面内对应的点形成的轨迹为（    ） A．一条直线 B．一条线段 C．一个圆 D．一段圆弧 【答案】A 【详解】记复数在复平面中的点为， 表示点到原点的距离，表示点到的距离， 因为，所以在复平面内对应的点形成的轨迹为线段的中垂线， 即一条直线. 7．（2026·河北沧州·一模）已知复数，其中，则在复平面内所对应点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】求出对应的坐标，消去，即可得到点的轨迹. 【详解】设对应点的坐标为，则， 消去得，则点的轨迹为圆． 故选：B． 8．（25-26高一下·浙江·期中）若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数及复数模的几何意义求解即可. 【详解】在复平面内，设对应的点为， 则表示到点的距离为， 表示动点到点的距离， 因为， 所以． 9．（25-26高一下·江苏淮安·阶段检测）在复平面内，已知复数和对应的向量分别是和（其中是坐标原点，为虚数单位），向量对应的复数是，若复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的坐标表示结合复数模的几何意义计算可得. 【详解】由题意可得，则，所以，对应点. 表示复数在复平面对应的点，在以原点为圆心、半径的圆上. 的几何意义是：圆上的点到定点的距离. 先算原点到定点的距离， 因此的最大值为. 10．（2026高三下·福建泉州·专题练习）设复数满足，则下列结论错误的是（ ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 【答案】D 【分析】设，利用椭圆定义可得点的轨迹为椭圆，从而可得复平面内该点轨迹方程；借助椭圆方程与距离公式计算可得A；利用纯虚数定义，结合椭圆方程计算可得B；利用复数性质，结合椭圆方程计算可得C；由题意可得复数在复平面内的轨迹为以为圆心，为半径的圆，则可利用椭圆方程计算出椭圆上的点到的距离的最小值，再减去半径即可得D. 【详解】设，则， 即有， 即在复平面内点到点与点的距离之和为， 故点的轨迹为椭圆，由，，则椭圆方程为； 对A：，故A正确； 对B：，要使得为纯虚数， 则且，则，解得， 有解，故存在复数，使得为纯虚数，故B正确； 对C：，则，，即有， 解得，则存在，使得关于的方程有解，故C正确； 对D：由复数满足，则复数在复平面内的轨迹为以为圆心， 为半径的圆，则椭圆上的点到该圆圆心的距离为： ， 则当时取得最小值，故不是的最小值，故D错误. 11．(多选)（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为实数，若在复数范围内，方程存在两个虚数根分别为 ，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【详解】方程存在两个虚数根分别为 ， 是共轭虚数，，故选项A正确； 虚数不能比较大小，故选项B错误； 方程存在两个虚数根分别为 ， ，，，故选项C正确； 方程存在两个虚数根分别为 ， ，，， ，故选项D正确. 12．(多选)（25-26高三上·吉林·阶段检测）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B．若复数，满足，则 C．若，，则的最小值为1 D．若是关于x的方程（p，）的根，则 【答案】AC 【分析】根据共轭复数的定义，复数模的运算公式，结合复数模的几何意义、实系数一元二次方程根的性质逐一判断即可. 【详解】A：，所以在复平面内对应的点位于第一象限，故A正确； B：设，显然有， 但是，故B错误； C：因为，所以设， 所以， 显然当时，的最小值为1，故C正确； D：因为是关于的方程的根， 所以也是关于的方程的根， 于是有，故D错误. 故选：AC 13．(多选)（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）下列命题为真命题的是（    ） A．在复数集C中，方程有两个根，分别为， B．若空间中的O，A，B，C满足，则A，B，C三点不共线 C．是空间的一组基底，若，，则能为空间的一组基底 D．复平面内满足条件的复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆 【答案】AC 【分析】根据一元二次方程的解法、空间三点共线、基底、复数的几何意义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A：方程，解得，故A正确； 对于B：，可得， 所以A，B，C三点共线，选项B错误； 对于C：假设共面，则存在实数x，y， 使得，即， 即，因为不共面， 所以无非零解， 所以不共面，能为空间的一组基底，选项C正确； 对于D：设，则，因为， 所以，所以， 所以复数所对应的点的集合是以点为圆心，2为半径的圆面，故D错误. 14．(多选)（26-27高二上·浙江·开学考试）已知复数，均不为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的虚部为 B． C．若，则的最小值为 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据复数的虚部的定义判断A，设，（），根据共轭复数定义及复数加法分别求即可判断B，结合复数的几何意义判断C，举反例，结合复数的模及乘法和复数相等的定义判断D. 【详解】对于选项A，复数的虚部是实数2，，A错误； 对于选项B，设，（），且，， 则 ， ， 所以，B正确； 对于选项C，由知复平面内复数对应的点的轨迹是以点为圆心、半径的圆， 表示该圆上的点到原点的距离，原点到圆心的距离为， 因此的最小值为，C正确； 对于选项D，举反例：取，，满足，但，， 显然，D错误, 15．(多选)（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．的实部为 C． D．若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 【答案】AC 【分析】对A，利用复数的运算及模长的计算公式，即可判断正误；对B，根据题设定义可得的实部为，即可求解；对C利用共轭复数的定义及复数的运算，即可求解；对D，根据题设可得，再分取奇和偶，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 所以， 又，所以，故A正确， 对于B，令，则，所以的实部为，故B错误， 对于C，令，则， 所以，故C正确， 对于D，若时，则， 当为偶数时，设，， 所以且为奇数时，为纯虚数；且为偶数时，为实数，故D错误. 16．(多选)（25-26高三下·河南周口·阶段检测）定义复数数列满足，其中为的共轭复数，且，则（    ） A． B． C．在复平面内对应的点随着的增大，将会越来越靠近一个定点 D．在复平面内对应的点随着的增大，将不会越来越靠近一个定点 【答案】AD 【分析】由题意迭代可得，进而计算可判断AB；由、这两种情况，在复平面内对应的点随着的增大，靠近于不同的定点可判断CD. 【详解】因为，所以，， ， 所以， ， 因为，， 所以， 因为，所以， ， 所以， ， 故A正确，B错误； 当时，， ， 所以， 所以， 当越来越大时，在复平面内对应的点将会越来越靠近定点， 当时，， 所以， 所以， 当越来越大时，在复平面内对应的点将会越来越靠近定点， 故C错误，D正确. 17.（25-26高三下·上海·阶段检测）若实系数方程有一个虚数根的模为4，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为和，则，结合，再由可求b的取值范围. 【详解】由题意可知实系数方程有两个虚数根， 设实系数一元二次方程的两个虚数根为和， 则. 所以，则， 实系数方程有虚数根， 则, 则实数的取值范围为. 18．（2026·上海·三模）已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 【答案】 【详解】由方程的一个根为，可得方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，可得. 19．（25-26高一下·江苏无锡·期中）复数满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到答案 【详解】设， 由得， 所以， 即点是圆心为，半径为1的圆上的动点， ，表示的是点与点的距离，而在圆外 所以的最小值为点到圆心的距离减去半径， 即的最小值为. 20．（26-27高二上·重庆·开学考试）复数满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】先由复数运算性质确定z的轨迹，再结合模的几何意义计算目标距离的最小值 【详解】设，则， 由，得， 即，故或，即为纯虚数或实数. 由，得， 当时，，解得或，对应点为、； 当时，，解得或，对应点为、. 的几何意义是点到定点的距离， 分别计算四个点到定点的距离： ，， ，， 比较得最小值为1. 22．（24-25高一下·河北雄安·期末）殴拉（1707-1783）是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数之间的关系，请你根据欧拉公式将复数表示成（，i为虚数单位）的形式______． 【答案】 【分析】根据欧拉公式可得，结合复数的加法可得. 【详解】，，所以． 故答案为：. 23．（2026·福建泉州·模拟预测）对于复数，，定义♥为的实部.若，♥，则可以为____________.（写出一个满足条件的答案） 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【详解】设，则，因此 ， 因为♥，所以，所以 ， 题目要求写一个满足的条件所以令，解得. 24．（25-26高一下·重庆九龙坡·期末）若复数 在复平面内对应的点为，则满足条件的点组成的图形的面积是_____. 【答案】 【分析】根据复数模的公式，结合圆的方程进行求解即可. 【详解】设，因此点的坐标为， ， 显然方程表示以为圆心，为半径的圆， 方程表示以为圆心，为半径的圆， 所以满足条件的点组成的图形为同心圆，组成的圆环（下图阴影部分），面积为. 25．（2025高三下·重庆·竞赛）若实数使得关于的方程有模为的虚根，则的取值范围为_______. 【答案】 【分析】法一：设出方程的根并代入方程求解，再根据复数相等列出方程，利用参数表示，再结合二次函数性质，可得答案；法二：根据三次方程的韦达定律，表示出参数，其余步骤同法一. 【详解】法一：设方程有模为的虚根，其中满足. 代入有，从而有且. 注意，所以. 注意，所以. 另一方面，对每一个，可找到一个， 使得，，，且使方程有模为的虚根. 故的取值范围为. 法二：由实系数多项式方程虚根成对原理，可设方程的两虚根为， 其中满足，由韦达定理知此三次方程三根之和为0，从而其唯一实根为. 再由韦达定理知，. . 注意，所以. 另一方面，对每一个，可找到一个， 使得，，，且使方程有模为的虚根. 故的取值范围为. 故答案为：. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $