2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考质量检测试卷

保密★启用前 人教版九年级数学上册第一次月考质量检测试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 姓名：___________班级：___________得分：___________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的解是（     ） A． B． C． D． 4．若是方程的一个根，则实数m的值为（     ） A． B． C．1 D．3 5．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（     ） A． B． C． D． 6．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 7．已知一元二次方程的两根为，则的值为（     ） A．2 B． C．8 D． 8．某社区开展"科技之冬"培训活动，参加培训的人员每两人之间互发一条学习心得短信，经统计共发送短信条．若设参加培训的有人，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 9．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 10．关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A．且 B．且 C． D． 11．已知，，是二次函数图象上的点，则（     ） A． B． C． D． 12．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．若函数为二次函数，且当时，随的增大而增大，则______． 14．一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 15．如图，四个函数图象对应的表达式分别为①，②，③，④，则a，b，c，d的大小关系是___________（用“>”连接）． 16．设，是关于x的方程的根，且，则m的值为___________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）解方程： (1) (2) (3) (4) 18．（10分）设方程的两根为、，求下列各式的值： (1)； (2)． 19．（14分）已知抛物线． (1)该抛物线开口向______，对称轴是______，与x轴有______个交点，交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______，有最______（填“大”或“小”）值，最______值为______，顶点坐标为______； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该抛物线； (3)当时，y随x的增大而______，最大值为______；当时，y的取值范围是______； (4)若抛物线经过点和，则a______b；若抛物线经过点和，则m______n．（填“>”“<”或“=”） 20．（8分）已知关于x的方程．求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21．（10分）某地有两人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人? 22．（10分）某校即将开展秋季运动会，为了展示同学们的美术和科技作品，现用长39米的绳子，靠墙围成如图所示的矩形展览区域（美术作品与科技作品展览区之间用绳子隔开），墙长为a米．（捆扎处绳子长度忽略不计，靠墙的一面不用绳子） (1)当时，所围成的展览区总面积为126平方米，求的长； (2)能否围成总面积为的展览区？请说明理由． 23．（12分）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． (1)若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 24．（12分）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 25．（12分）如图，抛物线与轴交于两点，且过点． (1)求的值； (2)设抛物线交轴于点，抛物线的顶点是点，求四边形的面积． (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出周长的最小值和点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《九年级第一次月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A B A C A A B 题号 11 12 答案 C C 1．A 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数）的函数是二次函数，以此为判断依据．对每个选项的函数表达式进行化简，整理为最简形式．逐一对照二次函数定义判断：如果化简后最高次为二次且二次项系数不为0，那么是二次函数，否则不是． 【详解】解：对选项A，，是二次函数． 对选项B，，是一次函数，不是二次函数． 对选项C，是分式，不是整式，故不是二次函数． 对选项D，当时，是常数函数，不一定是二次函数． 2．D 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理后得， 故选择D． 3．C 【详解】解：， ， ∴ 或， ∴． 4．A 【分析】把代入方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：． 5．B 【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解． 【详解】解：由题意得， 平移后的抛物线为． 6．A 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 7．C 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ． 8．A 【分析】结合题中所给的总共发送短信条，直接列出符合题意的一元二次方程． 【详解】解：设参加培训的有人，每人需向其余人各发一条短信，总短信条数为条，由题意得． 9．A 【分析】利用公式（其中a指原销售量，b指连续两次增速后的销售量，x为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：第一个月销售量为，月增长率为. 第二个月销售量为. 第三个月销售量为， ∵第三个月销售量是第一个月的倍， ∴． 10．B 【分析】需同时满足二次项系数不为与根的判别式非负两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 11．C 【分析】先求出二次函数的对称轴，结合开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 12．C 【分析】观察图象确定二次函数的图象位于一次函数的图象下方时的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，二次函数与一次函数的交点横坐标分别为和， 观察图象，当时，抛物线位于直线下方， ∴不等式的解集为． 13． 【分析】根据二次函数定义得的次数为，结合增减性要求得二次项系数小于，解方程后结合不等式筛选得到的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴解得或 ∵时随的增大而增大， ∴， ∴， ∴． 14．31 【分析】设原来两位数的个位数字为，根据数位表示法表示出原两位数和交换后的新两位数，根据题意给出的等量关系列一元二次方程，结合数字的性质舍去不合理的解即可得到结果． 【详解】解：设原来两位数的个位数字为，则十位数字为， 原来的两位数为，交换个位和十位后的新两位数为， 根据题意可得， 解得（舍去），， ， 十位数字为， 原来的两位数为． 15． 【分析】此题主要考查了二次函数图象，解题的关键是采用取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小 【详解】解：∵直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，将变形后代入已知条件得到关于的方程，求解后利用判别式验证，舍去不符合条件的解． 【详解】解：，是方程的两个根， 由根与系数的关系得到： ， ，   ，代入得： ， 整理得： ， 因式分解得： ， 解得或， 验证方程有实根，判别式， 当时，，方程无实根，舍去； 当时，，符合要求， 的值为． 17．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】根据直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解： 或 ，； （2）解： ，； （3）解：，，， 则， ， ，； （4）解： 或， ，． 18．(1) (2) 【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系求出与，根据异分母相加的法则化简，最后代入求值即可； （2）利用完全平方公式变形进行求值即可． 【详解】（1）解：， 由一元二次方程根与系数的关系可得，，， ∴； （2）解：． 19．(1)下，直线，两，，，，大，大，4， (2)解：根据对称轴为直线，与轴的交点为，，与轴的交点为，描点，连线画图如下， (3)增大，， (4) ， 【分析】根据函数的图象和性质逐次求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，其中， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，；当时，，解得：，， ∴与x轴有两个交点，交点坐标是，，与y轴的交点坐标是，有最大值，最大值为，顶点坐标为； （2）略． （3）解：由图象可知，当时，y随x的增大而增大，当时，，有最大值，最大值为； 当时，顶点是最高点，因此的最大值为4， 当时，；当时，， ∴的最小值为， ∴； （4） 解：∵抛物线，其中，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∵对称轴为直线， ∴与的函数值相等， ∵当时，y随x的增大而增大，且， ∴． 20．证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行分析判断即可． 【详解】略 21．每轮传染中平均一个人传染了6个人 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得， ， 或 解方程，得（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了6个人． 22．(1)的长为； (2)解：不能，理由如下： 设边的长为t米，则边的长为米， 由题意可得方程， ∵， ∴， ∴方程无实数解， ∴不能围成总面积为的展览区． 【分析】（1）根据题意列出一元二次方程求解，再检验，进而求得的长即可； （2）根据围成总面积为的展览区列方程，判断方程解的情况即可解答． 【详解】（1）解：设边的长为x米，则边的长为米， 根据题意得， ， 解得或， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 的长为； （2）略 23．(1)月平均增长率为 (2)售价应降低元 【分析】（1）根据9月、11月销售量及月平均增长率相同的条件，列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取对应解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； （2）解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得， 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元． 24．(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 25．(1)的值为，的值为 (2) (3)存在满足条件的点；周长的最小值为，点的坐标为 【分析】（1）将三个点的坐标代入二次函数一般式，得到三元一次方程组，直接求解方程组即可得到三个参数的取值； （2）首先根据抛物线解析式求出y轴交点C和顶点D的坐标，利用A、B两点都在x轴上的特点，将四边形沿x轴方向分割为两个三角形和一个梯形，分别计算各部分面积后求和，即可得到四边形的面积； （3）周长由三部分组成，是固定长度，因此只需让的和最小即可．再利用抛物线的对称性，将转化为，根据两点之间线段最短，的最小值就是线段的长度，此时Q点就是直线和对称轴的交点，代入计算即可得到Q点坐标和周长最小值． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于两点，且过点， 则， 解得， 所以的值为，的值为． （2）解：当时，，即， 因为， 所以顶点． 过点作轴于， 则，， 因为， 所以，，， 则 ， 所以四边形的面积为． （3）解：由题意，的周长为，其中， 因为点A和点B关于抛物线对称轴对称， 所以， 因此， 当B、Q、C三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度， ， 因此周长的最小值为， 设直线的解析式为，代入，得： ， 解得， 即直线的解析式为． 将代入，可得， 即． 所以存在满足条件的点，周长的最小值为，点的坐标为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $