21.5 一元二次方程的应用（第1课时）2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第21章 一元二次方程 21.5 一元二次方程的应用 （第1课时）二次三项式的因式分解 年 级：八年级 学 科：数学（上教版） 复习引入 复习：因式分解与方程的根 由， 求方程的两个根。 【答案】，。 解析 由，得或。 反过来，已知两个根，能否写出原二次三项式的因式分解？ 复习引入 思考：允许因式中出现无理数 在实数范围内，能因式分解吗？ 试利用平方差公式说明。 【答案】能；。 解析 因为，可直接使用平方差公式。 在实数范围内，因式的系数可以是无理数。 新知讲授 从方程的根回到因式 观察一个零点 若是方程的根，把代入，相应因式等于。 两个根对应两个因式 根为时，考虑。 首项系数要一致 两因式乘积的首项为；原首项为时，还要乘。 本课范围 讨论实数范围内的因式分解，并结合判别式判断能否分解。 新知讲授 利用方程的根作因式分解 基本方法 这就是说，要将二次三项式因式分解，如果，可以用求根公式求出方程的两个根、，然后得到 ． 使用前提 二次项系数；两个根均为实数，允许相等。 注意最后的任务 求出根以后，还必须写成因式的乘积。 新知讲授 为什么分解式成立？ 由韦达定理 设两根为，则，。 展开候选乘积 。 代入和与积 中间项系数为，常数项为，所以展开后就是。 结论的意义 因式分解前后是恒等变形，对每个实数都相等。 新知讲授 判别式小于0时怎样作答？ 判定 但如果，那么二次三项式在实数范围内就不能因式分解． 原因 对应方程没有实数根，无法写成两个实系数一次因式的乘积。 表达要完整 写明“在实数范围内不能因式分解”，不要写成“无意义”。 新知讲授 三个判别式情形 当时 两个不相等的实数根，对应两个不同的一次因式。 当时 两个实数根相等；若都为，分解式为。 当时 在实数范围内不能分解成两个一次因式的乘积。 先判断再计算 判别式小于时，无须继续使用求根公式。 例题讲解 例1（1）　有理数根的情形 在实数范围内因式分解： （1）。 【答案】，也可写成。 解析 对应方程的，两根为与。 保留首项系数，将两根代入。 例题讲解 例1（1）检查：系数与常数项 首项 的首项为，与原式相同。 一次项 交叉相乘得。 常数项 ，所以展开后恰为原式。 两种写法等价 把外面的与相乘， 就得到。 例题讲解 例1（2）　含无理数根的情形 在实数范围内因式分解： （2）。 【答案】。 解析 对应方程的，两根为。 保留首项系数；每个一次因式都是减去相应的根。 例题讲解 例1（2）另一观察：配成平方差 先配方 。 提出系数 原式。 用平方差公式 原式 。 与求根法比较 两种分解式相同；因式内的“减去负数”可改成加法。 例题讲解 例1归纳：求根之后写出乘积 方法1 用求根公式确定根 ① 先写对应的一元二次方程。 ② 计算判别式并判断符号。 ③ 求出两个实数根。 方法2 由根写因式分解 ① 每个因式写成减根。 ② 别漏原首项系数。 ③ 展开后核对三个系数。 新知讲授 写因式时最容易错的两个地方 根为负数 若根为，相应因式是。 首项系数不是1 例如应为。 根号内外分清 求根公式得到的分式须整体作为根，写入因式时要加括号。 结果可以整理 可把数系数移入一个因式，但要保证整体乘积不变。 新知讲授 相等的根：平方因式 观察方程 的判别式为。 确定两个根 。 回到三项式 。 与旧知识联系 完全平方式，正是两个一次因式相同的特殊情况。 新知讲授 没有实数根：不强行写根式 观察三项式 对，相应方程的。 作出判断 因此在实数范围内不能分解成两个一次因式的乘积。 配方帮助检验 ，确实不会等于。 表达边界 “不能因式分解”与“不能计算”不同；代入仍能求值。 新知讲授 怎样选择较简便的方法？ 先看公因式 能提取公因式时，先提取，保留数系数。 再看乘法公式 能配成平方差或完全平方时，可直接使用公式。 不易观察时 转为一元二次方程，计算判别式，再由实数根写乘积。 最后统一检查 无论采用哪种方法，展开后都必须等于原式。 课堂练习 练习1 在实数范围内因式分解： （1） __________。 （2） __________。 （3） __________。 （4） __________。 （1） 。 （2） 。 ，原式为平方差。 原式。 应用。 用平方差公式分解。 两个因式首项的乘积为。 课堂练习 练习1 在实数范围内因式分解： （1） __________。 （2） __________。 （3） __________。 （4） __________。 （3） 。 （4） 。 对应方程两根为。 对应方程。 两根和为，积为。 两根为。 原式。 原式 。 课堂练习 课堂练习1归纳：公式法与求根法 方法1 能看出平方差 ① 把两项分别写成平方。 ② 两个因式只差中间符号。 ③ 保留根号外的系数。 方法2 通过求根来分解 ① 计算对应方程的实数根。 ② 写出。 ③ 将分数系数合理整理。 课堂练习 练习2 在实数范围内因式分解： （1） 。 （2） 。 （1） 。 （2） 。 对应方程。 配方得。 两根为。 用平方差公式分解。 用首项系数乘两个一次因式。 得。 对任意实数成立。 课堂练习 课堂练习2（2）：参数符号如何处理？ 从求根公式看 相应方程的， 总有实数根。 平方根要规范 ，不能无条件写成。 分解式为什么不必分类 以代替，只会交换同一参数下两根的顺序。 检查 原式为，分解式也为，仍然成立。 课堂练习 检验分解式的三条线索 看二次项 两个一次因式的最高次项相乘，是否得到？ 看常数项 两个常数项相乘，再乘外面的系数，是否得到？ 看一次项 两项交叉乘积相加，是否得到？ 辅助数值检查 可代入一个数初步发现错误；单个数相等不能代替恒等证明。 课堂练习 阶段归纳：方程和三项式不要混淆 相互联系 方程的两个根提供因式，韦达定理说明分解式成立。 任务不同 解方程的答案是根；因式分解的答案是因式的乘积。 实数范围 时可用实数根分解；时说明不能分解。 特殊情形 重根对应平方因式；含字母时留意平方根与绝对值。 课堂小结 课堂总结 由根到因式 。 实数范围的条件 ；先判断Δ是否非负。 两点不能漏 因式写成减根；保留首项系数。 验证方法 展开乘积，核对二次项、一次项及常数项。 针对训练 训练1　选择题 在实数范围内的因式分解是（　　）。 A． B． C． D．不能因式分解 【答案】C 解析 ，可使用平方差公式。 正确的两个因式为与。 针对训练 训练2　判断并改正 判断：。 若不正确，请改正。 【答案】不正确；应为。 解析 右边展开为，与原式相差系数。 应先提取公因数，再分解。 针对训练 方法总结：先看结构和首项系数 方法1 应用平方差公式 ① 确认两项都能写成平方。 ② 两个因式一减一加。 ③ 核对平方后的常数项。 方法2 防止遗漏数系数 ① 先提取公因式。 ② 分解后仍保留该因式。 ③ 检查乘积的首项系数。 针对训练 训练3　填空题 （1）__________。 （2）在实数范围内__________因式分解。 【答案】（1）；（2）不能。 解析 （1），对应相等的根。 （2），没有实数根。 针对训练 训练4　求根后分解 在实数范围内因式分解： 。 【答案】。 解析 对应方程的，两根为。 代入首项系数与两个根，即得到分解式。 针对训练 方法总结：按判别式分类 方法1 判断能否分解 ① 时说明范围限制。 ② 时写成平方因式。 ③ 时有两个不同因式。 方法2 处理无理数根 ① 先把根式化到最简。 ② 将整个根放入括号。 ③ 因式乘积前保留。 针对训练 训练5　带参数的平方差 在实数范围内因式分解： ，其中为实数。 【答案】。 解析 前三项为，原式为。 把看作整体，使用平方差公式；无需限制的正负。 针对训练 训练6　配方分解并核对 在实数范围内因式分解： 。 【答案】。 解析 原式。 把写成，使用平方差公式。 针对训练 方法总结：配方后把整体看清楚 方法1 寻找平方差结构 ① 先提取二次项系数。 ② 把含的部分配方。 ③ 把剩余正数写成平方。 方法2 保持恒等变形 ① 配方时加减同一个数。 ② 括号中的减法要整体看。 ③ 展开检验原式的系数。 针对训练 训练7　应用：长方形花圃 一块长方形花圃的面积为平方米， 宽为米，其中。 求花圃的长。 【答案】长为米。 解析 面积；因，宽。 长，结果也为正。 针对训练 训练8　应用：长方形展示板 长方形展示板的面积为平方米， 长为米，其中。 求展示板的宽。 【答案】宽为米。 解析 面积。 用面积除以长，得宽，符合实际意义。 针对训练 方法总结：把面积化为两边的乘积 方法1 建立面积关系 ① 长方形面积等于长乘宽。 ② 先把面积式因式分解。 ③ 找出与已知边相同的因式。 方法2 约分求另一条边 ① 确认已知边不为零。 ② 约分后检查另一边为正。 ③ 保留题目的长度单位。 $