21.2 一元二次方程的解法（第2课时）课件 2026--2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 （第2课时）直接开平方法 年 级：八年级 学 科：数学（上教版） 复习引入 复习引入：平方与平方根 的平方根是什么？的平方根是什么？ 负数在实数范围内有平方根吗？ 【答案】的平方根是；的平方根是；负数没有实数平方根。 解析 平方根要包含正、负两种可能。 任何实数的平方都不小于。 复习引入 问题2：直接求平方根 怎样解方程？（方程②） 【答案】，。 解析 是的平方根，所以。 化简，写出两个根。 复习引入 追问：平方等于负数 如果将方程②改成， 这个方程该怎么解呢？ 【答案】方程没有实数根。 解析 任意实数的平方都不小于。 左边不可能等于，所以实数范围内无解。 归纳：先判断平方所等于的数的符号，再考虑开平方。 新知讲授 通过求平方根解方程 可以像上面这样，直接通过求平方根来解某些特殊的一元二次方程． 适用结构 方程能够整理为某个式子的平方等于一个常数。 求根要完整 常数为正时，开平方要写正、负两种结果。 注意范围 本课始终在实数范围内讨论。 新知讲授 先化成平方等于常数的形式 转化 一元二次方程（）可以变形为．若将记为，则原方程转化为． 运算顺序 先移项，再除以二次项系数。 易错提醒 判断的是d的符号，不能只看原方程常数项的符号。 新知讲授 平方等于常数时的三种情况 当常数大于零 当时，方程有两个不相等的实数根：，； 当常数等于零 当时，方程有两个相等的实数根：； 当常数小于零 当时，方程没有实数根． 新知讲授 把括号中的式子看成整体 观察结构 中，平方的底式是。 整体开平方 先求出。 再解一次方程 分别解或。 易错提醒 开平方作用于整个底式，不能只对操作。 新知讲授 直接开平方的步骤 先整理 使平方项单独在一边，且系数为。 再判符号 常数为负时，没有实数根。 开平方求解 常数非负时，求整个底式的值，再解一次方程。 最后检查 不漏负号；答案中的根式要化简。 例题讲解 问题3：含括号的平方 对照方程②的求解过程，你能解方程吗？ 【答案】，。 解析 两边开平方，得。 分别移项求，得到两个实数根。 例题讲解 例3 解下列方程： （1） 。 （2） 。 （1） ，。 （2） 原方程没有实数根。 移项并除以，得。 移项并除以，得。 两边开平方，得。 实数的平方不可能为负，因此没有实数根。 例题讲解 例3归纳：先判断，再开平方 方法1 平方项系数先化为一 ① 常数项移到另一边。 ② 两边同除以非零系数。 ③ 检查所得常数的符号。 方法2 按符号确定根的情况 ① 正数对应正负两根。 ② 零对应两个相等的根。 ③ 负数没有实数根。 例题讲解 例4 解下列方程： （1） 。 （2） 。 （1） ，。 （2） ，。 两边开平方得或。 整理得。 分别解这两个一次方程，得或。 开平方得。 两边减去，得到两个根。 例题讲解 例4归纳：整体开平方 方法1 平方底式先保持完整 ① 不必急着展开括号。 ② 平方项单独放一边。 ③ 把整个底式开出平方。 方法2 开方后还有一次方程 ① 正负两种情况分别解。 ② 移项后再除以系数。 ③ 根式化为最简形式。 课堂练习 练习1 （口答）说出下列方程的根： （1） 。 （2） 。 （1） ，。 （2） ，。 的平方根是。 移项得。 所以或。 两边开平方，得。 课堂练习 练习1 （口答）说出下列方程的根： （3） 。 （4） ； （5） 。 （3） 没有实数根。 （4） ，； 整理得。 化为。 实数的平方非负，不能等于负数。 开平方得。 课堂练习 练习1 （口答）说出下列方程的根： （3） 。 （4） ； （5） 。 （5） ，。 化为。 开平方得。 课堂练习 练习2 解下列方程： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （1） ，。 （2） ，。 移项得，故。 移项得。 开平方得。 两边除以，得， 再开平方。 课堂练习 练习2 解下列方程： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （3） ，。 开平方得或。 分别移项，得或。 课堂练习 练习2 解下列方程： （4） 。 （5） 。 （4） ，。 （5） ，。 两边除以，得。 两边乘以，得。 开平方得。 开平方得。 由，分别解出。 移项后，分子整体除以。 课堂练习 课堂回看：负系数与整体相除 底式含负号 时，。 另一种情况 时，。 整体除以系数 时， 整个右边都要除以。 检查 把根代入平方底式，结果应分别为正、负平方根。 课堂练习 课堂练习归纳 平方前有系数 先移项，再将系数化成。 括号内有 未知数 先把括号内的式子作为整体开平方。 最后一步 分别解一次方程，检查正负号、分母和根式。 课堂小结 课堂总结 适用形式 某个一次式的平方等于常数。 先看常数 正、零、负对应三种实数根情况。 求解顺序 整理、判符号、整体开平方， 解一次方程。 两处易错 不漏负根； 系数相除须除整个式子。 针对训练 训练1　选择题 方程的根是（　　）。 A．只有 B．只有 C．和 D．和 【答案】C 解析 有两个平方根与。 所以方程的两个根都要保留。 针对训练 训练2　填空题 方程的两个根是____________。 【答案】，。 解析 先除以，得。 开平方得。 针对训练 方法总结：开方前的整理 方法1 先使平方项系数为一 ① 把常数移到另一边。 ② 除以非零系数。 ③ 核对除法和正负号。 方法2 两个平方根都要写出 ① 正数有正负两个平方根。 ② 用±记号表示两种情况。 ③ 再分别写出两个根。 针对训练 训练3　判断并改错 判断：方程的两个根都是。 【答案】错误；。 解析 平方为零的是整个，所以。 解得，故两个相等的根均为。 针对训练 训练4　判断实数根情况 解方程。 【答案】没有实数根。 解析 整理得。 实数的平方不能等于负数，原方程无实数根。 针对训练 方法总结：零与负数两种情况 方法1 平方等于零 ① 令整个平方底式为零。 ② 解对应的一次方程。 ③ 用相等的两根记录答案。 方法2 平方等于负数 ① 先确认整理没有错误。 ② 利用平方的非负性。 ③ 写明没有实数根。 针对训练 训练5　含一次式的平方 解方程。 【答案】，。 解析 开平方得。 移项得，再整体除以。 针对训练 训练6　含负系数的底式 解方程。 【答案】，。 解析 先除以，得。 由，分别移项求。 针对训练 方法总结：整体开平方后的求解 方法1 先解出平方底式 ① 保留底式中的正负号。 ② 右边写出正负平方根。 ③ 根式先化成最简形式。 方法2 再解一次方程 ① 常数移项要变号。 ② 除以系数时除整个右边。 ③ 代回平方底式检验。 针对训练 训练7　应用题：正方形地毯 一块正方形地毯的面积是平方米，求它的边长。 平方米 【答案】边长为米。 解析 设边长为米，则。 解得；边长为正，取。 针对训练 训练8　应用题：照片与边框 一张正方形照片四周镶上宽厘米的边框， 连同边框的总面积为平方厘米。 求照片的边长与面积。 【答案】照片边长为厘米，面积为平方厘米。 解析 设照片边长为厘米，外边长为厘米。 由，得或。 取正值，照片面积为。 针对训练 方法总结：由面积求长度 方法1 正方形面积对应平方 ① 设边长并写出正值条件。 ② 用边长平方等于面积列式。 ③ 从方程根中选择正长度。 方法2 边框宽度要算两侧 ① 左右两侧各增加一份宽度。 ② 先表达外边长再列方程。 ③ 求内边长后再算内面积。 $