21.2(4)一元二次方程的解法-一元二次方程的求根公式-课件2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程求根公式，通过回顾配方法解具体方程，引导探索一般形式ax²+bx+c=0的求解过程，构建从特殊到一般的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以配方法推导求根公式培养推理能力，结合长方形绿地面积问题应用公式发展模型意识，课堂小结分类解法并强调转化思想，帮助学生构建知识体系，教师可提升教学效率，学生增强解决实际问题的能力。

第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 一元二次方程的求根公式 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 同学们好，欢迎回到空中课堂，我是来自上海市包头中学的金老师。今天继续学习一元二次方程的解法。 1 一般的一元二次方程的解法 特殊的一元二次方程的解法 设未知数，列方程. 解方程 求平方根 配方法 降次 转化 实际问题 方程问题 方程的解 因式分解法 回顾旧知 在本章的学习中，我们经历了方程的学习过程，得到了一个新方程——一元二次方程。随后，学习了一元二次方程的解法。 在解法这一单元中，从特殊的一元二次方程入手，利用因式分解法解决了一些具体的方程问题。又经历了对形如 、 、 此类方程解法的探究。发现一些特殊的一元二次方程与求平方根的联系。 在上述的思路下，我们又探究了配方法，将不能直接用求平方根来解的方程化为可用求平方根的方法来解的形式。接下来，请同学们一起来回顾一下用配方法解方程 ，并说出具体步骤。 2 回顾旧知 问题1 回顾用配方法解方程 ，说出具体的解题过程. 解 整理，得 移项，得 将二次项系数化为1，得 配方，得 两边开平方，得 或 解得 或 所以，原方程的根是 同学们完成了吗？我们一起来回忆一下。 第一步将常数项移到等号的右边，得。 第二部将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数2，得 第三步配上一次项系数一半的平方，即916。这样左边就变成了一个完全平方式，整理得。 第四步，方程两边进行开方，得到或两个一元一次方程。 第五步，分别对上面两个一元一次方程进行求解，从而得到原方程的两个实数根。 同学们回忆起来了吗？ 3 回顾旧知 问题1 回顾用配方法解方程 ，说出具体的解题过程. 对于任意给定的一元二次方程 ，能否用配方法求解呢？ 特 殊 一 般 下面我们从特殊到一般，分别用字母a、b、c表示二次项系数、一次项系数和常数项，请同学们思考，对于任意给定的一元二次方程 能否用配方法来对它进行求解呢？ 4 回顾旧知 问题1 回顾用配方法解方程 ，说出具体的解题过程. 解 整理，得 移项，得 将二次项系数化为1，得 配方，得 两边开平方，得 或 解得 或 所以，原方程的根是 配方法适用于任意的一元二次方程. 观察前面“配方”的过程，可以知道，配方法对任意的一元二次方程都是适用的。 5 探索新知 问题2 对于任意给定的一元二次方程 ，如何用配方法求解？ 把原方程的常数项移到方程右边 ，得 那么类比之前的过程，请同学们思考，如何用配方法求解呢？请在学习单上自行完成。（10秒）   相信同学们有了自己的答案，下面和老师一起来探究这个问题。 第一步，把原方程的常数项移到方程的右边，得 6 探索新知 问题2 对于任意给定的一元二次方程 ，如何用配方法求解？ 把原方程的常数项移到方程右边，得 方程两边同除以二次项系数 ，得 将二次项系数化为1. 第二步，将二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数a，得 7 探索新知 问题2 对于任意给定的一元二次方程 ，如何用配方法求解？ 把原方程的常数项移到方程右边，得 方程两边同除以二次项系数 方程两边同加上 ， 整理，得 方程的两边同时加上“一次项系数一半的平方”. 把左边配成完全平方式， ，得 ，得 第三步，方程两边同时加上一次项系数一半的平方。也就是ba的一，半b2a的平方。这样左边就配成了一个完全平方式。随后将右边整理通分，得 8 探索新知 问题2 对于任意给定的一元二次方程 ，如何用配方法求解？ 把原方程的常数项移到方程右边，得 方程两边同除以二次项系数，得 方程两边同加上 ，把左边配成完全平方式，得 整理，得 对上面这个方程中 进行分类讨论. 好，接下来我们该怎么做呢？对，应该进行开方。 那么对于含有字母系数的方程，在开方时，又要注意什么呢？ 这个问题在学习用开平方解一元二次方程时遇到过，不如我们回顾一下之前所归纳的结论。 对于已转化为x平方等于d的形式的方程，当d大于或等于0时，方程分别有两个不相等或两个相等的实数根。但当d小于0时，方程没有实数根。 因此，根据这一结论，应该对上面的式子进行怎样的讨论呢？ 我们应该对上面含有字母系数的方程中右边 进行分类讨论。 9 探索新知 问题2 对于任意给定的一元二次方程 ，如何用配方法求解？ 把原方程的常数项移到方程右边，得 方程两边同除以二次项系数，得 方程两边同加上 ，把左边配成完全平方式，得 整理，得 因为 ， 所以 （1）当 时， ≥0 ≥0. （2）当 时， ＜0 ＜0. 对上面这个方程中 进行分类讨论. 通过开平方，可得 因为a不等于0，所以式子中的分母4a2必定大于0。因此是关键，当它大于等于0时，就大于等于0。档小于0时，也就小于0. 下面，我们分别对每一类情况进行讨论。 第一类，当≥0时，就可以直接开方了，得到。 10 ＜0. （2）当 时， ＜0 探索新知 问题2 对于任意给定的一元二次方程 ，如何用配方法求解？ 把原方程的常数项移到方程右边，得 方程两边同除以二次项系数，得 方程两边同加上 ，把左边配成完全平方式，得 整理，得 因为 ， 所以 （1）当 时， ≥0 ≥0. 通过开平方，可得 则 即 当 时， 当 时， 性质2 二次根式 性质4 （a ≥ 0，b＞0）. 好，我们先来解这个一元一次方程，首先对方程右边的二次根式进行化简。同学们想一想在这个过程最后结果是什么？每一步的依据是什么？ 根据二次根式的性质4，可以得到 ，明显分母中的4a方是个完全平方式。那么根据二次根式的性质2，又可以得到根号4a方等于2a的绝对值。那么对这个式子的化简，我们还需要对a的正负性进行讨论吗？ 其实不用。因为， ， ，结果是一致的，因此此时并不需要对a的正负性再进行讨论。 从而，可以解的， 进行通分，可以得到 11 探索新知 问题2 对于任意给定的一元二次方程 ，如何用配方法求解？ 把原方程的常数项移到方程右边，得 方程两边同除以二次项系数，得 方程两边同加上 ，把左边配成完全平方式，得 整理，得 因为 ， 所以 （1）当 时， ≥0 ≥0. 通过开平方，可得 则 即 （2）当 时， ＜0 ＜0. 这时，在实数范围内，x取任何数都不能使方程 左右两边的值相等， 所以原方程没有实数根. 再回， 根据之前的结论，我们可以得到 由此，我们完成了用配方法解一元二次方程 的全部过程。同学们，你们做对了吗？ 好。我们再关注上述讨论的结果，可以得到： 12 新知讲授 对一元二次方程 ，当 时，它的实 ≥0 数根可以写成 的形式. 这个式子叫作一元二次方程 的求根公式. 在求根公式中，如果 ， 等的实数根（重根）. 一元二次方程 ≥0 把a、b、c的值代入求根公式 求得方程的实数根； <0 原方程没有实数根. 公式法 公式法适用所有的一元二次方程. 那么 ， 即方程有两个相 从求根公式中可以发现，方程的根由方程的系数a、b、c的值确定。特别说明， 当b方减4ac等于0时，我们将其代入到求根公式，得到 ，此时方程有两个相等的实数根，也叫做重根。 求根公式是由配方法推导出来的，但有了配方法的结果——求根公式后，就可以省去解题的配方过程，直接用求根公式进行求解。对于一元二次方程的一般形式，当≥0时，就可以把a、b、c的值代入求根公式，从而求得方程的实数根。当然，当b方减4ac等于0时，直接代入到-b2a中即可。当<0时，原方程没有实数根。用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。这里一元二次方程中的a、b、c是用字母表示的系数，具有一定的普适性，因此公式法适用于所有的一元二次方程。以后可以直接用。 13 例题讲解 例 1 用公式法解下列方程： （1） ； （2） . 解 （1） 原方程中， 即 或 由求根公式，得 所以，原方程的根是 确定a、b、c的值. 求 的值. 求得原方程的实数根. ≥0 代入求根公式 . 是 下面我们通过例题来使用一下公式法解方程。例1:用公式法解下列方程。 第1题，。对于一般式，已经可以确定a、b、c的值。可以得到原方程中a=5，b=6，c=1.随后求出的值，=62-4*5*1=16.可以判断出此时的>0。因此将a、b、c的值代入求根公式中，可得x=-6±410。求得原方程的实数根， 。最后我们写出结论。 同学们感受到了吗？对比之前的配方法，直接用求根公式，省去了配方的过程，使解方程更简便。 14 例题讲解 例 1 用公式法解下列方程： （1） ； （2） . 解 （2） 由求根公式，得 把原方程化成一般形式，得 其中， 即 或 所以，原方程的根是 确定a、b、c的值. 求 的值. 求得原方程的实数根. ≥0 代入求根公式 . 将方程化为一般形式 . 是 再来看第2题 ，请同学们自己尝试一下。（音乐10秒） 好，我们一起来看一下，对比第1小题，本题的区别在哪？我们发现此方程不是一元二次方程的一般形式。因此先要将此方程化为一元二次方程的一般式，去括号得y方+4y=8，整理得 。由此可确定a、b、c的值，a=1，b=4，c=-8.求出 =48.判断其大于0，将a、b、c的值代入到求根公式，得 Y= ，解得 。最后写出结论。回顾此题的过程，同学们认为在解此题时需要注意哪些方面呢？首先在化为一般式时，移项要注意变号，尽量让a>0。其次，确定a、b、c的值时，注意各项的系数要包括符号。 15 例题讲解 例 2 用公式法解下列方程： （1） ； （2） . 解 （1） 由求根公式，得 把原方程化成一般形式，得 其中， 所以，原方程的根是 确定a、b、c的值. 求 的值. 求得原方程的实数根. ≥0 代入求根公式 . 将方程化为一般形式 . 是 下面我们来看例2，用公式法解下列方程。请同学们在学习单上先自行尝试一下。 好，同学们是否发现有所不同呢？我们一起来看一下。 第1题，先将其化为一般形式，得，确定。随后求出的值等于=0.说明方程有两个相等的实数根。因此可以将其直接代入到x=-b2a中，得x=5.最后写出原方程的实数根，原方程的根为。同学们在书写过程中要注意书写格式。 16 例题讲解 例 2 用公式法解下列方程： （1） ； （2） . 解 （2） 所以，原方程没有实数根. 把原方程化成一般形式，得 其中， 确定a、b、c的值. 求 的值. 求得原方程的实数根. ≥0. 代入求根公式 . 将方程化为一般形式 . 是 否 原方程没有实数根. 再来看第2题，先把方程化为一般形式。得 。确定a=2，b=5，c=4.求出 的值。得 =-7.再对 进行判断。发现 <0。根据之前的结论可得原方程没有实数根，直接写出结论就可以了。 与之前不同，例2的 比较特殊。我们可以感受到根据公式法可以快速地解决此类方程，同时也能得到关于解方程的三个基本问题，即有没有实数根、有多少实数根、具体怎么求实数根。 17 深化新知 请用公式法解此方程，并回答实际问题. 我们继续深化新知。 再回到本章第一节课的问题引入一块长方形绿地的面积为 1200 m2，且已知长比宽多 10 m，问长和宽各为多少？我们根据设元、列式，得到了方程 。请同学们现在学习单上用公式法解此方程，再回答实际问题。 好，解此方程需要先将其转化为一般形式x2+10x-1200=0，确定a=1、b=10、c=-1200.求出的值为4900.再代入到求根公式，得x=，最后求得。随后回答实际问题。那么对于这两个实数根，我们要选哪个实数根呢？ 18 深化新知 一块长方形绿地的面积为 1200 m2，且已知长比宽多 10 m，问长和宽各为多少？ 解 设长方形绿地的宽为 x m，它的长就是(x＋10)m. 因为绿地面积为 1200 m2， 用公式法解这个方程 由求根公式，得 即 在列方程解决应用问题时，要检验方程的根是否符合实际意义. 经检验，在这两个根中，只有 x1=30 符合实际意义，因此这块长方形绿地的宽为 30 m，它的长为 40 m. 思考 去括号，得 把原方程化为一般形式，得 其中， 我们知道，在列方程解决应用问题时，要检验方程的根是否符合实际意义。 这样，我们经历了将实际问题转化为方程问题，解方程得到方程的解。随后根据实际的意义，得到实际问题的解。最终解释实际问题这样的建模过程。用数学方式解决实际问题的想法，在今后的学习中会更深入地学习。   19 一块长方形绿地的面积为 1200 m2，且已知长比宽多 10 m，问长和宽各为多少？ 解 设长方形绿地的宽为 x m，它的长就是(x＋10)m. 因为绿地面积为 1200 m2， 用公式法解这个方程 ，得 即 经检验，在这两个根中，只有 x1=30 符合实际意义，因此这块长方形绿地的宽为 30 m，它的长为 40 m. 思考 去括号，得 实际问题 方程问题 方程的解 实际问题的解 深化新知 再回到方程x2+10x=1200，请同学们回忆并讨论一下，我们一共探究了几种方法？你能说说这几种解法各自的特点吗？ 20 深化新知 围绕方程 ，我们一共探索了几种解法？你能说说这几种解法各自的特点吗？ 公式法 因式分解法 配方法 步骤简单， 但具有局限性. 步骤较复杂， 但具有普适性. 相对于配方法，步骤较简单， 且具有普适性. 要根据一元二次方程的特征，灵活选择因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程. 梳理一下，我们一共探究了三种方法：因式分解法、配方法及今天学习的公式法。因式分解法步骤简单，但具有局限性。配方法步骤较复杂，但具有普适性。公式法相对于配方法步骤较简单，也具有普适性。也许有同学说这道题目感觉配方法相对公式法来得简单，那么主要是因为此题中的常数项比较大，对公式法的计算有一定的难度。所以我们在解一元二次方程时，要根据方程特征，灵活选择合适的方法进行求解。 21 课堂小结 请从学习过程、学习内容的角度谈谈本节课的收获. 归纳 最后我们来小结一下，请同学们从学习过程、学习内容的角度谈谈本节课的收获。 22 一般的一元二次方程的解法 特殊的一元二次方程的解法 设未知数，列方程. 解方程 求平方根 配方法 降次 转化 实际问题 方程问题 方程的解 因式分解法 课堂小结 公式法 推导 请从学习过程、学习内容的角度谈谈本节课的收获. 实际问题的解 解释实际意义. 归纳 本节课我们通过配方法推导出了一元二次方程的求根公式 。因此得到了一元二次方程的另一种一般解法——公式法，有运用了求根公式求解了一元二次方程。 23 对一元二次方程 ，当 时，它的实数根可以写成 的形式. 这个式子叫作一元二次方程的求根公式. ≥0 课堂小结 请从学习过程、学习内容的角度谈谈本节课的收获. 公式法 归纳 欣赏一下求根公式，公式中所出现的运算，恰好包括了所学过的六种袋鼠运算：加减乘除乘方和开方。这体现了公式的统一与和谐。而求根公式又赋予了公式法普适性。同时我们在使用公式法进行一元二次方程求解时，它的过程具有一定的程序性。其中对 的值，大小的判断又具有一定的预见性。求根公式不仅能求根，而且也是研究方程性质的一个重要工具，我们下节课会继续对其深入进行研究。 24 结束语 代数的进步在于用符号表达事物间的关系. —— 弗朗索瓦·韦达（数学家） 数学家韦达说 ，代数的进步在于用符号表达事物间的关系。希望同学们不断用符号去发现和表达更深层次的代数关系，继续发现数学的抽象之美。 今天的课就上到这里，同学们再见。 25 $