21.2 一元二次方程的解法（第1课时）课件 2026--2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 （第1课时）因式分解法 年 级：八年级 学 科：数学（上教版） 复习引入 复习引入：因式分解 把与因式分解。 怎样检验分解结果是否正确？ 【答案】；。 解析 第一式提取公因式；第二式两数之和为、积为。 将乘积展开，能还原原式，即可核对。 复习引入 问题1：积等于零 怎样解方程？ 【答案】，。 解析 左边分解为，所以。 由或，得到两个根。 复习引入 引入归纳：二次转化为一次 原方程 未知数最高次数是。 分解后 等式左边变为两个一次因式的乘积，右边为。 关键转化 分别令因式等于，转化为两个一元一次方程。 新知讲授 积为零的依据 如果两个因式的积等于，那么这两个因式中至少有一个等于；反之，如果两个因式中至少有一个等于，那么这两个因式的积也等于． 符号表示 时，或。 注意 “至少有一个为零”允许两个因式同时为零。 新知讲授 因式分解法 转化过程 可以发现，上述解法中，通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题． 方法名称 像上面这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法． 新知讲授 因式分解法的步骤 先移项 使方程的一边为。 再分解 将另一边写成 两个一次因式的乘积。 分别求解 令每个一次因式等于，分别求根。 检查 积等于0是关键前提；结果代回原方程核验。 新知讲授 不能随意约去含未知数的因式 观察 本身就是一个可能的根。 直接除以的后果 如果只得到，就漏掉了。 正确处理 提取公因式后，分别令各因式为。 易错提醒 含未知数的除式可能为0，不能直接约去。 例题讲解 例1 解下列方程： （1） 。 （2） 。 （1） ，。 （2） ，。 因式分解得。 移项得。 由或，解得两个根。 提取公因式得。 分别解或。 例题讲解 例1归纳：提取公因式 方法1 一边先化为零 ① 移项要改变符号。 ② 公共括号可以保留。 ③ 不要直接约去公因式。 方法2 分解后分别求根 ① 两个因式的积为零。 ② 分别令各因式为零。 ③ 两个根都要写完整。 例题讲解 例2 解下列方程： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （1） ，。 （2） ，。 左边分解为。 展开、移项得。 由或，得或。 因式分解得。 分别解或。 例题讲解 例2 解下列方程： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （3） ，。 移项并提取公因式： 。 即。 解或。 例题讲解 例2归纳：按结构分解 方法1 三项式先整理 ① 展开后合并同类项。 ② 找到适合的分解形式。 ③ 展开乘积检查分解。 方法2 重复括号作为整体 ① 移项后保留公共式。 ② 提取整个公共因式。 ③ 括号内的负号要算准。 例题讲解 尝试：回到绿地问题 请同学们尝试用因式分解法求解方程。 【答案】，；若表示绿地宽，应取。 解析 移项得。 分解为，解得两个根。 实际宽度为正，负根不符合绿地问题。 课堂练习 练习1 （口答）说出下列方程的根： （1） ； （2） 。 （3） 。 （4） （是已知数）。 （1） ，； （2） ，。 由积为零，得或。 由积为零，得或。 分别求根，得或。 分别求根，得或。 课堂练习 练习1 （口答）说出下列方程的根： （1） ； （2） 。 （3） 。 （4） （是已知数）。 （3） ，。 （4） ，。 令，得。 分别令或。 令，得。 解得或； 两者可能相等。 课堂练习 练习2 用因式分解法解下列方程： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） ，。 （2） ，。 因式分解得。 因式分解得。 分别解或。 分别解或。 课堂练习 练习2 用因式分解法解下列方程： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） ，。 （4） ，。 移项得。 移项得。 分解为， 分别求根。 分解为， 分别求根。 课堂练习 课堂练习3：小海的解法 原题 小海与小华同时在解方程： 小海 两边同除以，得 ． 解得． 观察重点 这里的除式能否等于？关注可能被漏掉的根。 课堂练习 课堂练习3：小华的解法 原方程 。 小华 移项，得． 提取公因式，得． 继续求解 由此得或． 解得，． 观察重点 两个因式分别等于，都有对应的根。 课堂练习 课堂练习3：评价两种解法 你认为谁的解法正确？正确的请在框内打“√”；不正确的请指出错误的地方及错误原因。 原方程：。 【答案】小华的解法正确；小海漏掉了。 解析 时，两边都是，所以它也是根。 小海除以，实际排除了；除式可能为。 课堂练习 课堂练习归纳：避免漏根 积为零 两个一次因式分别等于。 公共因式 提取，不约去；它等于零时可能产生一个根。 检查原方程 将得到的每个根代回， 检验左右两边。 实际问题 方程的根还须符合长度、数量等实际条件。 课堂小结 课堂总结 关键前提 把一边化为。 核心转化 另一边分解为 两个一次因式的乘积。 求根步骤 分别令因式为，解两个一次方程。 易错提醒 不能随意约去含未知数的公因式。 针对训练 训练1　选择题 方程的根是（　　）。 A．只有 B．只有 C．和 D．和 【答案】C 解析 积为零，得或。 所以两个根是和。 针对训练 训练2　填空题 方程的根是____________。 【答案】，。 解析 由，得。 由，得。 针对训练 方法总结：由积为零求根 方法1 先确认右边为零 ① 左边须是乘积形式。 ② 和为零不能直接拆开。 ③ 注意每个因式的整体。 方法2 分别求一次方程的根 ① 第一个因式等于零。 ② 第二个因式等于零。 ③ 用下标完整记录根。 针对训练 训练3　判断并改错 解时，两边同除以，得。 这个解法是否完整？ 【答案】不完整；正确的根是，。 解析 移项、分解得。 直接除以会漏掉。 针对训练 训练4　解方程 用因式分解法解。 【答案】，。 解析 左边分解为。 由或，得到两个根。 针对训练 方法总结：提因式与三项式 方法1 避免把零根约掉 ① 先移项到同一边。 ② 提取公因式再求根。 ③ 检查公因式为零的情况。 方法2 三项式注意中间项 ① 两数的积对应常数项。 ② 两数的和对应一次系数。 ③ 展开乘积进行核对。 针对训练 训练5　整体因式分解 解方程。 【答案】，。 解析 移项、分解得。 即，分别求根。 针对训练 训练6　保留共同括号 解方程。 【答案】，。 解析 移项并提取，得。 即，得两个根。 针对训练 方法总结：把重复部分作为整体 方法1 先观察公共部分 ① 同一括号不要急着展开。 ② 移项后提取公共因式。 ③ 括号里保留剩余因式。 方法2 分解后继续化简 ① 整理每个一次因式。 ② 分别令一次因式为零。 ③ 代回原方程检查。 针对训练 训练7　应用题：长方形花坛 长方形花坛面积为平方米，长比宽多米。 求花坛的长和宽。 平方米 【答案】宽为米，长为米。 解析 设宽为米，则。 整理并分解为，得或。 宽为正，取，长为。 针对训练 训练8　应用题：连续正整数 两个连续正整数的乘积为，求这两个数。 【答案】这两个数是和。 解析 设较小数为，则。 整理并分解为。 取正整数根，另一个数为。 针对训练 方法总结：方程的根与实际答案 方法1 列出准确的乘积关系 ① 一个量用未知数表示。 ② 相关量用同一未知数表示。 ③ 依面积或乘积条件列式。 方法2 求根后筛选实际答案 ① 因式分解求出全部根。 ② 根据题意舍去不合条件者。 ③ 带单位并代回检验。 $