21.2一般的一元二次方程的解法（3）课件2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的配方法，通过长方形面积实际问题导入，复习因式分解、求平方根等特殊解法后，引导学生探究一般方程求解困难，搭建从特殊到一般的学习支架，逐步揭示配方转化过程。 其亮点在于以问题驱动探究，渗透化归思想，结合错误辨析（如乐乐移项变号错误）强化理解，步骤归纳清晰。体现数学眼光（抽象实际问题为方程）、数学思维（化归与推理），学生能提升解决问题能力，教师可高效落实教学目标。

第21章 一元二次方程 21.2一元二次方程的解法 一般的一元二次方程的解法 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 同学们大家好，欢迎回到数学的课堂。我是来自上海音乐学院实验学校的蒋老师。 1 特殊的一元二次方程解法 因式分解法 求平方根 实际问题 方程问题 方程的解 解方程 常数项为0的特殊形式 一次项系数为0的特殊形式 一般的一元二次方程解法 特殊 复习引入 一般 A、B均为一次因式 为了求解21.1节中的实际问题，我们学习了一元二次方程的相关概念。（摁）在探索它的解法的过程中，前两节课，（摁）我们尝试 从特殊的一元二次方程入手。（摁）即常数项为0和一次项系数为0两种特殊形式，（摁）掌握了因式分解法，形如 的方程可以通过（摁）因式分解化成两个一次因式的积等于0的形式，进而达成降次求解的目的。（摁）同样，形如 的方程，（摁）我们也可以变形后利用求平方根来解答。 （摁）那么，对于一个一般的一元二次方程，我们应该如何求解呢？下面，让我们先从已知的内容出发来尝试探索一般的一元二次方程的解法。 2 问题探究 我写的方程是 将方程移项变形为 后，我发现很难直接地将它进行因式分解. 我的方程是 试着将方程变形为 后，我也认为用因式分解法求解方程比较困难. 探究 思考 这个问题该如何解决呢，你有什么想法吗？ 那么这些方程能用求平方根的方法来解吗？ 请同学们写出一个形如 的方程并试着求解，你遇到了什么问题吗？（停顿） （摁）小沈：x2+10x=12 利用因式分解法求解并不容易，同样也不能直接求平方根来求解. （摁）小陈：我的方程是 试着将方程变形为后，我也认为用因式分解法求解方程比较困难. 哦，两位同学都认为用因式分解法求解方程并不容易 （摁）那么对于这个问题的解决，你有什么想法吗？ （摁）小胡：那么这些方程能用求平方根的方法来解吗？ 好的，（摁）我们一起来试试看， 3 问题探究 问题4 用求平方根的方法解: 分析 思考 完全平方式 如何用求平方根的方法来解方程 ？（摁）很显然，方程的左边并不是一个完全平方式，（摁）不能直接求解。（摁）回顾“问题3”的解决，我们把 看成了一个整体，形成了 的形式然后开平方求解，那么对于现在的问题，我们能否也能将方程的左边转化成一个（摁）完全平方式呢？ （摁）思考如何将__转化成__的形式（停顿） 4 新知讲授 问题3 思考 观察原方程的左边（摁） ，（摁）它与问题3中 的展开式有什么关系吗？（摁）我们知道 = ，（摁）对比发现，只相差一个常数25.因此，（摁）原方程的两边同时加上25，那么方程左边就可以写成（摁）完全平方式 ， 根据上一节课所学的内容，（摁）我们就可以对这个方程两边开平方，（摁）转化成解两个一元一次方程，最终得到答案。 5 新知讲授 化归思想 （摁）师：回顾思考的过程，（摁）像这样给 加上25配成完全平方式 的过程，简称“配方”.这是今天我们要学习的第一个概念。 在解这个方程的过程中，我们的思路是什么呢？我们结合已知，（摁）把一个不能直接求平方根的方程转化成（摁）可以用求平方根方法的形式，把未知归结成已经学过的知识从而解决问题，（摁）这是数学中一种非常重要的思想方法——化归思想。 6 课堂练习 练习 （1） （3） （2） （4） 下面，我们尝试将下列式子配方（停顿） 第一题我们已经知道 展开式就是x2+6x+9,因此，左边括号内应该（摁）填上9，就可以将x2+6x配成完全平方式， 同样地第二题应该加上的是（摁） ，第三题应该加上（摁） ，第四题应该加上（摁） ，屏幕前的你做对了吗? 7 （3） （1） 课堂练习 观察 （2） （4） 下面请同学们和老师一起，观察这四道题目，等式左边括号内所填的数与一次项的系数，你认为具有怎样的数量关系呢?（停顿） 第一题（摁）6x可以写成是（摁）2×3×x,而 （摁）就是括号内所填的数9 第二题：（摁） 可以写成（摁）2× ，因此（摁）加上 ， 等于右边 第三题：（摁） 可以写成（摁） ，因此（摁）加上 ， 等于右边 第四题: （摁） 可以写成（摁） 而（摁） 的值就是括号内要填的 师：同学们，你能总结一下获得的结论吗？（摁）括号内所填的数就是一次项系数一半的平方。这是配方法的关键步骤。 8 （3） （1） 课堂练习 观察 等式左边括号内所填的数是一次项系数一半的平方. （2） （4） 下面请同学们和老师一起，观察这四道题目，等式左边括号内所填的数与一次项的系数，你认为具有怎样的数量关系呢?（停顿） 第一题（摁）6x可以写成是（摁）2×3×x,而 （摁）就是括号内所填的数9 第二题：（摁） 可以写成（摁）2× ，因此（摁）加上 ， 等于右边 第三题：（摁） 可以写成（摁） ，因此（摁）加上 ， 等于右边 第四题: （摁） 可以写成（摁） 而（摁） 的值就是括号内要填的 师：同学们，你能总结一下获得的结论吗？（摁）括号内所填的数就是一次项系数一半的平方。这是配方法的关键步骤。 9 （1）在原方程两边同时加上一个数，使方程左边配成完全平方式. 为此，加上1，原方程可化为 例题讲解 例5 即 两边开平方，得 解得 转化 移项 形如 （1） （2） 掌握了配方的要点后，我们一起来解两个方程。 首先是第一道题（摁），观察方程 的特征，要使方程左边配成完全平方式，（摁）需要在原方程的两边同时加上一个数，那么这个数是几呢？（摁）为此，加上一次项系数一半的平方，1，可以使原方程化为（摁） （摁）即 （摁）两边开平方，（摁）可得 （摁）解得 （摁） 师：第二题，同样应该先做什么呢？观察方程 的特征，这个方程和第一问的方程最大的不同点在哪儿？（摁）是常数项的位置不同。左边的方程（摁）是形如 的方程。因此，要解这个方程，我们可以（摁）先移项，将方程（摁）转化 10 例题讲解 ，得 即 两边开平方，得 解得 再在两边同加上一个数，使方程左边配成完全平方式. 为此，加上 ，原方程可化为 移项 （2） 例5 成 的形式，然后再配方求解。此时，同样要使左边配成（摁）完全平方式，为此，我们加上了一次项系数一半的平方，（摁）也就是 ， 。原方程可化为（摁） （摁）即 再通过两边开平方降次求解两个一元一次方程。（摁） 最终解得两个根分别是 （摁）像上面两题这样，通过“配方”解一元二次方程的方法，可称为配方法。 回顾解方程的整个过程，我们首先需要做的事情就是（摁）观察方程，（摁）再通过移项转化成形如 的形式，再（摁）配方，最后（摁）用求平方根的方法解（摁）两个一元一次方程。 11 配方 归纳总结 移项 观察原方程 形如 转化 形如 求平方根 解一元一次方程 像上面这样，通过“配方”解一元二次方程的方法，可称为配方法. 像上面两题这样，通过“配方”解一元二次方程的方法，可称为配方法。 回顾解方程的整个过程，我们首先需要做的事情就是（摁）观察方程，（摁）再通过移项转化成形如 的形式，再（摁）配方，最后（摁）用求平方根的方法解（摁）两个一元一次方程。 12 课堂练习 （1） （2） ① 常数项移项未变号 第一题的第一问，乐乐的解答过程是从第几步开始出错的呢？是从（摁）第一步出错的，我们知道移项（摁）是要变号的，因此，她错误的原因就是（摁）常数项移项未变号。 正确的解答为：（摁）解： （摁） （摁）在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，4 （摁）配方得 （摁） （摁） 13 新知讲授 注意 此时，让我们追溯一开始的实际问题，请同学们尝试用配方法来解方程x^2+10x=1200？（停顿）下面让我们一起来看正确的解答过程。 （摁）说一句摁一句 14 新知讲授 注意 特殊 一般 此时，让我们追溯一开始的实际问题，请同学们尝试用配方法来解方程x^2+10x=1200？（停顿）下面让我们一起来看正确的解答过程。 （摁）说一句摁一句 15 例题讲解 例6 移项，得 例5 （2） 移项，得 即 再在两边同加上一个数，使方程左边配成完全平方式. 为此，加上 ，原方程可化为 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方 完全平方式 师：用配方法解方程。观察方程 的特征，它与之前的方程相同点是什么？又有什么不同呢？没错，对于这个方程同样可以（摁）先移项，但此时（摁）方程的二次项系数为2，难以配方。那我们该如何往下求解呢？为了便于配方。我们可以在方程两边同时除以2（摁）将二次项系数化为1，得到方程： 这时的方程就和之前求解的方程形式一致了，然后进行配方，（摁）在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，（摁）得 。（摁）再两边开平方，得 ，（摁）解得最后的答案，（摁） ） 16 例题讲解 例6 移项，得 例5 （2） 移项，得 转化 移项 方程两边同时除以二次项系数 即 师：用配方法解方程。观察方程 的特征，它与之前的方程相同点是什么？又有什么不同呢？没错，对于这个方程同样可以（摁）先移项，但此时（摁）方程的二次项系数为2，难以配方。那我们该如何往下求解呢？为了便于配方。我们可以在方程两边同时除以2（摁）将二次项系数化为1，得到方程： 这时的方程就和之前求解的方程形式一致了，然后进行配方，（摁）在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，（摁）得 。（摁）再两边开平方，得 ，（摁）解得最后的答案，（摁） ） 17 例题讲解 例6 即 移项，得 师：用配方法解方程。观察方程 的特征，它与之前的方程相同点是什么？又有什么不同呢？没错，对于这个方程同样可以（摁）先移项，但此时（摁）方程的二次项系数为2，难以配方。那我们该如何往下求解呢？为了便于配方。我们可以在方程两边同时除以2（摁）将二次项系数化为1，得到方程： 这时的方程就和之前求解的方程形式一致了，然后进行配方，（摁）在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，（摁）得 。（摁）再两边开平方，得 ，（摁）解得最后的答案，（摁） ） 18 例题讲解 将二次项系数化为 1 移项 配方 两边开平方 解一元一次方程 例6 一般的一元二次方程 观察方程 师：回顾解这道一元二次方程的过程，我们一起来总结一下要解一般的一元二次方程，我们需要经历哪些过程？（摁）首先，仔细观察方程的特征后，（摁）通过移项、（摁）将二次项系数化为1的方式，把方程变形为我们熟悉的 ，进而（摁）将方程左边配方，从而利用求平方根来解（摁）一元一次方程。这就是解一般的一元二次方程的步骤。 19 课堂练习 用配方法解下列方程： 练习 将二次项系数化为 1 移项 配方 两边开平方 解一元一次方程 一般的一元二次方程 观察方程 下面让我们利用所学，完成这道练习。（停顿） （摁）屏幕上是两位同学的正确解答，参考屏幕上的解答，你算对了吗？让我们来观察这两位同学的解答过程，他们处理的方式略有不同，你发现了吗？（摁）左边的同学先将二次项系数化为1，在方程两边同时除以了4再移项、配方。（摁）而右边的同学先移项，再化二次项系数为1。这两种解答都是正确的。 20 课堂小结 一元二次方程的解法 特殊的一元二次方程解法 一般的一元二次方程解法 因式分解法 求平方根 配方法 转化 降次 化归思想 配方 A、B均为一次因式 （摁）回顾对一元二次方程解法的探究，我们从（摁）特殊的一元二次方程入手，学会了（摁）因式分解法和利用求平方根的方法来解方程 。 （摁）通过降次（摁），将新方程一元二次方程转化为旧知识，一元一次方程从而解决问题。（摁）而在利用配方法求解（摁）一般一元二次方程解法的探究中，也同样根据这样的数学思想，将（摁）形如 的方程进行配方，（摁）转化为 的形式，化为可用求平方根来解的方程. 配方法（摁）适用于所有的一元二次方程求解问题，因此对于（摁）二次项系数不为1的方程，我们也可以（摁）通过移项和化二次项为1，转化成x^2+px=q的形式 （摁）那么任意的一元二次方程 ，当它的二次项系数 能用配方法解该方程吗？如果能，那么该如何配方呢？我们下节课再一起来讨论。 21 结束语 配方法教会我们主动“补形”. 将原方程的一边化归为简洁的完全平方式.这种“配方”的智慧，正是化未知为已知、化复杂为简单的数学方法的精髓. （摁）配方法教会我们主动“补形”，将原方程的一边化归为简洁的完全平方式.这种“配方”的智慧，正是化未知为已知、化复杂为简单的数学方法的精髓.今天的课，就上到这里，同学们再见！ ；…… 22 com.apple.VoiceMemos (iPhone Version 18.5 (Build 22F76)) com.apple.VoiceMemos (iPhone Version 18.5 (Build 22F76)) com.apple.VoiceMemos (iPhone Version 18.5 (Build 22F76)) com.apple.VoiceMemos (iPhone Version 18.5 (Build 22F76)) $