21.2 一元二次方程的解法（第3课时）课件 2026--2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 （第3课时）配方法 年 级：八年级 学 科：数学（上教版） 复习引入 复习引入：完全平方公式 展开和。 还缺少什么，才能成为完全平方式？ 【答案】；。前者缺少常数。 解析 完全平方公式的中间项是两项乘积的倍。 。 复习引入 问题4：怎样创造平方 怎样解方程？ 【答案】，。 解析 两边同加，得。 两边开平方得，再移项。 复习引入 引入归纳：补成完全平方式 观察差别 与相差。 保持等式成立 左边加，右边也必须加。 回到已学方法 化成平方等于常数后，用直接开平方求根。 新知讲授 配方的含义 像这样给加上配成完全平方式的过程， 简称“配方”． 补上的数 ，是一次项系数一半的平方。 注意前提 这里的二次项系数已经是。 新知讲授 一次项系数的一半再平方 正系数 。 负系数 。 共同规律 先取一半，再平方； 补上的数不为负。 易错提醒 一次项系数为负时，括号中仍保留相应负号。 新知讲授 等式两边必须同时配方 先移常数 把常数项移到方程另一边。 再同加一个数 两边都加上 一次项系数一半的平方。 左边写成平方 右边将原常数与补上的数相加。 易错提醒 只给左边加数会改变原方程的根。 新知讲授 配方法 像上面这样，通过“配方”来解一元二次方程的方法，可称为配方法． 主要步骤 移常数、系数化为、配方、开平方、解一次方程。 最后判断 配方后平方等于负数时，没有实数根。 新知讲授 二次项系数不为1时 先作准备 将方程两边同除以二次项系数。 重新读系数 用化为1后的一次项系数 决定补上的数。 示例 化为。 易错提醒 各项都要除， 右边的常数也不能遗漏。 例题讲解 例5 解下列方程： （1） 。 （2） 。 （1） ，。 （2） ，。 两边同加，得。 移项得。 配方得。 两边加，得。 开平方得，再加。 由，分别求根。 例题讲解 例5归纳：二次项系数为1 方法1 配方先确定补上的数 ① 读出一次项系数。 ② 取这个系数的一半。 ③ 再把所得的数平方。 方法2 等式两边一起改变 ① 两边同时加同一个数。 ② 左边合成完全平方式。 ③ 右边算清后再开方。 例题讲解 例6　先将系数化为1 用配方法解方程：。 【答案】，。 解析 移项并除以，得。 两边加，得。 由，移项求根。 例题讲解 例6回看：配方数从哪里来 原方程化为 后，两边应同加哪个数？ 【答案】应同加。 解析 新的一次项系数是，它的一半是。 所加的数是，不是。 例题讲解 例6归纳：系数化为1再配方 方法1 先对所有项做除法 ① 二次项系数化为一。 ② 一次项系数随之改变。 ③ 常数项也要同时相除。 方法2 用新系数的一半平方 ① 先读新的系数。 ② 两边同加半系数的平方。 ③ 开平方后写全两个根。 例题讲解 尝试：绿地问题再求解 请同学们尝试用配方法求解方程。 【答案】，。 解析 两边同加，得。 开平方得，解得或。 例题讲解 讨论：二次项系数不为1 当一元二次方程（）的二次项系数时，能用配方法解该方程吗？如果能，那么该如何配方呢？ 【答案】能。先两边同除以，再同加。 解析 系数化为后，一次项系数为。 移去常数项，两边同加其一半的平方，左边成为。 课堂练习 练习1 填空题： （1） ； （2） 。 （3） ； （4） 。 （1） ，； （2） ，。 的一半为。 的一半为。 的平方为。 的平方为。 课堂练习 练习1 填空题： （1） ； （2） 。 （3） ； （4） 。 （3） ，； （4） ，。 一次项系数的一半是。 一次项系数的一半是。 它的平方为。 它的平方为。 课堂练习 练习1 填空题： （5） ； （6） 。 （5） ，； （6） ，（）。 一次项系数为，一半为。 一次项系数的一半是。 一半的平方为。 一半的平方为，。 课堂练习 练习2 用配方法解下列方程： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） ，。 （2） ，。 移项得。 移项后，两边同加。 两边加，得。 得到。 开平方得，再移项。 开平方得，再移项。 课堂练习 练习2 用配方法解下列方程： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） ，。 （4） ，。 整理得。 整理得。 同加：。 同加：。 开平方、移项得上面的两个根。 开平方、移项得上面的两个根。 课堂练习 课堂练习3：乐乐的原解答 原题 乐乐在解方程时出现了错误，他的解答过程如下： 前两步 ① 移项，得． ② 配方，得． 后两步 ③ 两边开平方，得或． ④ 所以，． 课堂练习 课堂练习3（1）　定位第一处错误 乐乐的解答过程是从第____步开始出错的，其错误原因是____________。 原方程：。 【答案】从第①步开始；移项时没有改变常数项的符号。 解析 移到右边应变为。 正确的第一步是。 课堂练习 课堂练习3（2）　写出正确过程 请写出正确的解答过程。 原方程：。 【答案】，。 解析 移项得；两边同加。 配方得，开平方得。 两边加，得到两个根。 归纳：移项符号、配方数、两边同加和正负平方根都要核对。 课堂小结 课堂总结 配方目标 把二次式补成完全平方式。 准备条件 先将二次项系数化为1。 关键操作 等式两边同加 一次项系数一半的平方。 求根检查 开平方写正负两种情况； 负数无实数根。 针对训练 训练1　选择题 给加上哪个数，可配成完全平方式（　　）？ A． B． C． D． 【答案】C 解析 一次项系数的一半是。 应加，得到。 针对训练 训练2　填空题 填空：。 【答案】，。 解析 的一半是。 它的平方是，对应左边所补的数。 针对训练 方法总结：确定配方数 方法1 一次项系数先减半 ① 确认二次项系数为一。 ② 读出一次项系数。 ③ 除以二得到括号中的数。 方法2 再把半系数平方 ① 正负号都包含在平方内。 ② 分数的分子分母都平方。 ③ 展开右边核对恒等式。 针对训练 训练3　判断并改错 解时，配方得到。 这一步是否正确？ 【答案】不正确；应为。 解析 左边补上了，右边也须同时加。 所以右边为，不能仍为。 针对训练 训练4　用配方法解方程 用配方法解。 【答案】，。 解析 移项得，两边同加。 配成，再开平方求根。 针对训练 方法总结：等式两边的配方 方法1 移项先处理常数 ① 移到另一边要变号。 ② 把二次项与一次项留一起。 ③ 核对原方程再配方。 方法2 补数必须两边同时加 ① 左边合成完全平方。 ② 右边计算常数之和。 ③ 开平方后继续求未知数。 针对训练 训练5　二次项系数不为1 用配方法解。 【答案】，。 解析 整理得。 两边加，得。 开平方得，再移项。 针对训练 训练6　配方后判断实数根 用配方法解。 【答案】原方程没有实数根。 解析 整理得。 两边加，得。 实数的平方不能等于负数。 针对训练 方法总结：系数与实数范围 方法1 化为一后重新读系数 ① 所有项都除以二次系数。 ② 一次项系数重新减半。 ③ 同加半系数的平方。 方法2 配方后再判断符号 ① 右边为正时开出正负根。 ② 右边为零时底式等于零。 ③ 右边为负时无实数根。 针对训练 训练7　应用题：长方形菜地 长方形菜地的长比宽多米，面积为平方米。 用配方法求它的长和宽。 平方米 【答案】宽为米，长为米。 解析 设宽为米，则。 配方得，故。 宽为正，取，再求长。 针对训练 训练8　应用题：同宽边框 一张长厘米、宽厘米的照片，四周镶同宽边框。 连同边框的总面积为平方厘米。 用配方法求边框宽度。 【答案】边框宽度为厘米。 解析 设宽度为厘米，则。 整理并配方得。 解得或；边框宽度为正，取。 针对训练 方法总结：配方法解决面积问题 方法1 面积条件转化为方程 ① 用同一未知数表示两边。 ② 长乘宽等于总面积。 ③ 整理后按步骤配方。 方法2 实际条件用于选根 ① 长度与宽度必须为正。 ② 边框外尺寸增加两倍宽度。 ③ 代回面积关系检验答案。 $