21.4 一元二次方程的根与系数的关系（第1课时）课件 2026--2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第21章 一元二次方程 21.4 一元二次方程的根与系数的关系 （第1课时）根与系数的关系 年 级：八年级 学 科：数学（上教版） 复习引入 观察：两根的和与积 已知的两个根为和。 计算两根的和与积，观察它们与系数的联系。 【答案】两根的和为，积为。 解析 ，与一次项系数互为相反数。 ，与常数项相同；还需研究二次项系数不为的情况。 复习引入 引入：由求根公式寻找关系 已知条件 方程满足且。 两个根的表示 ，。 研究对象 计算两根的和与两根的积，寻找不含根式的表达式。 注意前提 本课讨论两个实数根，先确认它们确实存在。 新知讲授 推导：两根的和 相加 两根的分母都是，相加时分母保持不变。 分子中根式抵消 。 约简结果 。 易错提醒 一次项系数先取相反数，再除以二次项系数。 新知讲授 推导：两根的积 分子用平方差 。 代入判别式 。 分母与结果 分母为，所以。 易错提醒 相乘时分母也要相乘；约分使用了a≠0。 新知讲授 韦达定理 定理 如果一元二次方程（）的两个实数根分别是、，那么 ，。 两根的和 一次项系数的相反数除以二次项系数。 两根的积 常数项除以二次项系数；注意常数项的符号。 新知讲授 使用定理前的检查 一般形式 先把方程化为，再读系数。 根的前提 已知有两个实数根时可直接用；否则先检查。 缺项的系数 没有一次项时；没有常数项时。 易错提醒 两根相等时定理仍成立；不要把a自动当成。 例题讲解 例1 已知下列方程均有两个实数根，求两根的和与积： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） 两根的和为，积为。 （2） 两根的和为，积为。 。 。 。 。 。 。 例题讲解 例1 已知下列方程均有两个实数根，求两根的和与积： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） 两根的和为，积为。 （4） 两根的和为，积为。 。 整理为。 。 。 。 。 例题讲解 例1归纳：两根和、积直接求 方法1 先确定同一个一般形式 ① 把右边化为零。 ② 记录三个系数及符号。 ③ 缺项时补出零系数。 方法2 和与积的符号有区别 ① 和用一次项系数的相反数。 ② 积直接用常数项。 ③ 两者都除以二次项系数。 例题讲解 例2：已知一根，求另一根与参数 已知关于的方程的一个根为， 求此方程的另一个根及的值。 【答案】另一个根为，。 解析 设另一根为；，得。 由，得，故。 例题讲解 例2回看：代入已知根检查 把已知根代入， 核对例2求得的和另一个根。 【答案】；另一个根也满足原方程。 解析 代入得，所以。 再代入，左边为。 新知讲授 已知一根时先选哪一个关系 已知两根的和 另一根等于两根的和减去已知根。 已知两根的积 已知根非零时，另一根等于两根的积除以已知根。 再求参数 把两根代入另一个和、积关系，或把已知根代入原方程。 易错提醒 先选不含待求参数的关系，通常更简便。 课堂练习 练习1 （口答）已知下列方程均有两个实数根，求两根的和与积： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） 两根的和为，积为。 （2） 两根的和为，积为。 。 。 。 。 。 。 课堂练习 练习1 （口答）已知下列方程均有两个实数根，求两根的和与积： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） 两根的和为，积为。 （4） 两根的和为，积为。 。 。 。 。 。 。 课堂练习 练习1 （口答）已知下列方程均有两个实数根，求两根的和与积： （5） 。 （6） 。 （5） 两根的和为，积为。 （6） 两根的和为，积为。 整理得。 两边乘并移项，得。 。 。 由韦达定理直接得到和与积。 。 课堂练习 课堂练习1归纳：读式与化简 方法1 缺项也要对应系数 ① 没有一次项时和为零。 ② 没有常数项时积为零。 ③ 不要把缺项后的项错位。 方法2 分数与根式系数 ① 分数可先去分母。 ② 移项后注意常数项的符号。 ③ 分式结果应继续化简。 课堂练习 练习2 不解方程，求此方程的另一个根。 （1） 已知方程的一个根是， 不解方程，求此方程的另一个根。 （2） 已知方程的一个根是， 不解方程，求此方程的另一个根。 （1） 另一个根为。 （2） 另一个根为。 设另一根为，两根和为。 两根的和为。 ，得。 另一根为。 课堂练习 练习3 分别求方程的另一个根及参数的值。 （1） 已知关于的方程的一个根是， 求此方程的另一个根及的值。 （2） 已知关于的方程的一个根为， 求此方程的另一个根及的值。 （1） 另一个根为，。 （2） 另一个根为，。 由两根的积，另一根为。 两根的和为。 由两根的和，。 另一根为。 解得。 由，得。 课堂练习 阶段归纳：选关系，保条件 求和与积 直接使用与，无需先求根。 已知一根求另一根 优先选择不含待求参数的 和或积关系。 已知根为零时 不能用积除以零；改用两根的和求另一根。 检查 系数来自一般形式；确认两个实数根存在。 课堂小结 课堂总结 韦达定理 ； 。 前提 一元二次方程有两个实数根； ，。 已知一根 用和求差，或用积求商； 除数必须非零。 求参数 先选不含参数的关系； 代回原方程核验。 针对训练 训练1：选择题 已知有两个实数根， 两根的和与积依次为（　　）。 A． B． C． D． 【答案】A 解析 。 和为，积为。 针对训练 训练2：填空题 方程的两根之和为________， 两根之积为________。 【答案】和为，积为。 解析 ，且。 由韦达定理，和为，积为。 针对训练 方法总结：和与积的计算 方法1 识别系数不漏项 ① 先化一般形式。 ② 缺项系数记为零。 ③ 二次项系数不可漏除。 方法2 分清两条关系 ① 和取一次项系数的相反数。 ② 积直接使用常数项。 ③ 最终分式继续约简。 针对训练 训练3：判断是否满足前提 有人说：“的两个实数根 的和为，积为。”这句话正确吗？ 【答案】不正确；原方程没有实数根。 解析 。 不存在所说的两个实数根，不能直接使用本课定理的结论。 针对训练 训练4：不解方程求另一根 已知的一个根为， 不解方程，求另一个根。 【答案】另一个根为。 解析 两根的和为。 设另一根为，则，得到。 针对训练 方法总结：前提与已知根 方法1 先确认两个实数根存在 ① 题目明确给出时可直接用。 ② 未给出时先检查判别式。 ③ 无实数根时不谈实数根的和积。 方法2 和的关系求另一根 ① 先算两根的和。 ② 减去题目给定的根。 ③ 将结果代回原方程检查。 针对训练 训练5：一次项系数含参数 已知的一个根为， 求另一个根与的值。 【答案】另一个根为，。 解析 两根的积为，所以另一根为。 两根的和，故。 针对训练 训练6：常数项含参数 已知的一个根为， 求另一个根与的值。 【答案】另一个根为，。 解析 两根的和为，另一根为。 由，得。 针对训练 方法总结：哪个关系不含参数 方法1 一次项系数含参数 ① 先观察两根的积。 ② 已知根非零时求另一根。 ③ 再由两根的和求参数。 方法2 常数项含参数 ① 先观察两根的和。 ② 用和减去已知根。 ③ 再由两根的积求参数。 针对训练 训练7：长方形展示区 长方形展示区的两条邻边长（单位：米） 是方程的两个根。 不求边长，求展示区的周长和面积。 【答案】周长为米，面积为平方米。 解析 两边之和为，两边之积为。 周长为米；面积就是两边之积，为平方米。 针对训练 训练8：两块正方形标牌 两块正方形标牌的边长（分米）是的两根。 其中一边长为分米。求另一边长， 以及两块标牌的周长总和。 【答案】另一边长为分米；周长总和为分米。 解析 两边长之和为，另一边长为。 周长总和为分米。 针对训练 方法总结：把和与积用于长度关系 方法1 长方形的周长与面积 ① 两邻边之和用于求周长。 ② 两邻边之积就是面积。 ③ 注意长度与面积单位。 方法2 已知一个实际长度 ① 由两根的和求另一个长度。 ② 两个长度都要符合正值条件。 ③ 按图形公式计算所求量。 $