21.4 一元二次方程的根与系数的关系（第2课时）（教学课件）数学沪教版五四制2024八年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程韦达定理，从基础例题入手，通过求代数式值归纳变形公式，再结合变式练习和新定义问题（邻根方程、倍根方程）逐步深化，构建从基础到综合应用的学习支架，衔接紧密。 其亮点在于以数学思维的推理意识和数学语言的模型意识为核心，通过新定义问题（如邻根方程）引导学生抽象数量关系，结合判别式验证参数培养严谨推理，例题变式系统助力学生提升运算与应用能力，教师可直接用于分层教学。

第21章 一元二次方程 21.4 一元二次方程的根与系数的关系 第2课时 沪教版2024 八年级数学上册 章节导读 21.1 一元二次方程的概念 21.2 一元二次方程的解法 一元二次方程的概念 一元二次方程的解 特殊的一元二次方程的解法 一般的一元二次方程的解法 一元二次方程的求根公式 21.3 一元二次方程的判别式 已知方程判断解的情况 已知解的情况求字母系数 21.4 一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理 韦达定理的应用 21.5 一元二次方程的应用 二次三项式的因式分解 列方程解应用题 学习目标 1. 熟练运用韦达定理求一元二次方程两根问题及关于两根的对称代数式的值。 3. 在解决由“已知根”到“构造方程”的逆向问题中，培养学生的创造性思维和逻辑推理能力。 2.通过问题串引导和小组探究，让学生经历从已知两根求对称式，到已知对称式关系构造新方程的过程，体会数学中的“正向”与“逆向”思维。 知识回顾 复习导入 什么是韦达定理？ 进一步运用一元二次方程的系数和两根之间的关系解决更多问题！ 韦达定理 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1, x2，那么 学以致用 例题讲解 例题1 设x1,x2是一元二次方程2x2 +6x -3 = 0的两个根，利用韦达定理求下列各式的值. (1)+ (2)x12+x22 (3) (x1-x2) 2 【分析】利用根与系数的关系：，，代入计算即可求解； 由一元二次方程的根与系数的关系， 得 学以致用 例题讲解 例题1 设x1,x2是一元二次方程2x2 +6x -3 = 0的两个根，利用韦达定理求下列各式的值. (1)+ (2)x12+x22 (3) (x1-x2) 2 + = = =2 学以致用 例题讲解 例题1 设x1,x2是一元二次方程2x2 +6x -3 = 0的两个根，利用韦达定理求下列各式的值. (1)+ (2)x12+x22 (3) (x1-x2) 2 学以致用 例题讲解 例题1 设x1,x2是一元二次方程2x2 +6x -3 = 0的两个根，利用韦达定理求下列各式的值. (1)+ (2)x12+x22 (3) (x1-x2) 2 (x1-x2)2＝(x1＋x2)2-4x1·x2=(-3)2-4×(-1.5)=15 归纳解题步骤和注意事项！ 新课讲授 我归纳！ 常见的涉及一元二次方程的两个根x1，x2的代数式的重要变形有： ①x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2； ④(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2； ⑤(x1＋k)(x2＋k)＝x1·x2＋k(x1＋x2)＋k2； 学以致用 例题讲解 例题2 已知关于x的方程x2-(m-3)x+m+8=0的两个实数根的平方和等于13，求m的值以及此方程的两根. 解：a=1,b=3-m,c= +8 ∴= 【分析】x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2 x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2= ()2－2（ =13 学以致用 例题讲解 例题2 已知关于x的方程x2-(m-3)x+m+8=0的两个实数根的平方和等于13，求m的值以及此方程的两根. 归纳解题步骤和注意事项！ 新课讲授 我归纳！ 求与根有关的代数式的值时，看代数式是否具有对称性，若具有对称性，则直接变形，将两根之和或积代入求值；若不具有对称性，则将其中的某一个根单独代入方程中，得到与待求值的代数式相关的结构，进行整体代入求值． 学以致用 我会求 变式练习关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 (1)求m的取值范围：(2)当两根之差为为时，求m的值； (3)当m为正整数，且两根均为整数时，求m的值． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况与判别式的关系、及根与系数的关系及解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键． 学以致用 我会求 变式练习关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 (1)求m的取值范围 【分析】一元二次方程的根的情况与判别式的关系可得，由此可解得的值． （1）解：根据题意得： ， 整理得： 解得：． 的取值范围是． 学以致用 我会求 变式练习关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 (2)当两根之差为为时，求m的值； 【分析】根与系数的关系及已知条件可得关于的一元二次方程，解得的值并根据（1）中的所得的的取值范围作出取舍即可得出答案. （2）解：根据题意得：，， ， ， ∴ ， ∴ 解得：， 学以致用 我会求 变式练习 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 (3)当m为正整数，且两根均为整数时，求m的值． 【分析】根据两根均为整数，判别式必须为完全平方数，结合且为正整数，求得的取值． （3）由（1）知，且为正整数，故． 又因为两根均为整数，故判别式必须为完全平方数． ∵， ∴是完全平方数， 当时，，方程为，根为或，均为整数． 当时，，方程为，根为或，均为整数． 综上所述：的值为5和8． 课堂小结 我总结！ 韦达定理 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1, x2，那么 提升训练 我会算！ 提升1 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)直接写出一个“邻根方程”为________ (2)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． (3)若关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求c最小值． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键。 提升训练 我会算！ 提升1 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)直接写出一个“邻根方程”为________ 【分析】（1）取两个相差 1 的根，然后展开即可； （1）解： 则方程为， 展开得：， 故答案为：； 提升训练 我会算！ 提升1 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (2)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【分析】（2）设方程的较小的一根为，则另一根为，根据根与系数的关系得到，进而得到，解方程即可； （2）解：设方程的较小的一根为，则另一根为， ∴，， ∴，∴， 解得或； 提升训练 我会算！ 提升1 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (3)若关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求c最小值． 【分析】（3）通过设方程的两个根为和，利用韦达定理将表示为关于的二次函数，再根据二次函数性质求其最小值． （3）解：设方程的根为，，则，， 将代入①得， 化简得，，， ， ， 当时，取最小值为． 提升训练 我会算！ 提升2 已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况；(2)若方程的两根、满足，求k值； (3)若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为5． ①则k为何值时，是以为斜边的直角三角形？ ②k为何值时，是等腰三角形，并求出的周长． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 提升训练 我会算！ 提升2 已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况；(2)若方程的两根、满足，求k值； 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再将化简为含，的式子代入计算即可； （1）解：， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意，得，， ， ， ， 解得，或； 提升训练 我会算！ 提升2 已知关于x的一元二次方程． (3)若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为5． ①则k为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【分析】（3）①根据一元二次方程根与系数的关系及勾股定理列方程求解即可； （3）解：①由题意，得，， 是以为斜边的直角三角形，， ， ，解得，或， ，， 且当时，方程为， 解得或4，符合题意， 当时，是以为斜边的直角三角形； 提升训练 我会算！ 提升2 已知关于x的一元二次方程． (3)若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为5． ②k为何值时，是等腰三角形，并求出的周长． 【分析】②分和或与相等两种情况讨论，根据方程的根的情况求解即可． （3）②若是等腰三角形，分两种情况： 当时，方程有两个相等的实数根，这与不符，不合题意，舍去； 当或与相等时，5是方程的根， ， 解得或4， 当时，，的周长为； 当时，，的周长为． 提升训练 我会算！ 提升3 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． (1)下列方程是倍根方程的是______； ①；②；③． (2)若关于x的方程（m是常数）是“倍根方程”，试求出m值； (3)若关于x的方程（a、b是常数，）是“倍根方程”，令，试求t的最小值． 【分析】本题考查了新定义，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式等知识点，正确理解新定义是解题的关键． 提升训练 我会算！ 提升3 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． (1)下列方程是倍根方程的是______； ①；②；③． 【分析】根据因式分解法分别解每一个方程，再根据定义判断即可； （1）解：①，， 或解得：， 满足一个根是另一个根的2倍，故是“倍根方程”； ②， 解得： 不满足一个根是另一个根的2倍，故不是“倍根方程”； ③ 或解得： 不满足一个根是另一个根的2倍，故不是“倍根方程”； ∴是“倍根方程”的是①，故答案为：①； 提升训练 我会算！ 提升3 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． (2)若关于x的方程（m是常数）是“倍根方程”，试求出m值； 【分析】本题考查了新定义，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式等知识点，正确理解新定义是解题的关键． （2）解：∵关于x的方程（m是常数）是“倍根方程”， ∴设两根为，则， ∴， 将代入，则， 解得：或（均符合题意）； 提升训练 我会算！ 提升3 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如：方程的两个根是1和2，则这个方程就是“倍根方程”． (3)若关于x的方程（a、b是常数，）是“倍根方程”，令，试求t的最小值． 【分析】设两根为，则，消去得到，而，得到，再根据根的判别式求解． （3）解：∵关于x的方程（a、b是常数，）是“倍根方程”， ∴设两根为， 则， ∴将代入，则， ∴， ∵∴，∴， ∵关于的方程有解，∴， 解得，∴t的最小值为． 感谢聆听 $