21.2 一元二次方程的解法（第4课时）课件 2026--2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第21章 一元二次方程 21.2 一元二次方程的解法 （第4课时）公式法 年 级：八年级 学 科：数学（上教版） 复习引入 复习：配方中的关键一步 把的左边配成完全平方式。 方程两边应同加多少？ 【答案】同加，得到。 解析 一次项系数的一半是，其平方为。 方程两边同加，保持等式成立。 复习引入 问题5：一般方程怎样配方 对于任意给定的一元二次方程 （），如何用配方法求解？ 【答案】先移项，再同除以：。 解析 移项得。 因，可把二次项系数化为。 新知讲授 一般方程的配方过程 两边同加 两边同加。 配成平方 。 开平方的条件 因，；右边非负时才能在实数范围内开平方。 注意正负 开平方时保留±；合并正负两种情况后可用分母表示。 新知讲授 一元二次方程的求根公式 求根公式 对一元二次方程（），当时，它的实数根可以写成的形式。这个式子叫作一元二次方程 （）的求根公式。 公式的范围 根号覆盖整个；整个分子除以。 新知讲授 什么是公式法 公式法 在解一元二次方程时，把方程化成一般形式 （），如果，那么把的值代入求根公式，就可以求得方程的实数根；如果，那么原方程没有实数根。这种解一元二次方程的方法称为公式法。 适用范围 公式法适用所有的一元二次方程。 新知讲授 代入公式前的检查 先整理 展开、移项、合并， 使方程右边为。 再识别 按一般形式确定；系数包含正负号。 先计算 算出后，再决定是否代入求根公式。 易错提醒 是整个的平方； 是的相反数。 例题讲解 例7 用公式法解下列方程： （1） 。 （2） 。 （1） ，。 （2） ，。 。 整理得。 。 ，。 。 。 例题讲解 例7归纳：系数与代入 方法1 整理后识别系数 ① 先把右边化为零。 ② 系数连同符号抄写。 ③ 未知数名称可以不同。 方法2 计算后代入公式 ① 先算根号内的式子。 ② 分母写成二次项系数的两倍。 ③ 正负两种情况都要写。 例题讲解 例8 用公式法解下列方程： （1） 。 （2） 。 （1） 。 （2） 原方程没有实数根。 整理得。 整理得。 。 。 。 实数范围内不能开平方，无实数根。 新知讲授 相等的实数根与无实数根 重根 在求根公式中，如果，那么，即方程有两个相等的实数根（重根）。 负数不能开平方 若，配方后平方等于负数，故没有实数根。 易错提醒 重根要写成两个相等的实数根；无实数根不等于根为。 例题讲解 回看绿地问题：检验实际意义 长方形绿地的宽满足， 长比宽多米。用公式法求它的长和宽。 【答案】宽为米，长为米。 解析 整理得；。 得或；宽必须为正，舍去。 例题讲解 讨论：几种解法的联系 讨论问题 围绕方程，我们一共探索了几种解法？你能说说这几种解法各自的特点吗？ 因式分解法 整理后可分解为。 配方法与开平方 配成，再用直接开平方法。 公式法 将配方过程概括成公式；注意系数与适用条件。 课堂练习 练习1 用公式法解下列方程： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） ，。 （2） ，。 。 ，。 。 。 ，分别求出两个根。 。 课堂练习 练习1 用公式法解下列方程： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） ，。 （4） 原方程没有实数根。 两边乘再移项：。 整理得。 。 。 代入得。 所以原方程没有实数根。 课堂练习 课堂练习1归纳：先整理再套用 方法1 一般形式不能省 ① 分母为常数时可先去分母。 ② 移项时改变项的符号。 ③ 合并后再记录系数。 方法2 根式系数要整体平方 ① 负数平方时加括号。 ② 根号外系数也要平方。 ③ 负数不能作实数根式的 被开方数。 课堂练习 练习2 用公式法解下列方程： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （1） 。 （2） 。 整理得。 。 。 。 。 。 课堂练习 练习2 用公式法解下列方程： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 （3） ，。 （4） ，。 展开、移项：。 两边乘：。 。 整理得。 。 。 。 课堂练习 课堂练习3：欢欢的解答过程 原题 欢欢在解方程时出现了错误，她的解答过程如下： 解：① 原方程中，，，。 ②、③ ② 。 ③ 由求根公式，得。 ④ 所以，原方程的根是，。 课堂练习 课堂练习3（1）：定位首个错误 （1）欢欢的解答过程是从第________步开始出错的， 其错误原因是________。 【答案】从第①步开始；未化成一般形式，常数项应为。 解析 原方程应先化为。 所以，不能取。 课堂练习 课堂练习3（2）：正确解答 （2）请写出正确的解答过程。 原方程：。 【答案】，。 解析 整理为，。 代入公式得，分别写出两个根。 课堂小结 课堂总结 来源 一般方程配方，得到求根公式。 公式 ； 且。 步骤 整理一般形式，识别系数； 先计算，再代入化简。 检查 注意负号与根号范围； 实际问题要检验根的意义。 针对训练 训练1：识别系数 方程化成一般形式后， 依次为（　　）。 A． B． C． D． 【答案】B 解析 整理为。 系数包含符号，因此依次为。 针对训练 训练2：填空 对方程， ________，________。 【答案】依次为、。 解析 ，故。 求根公式分母为，不能只写。 针对训练 方法总结：公式中的每个位置 方法1 确定三个系数 ① 右边先化为零。 ② 系数必须连同符号。 ③ 缺项系数写成零。 方法2 核对公式的结构 ① 先算整个根号内的值。 ② 分母是二次项系数的两倍。 ③ 分子首项是一次项系数的 相反数。 针对训练 训练3：判断并改错 解时，小明写成 。正确吗？请改正。 【答案】不正确；，。 解析 ，所以；根号内。 正确代入为，得到和。 针对训练 训练4：公式法求根 用公式法解方程：。 【答案】，。 解析 ，。 。 针对训练 方法总结：代入与化简 方法1 负系数代入加括号 ① 平方与相反数要分清。 ② 乘积中的负号不能漏。 ③ 抄完系数再核对一次。 方法2 含根式的结果要化简 ① 提出完全平方因数。 ② 分子各项同时约分。 ③ 把两个根分别写出。 针对训练 训练5：根式系数的方程 用公式法解方程：。 【答案】。 解析 ，其平方为；。 因，故。 针对训练 训练6：先展开再求根 用公式法解方程：。 【答案】，。 解析 展开、移项得。 ，故。 针对训练 方法总结：不同外形，同一公式 方法1 有括号先整理 ① 逐项展开乘积。 ② 移项后合并同类项。 ③ 只从一般形式读取系数。 方法2 根号内为零要规范写根 ① 平方中保留外面的系数。 ② 零的平方根仍是零。 ③ 写成两个相等的实数根。 针对训练 训练7：长方形花坛 长方形花坛面积为平方米，长比宽多米。 用公式法求花坛的长和宽。 【答案】宽为米，长为米。 解析 设宽为米，得，即。 或；舍负根，长为米。 针对训练 训练8：直角三角形卡片 直角三角形卡片面积为平方厘米， 一条直角边比另一条长厘米。用公式法求两条直角边。 【答案】两条直角边分别长厘米和厘米。 解析 设较短直角边为，则。 整理得，解得或；取正值。 针对训练 方法总结：列方程后检验 方法1 面积关系建立方程 ① 先设一个未知长度。 ② 用同一未知数表示另一边。 ③ 按面积公式列方程。 方法2 求根后回到情境 ① 用公式法求全部实数根。 ② 实际长度必须为正。 ③ 代回面积和边长关系检查。 $