21.2 一元二次方程的解法（第4课时）（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程求根公式的推导与应用，以复习配方法步骤为导入，通过问题链引导学生用配方法推导一般形式方程的求根公式，构建从特殊到一般的学习支架，帮助学生理解降次思想及前后知识的逻辑关联。 其亮点在于注重数学思维与表达，推导公式时通过分类讨论b²-4ac的三种情况培养推理能力，例题强调化一般式、判判别式、代公式的规范步骤强化数学语言，提升训练结合黄金分割等实例渗透数学眼光。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可依托系统流程与分层练习优化教学。

第21章 一元二次方程 21.2一元二次方程的解法 第4课时一元二次方程的求根公式 沪教版2024 八年级数学上册 章节导读 21.1 一元二次方程的概念 21.2 一元二次方程的解法 一元二次方程的概念 一元二次方程的解 特殊的一元二次方程的解法 一般的一元二次方程的解法 一元二次方程的求根公式 21.3 一元二次方程的判别式 已知方程判断解的情况 已知解的情况求字母系数 21.4 一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理 韦达定理的应用 21.5 一元二次方程的应用 二次三项式的因式分解 列方程解应用题 学习目标 1. 通过观察、归纳、交流等活动，体验用求根公式解一元二次方程的过程； 3..通过对方程结构的观察和分析，理解数学的化归思想，建立解一元二次方程的基本思路—降次. 2. 掌握运用求根公式解一般的一元二次方程； 知识回顾 复习导入 如何运用配方法解一元二次方程？ 一般步骤 方法 一移 移项 将常数项移到右边，含未知数的项移到左边 二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 四开 开平方 利用平方根意义直接开平方 五解 解两个一元一次方程 移项，合并 对于一般的方程都可以用配方法解方程？ 新课讲授 我探究！ 问题思考 怎么用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) ？ 分析 对于任意一个方程都可以按照之前的步骤进行求解. 二次项系数化为1，得 移项，得 配方，得 即 ① 一定能进行开方吗？ 不一定！ 分类讨论！ 新课讲授 我探究！ 问题思考 怎么用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) ？ ∵a ≠0，∴4a2>0. 式子b2－4ac 的值有一下三种情况： （1）b2－4ac ＞0 这时 ＞0，由①得 方程有两个不等的实数根 （2）b2－4ac =0 这时 =0，由①可知， 方程有两个相等的实数根、 x1=x2= - . （3）b2－4ac ＜0 x取任何实数不能 使 ＜0 ， 因此方程无实数根. 请归纳一般方程的解的情况. 新课讲授 我归纳！ 由上可知，当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 学以致用 例题讲解 例题1 用公式法解下列方程. 请归纳运用公式法解方程的注意事项. 新课讲授 我归纳！ 1.运用公式法解方程的注意事项 运用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，判定b2 -4ac ≥0时，才可以用求根公式. 2.运用公式法解方程的步骤 ①化为一般式；②确定各项系数；③代入公式计算. 学以致用 例题讲解 例题2 用公式法解下列方程. 学以致用 我会求 变式练习 解方程： 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法——公式法．熟练掌握一元二次方程的不同解法及其适用条件是解题的关键． 学以致用 我会求 变式练习 解方程： 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解法是解决问题的关键，用因式分解法求解即可； =49 学以致用 我会求 变式练习 解方程： 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解法是解决问题的关键，用因式分解法求解即可； 课堂小结 我总结！ 否 提升训练 我会算！ 提升1 茗茗同学在解关于x 的方程时，过程如下： 第一步：，，， 第二步： 第三步：当（）时，；当时方程无解 你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是________________． 你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是______________． 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题的关键,根据一元二次方程的定义，公式法的条件即可求出答案． 解：茗茗同学的解方程过程忽视的问题是没有考虑的情况； 在上述解题过程中应该增加的一个步骤是当时，方程， 解得：； 故答案为：没有考虑的情况；当时，． 提升训练 我会算！ 提升2 阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程， ， ． 解得，； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为 　 　； (2)将代数式分解因式． 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是解题关键． 提升训练 我会算！ 提升2 阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程， ， ． 解得，； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为 　 　； 【分析】根据题中给出的求根法的定义即可得出答案； （1）解：代数式对应的方程解为和7， 代数式分解后为， 故答案为：； 提升训练 我会算！ 提升2 阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程， ，． 解得，； ． (2)将代数式分解因式． 【分析】先令，得到一个关于的一元二次方程，用求根公式求出它的两根，然后代入即可． （2）解：令，得到一个关于的一元二次方程， ，， ，解得，， ． 方法总结： 本题主要考查的是求根法因式分解，公式法解一元二次方程，对于二次三项式的因式分解有：，其中、是的两根，理解并掌握题目中的求根法因式分解是解题的关键. 提升训练 我会算！ 提升3 解方程． 【分析】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，根据题意分和两种情况，分别解方程即可． 解：①当时，即时，原方程化为，即， ， ∴， ∴原方程无解， ②当时，即时，原方程化为，即， ， ∴， ， 解得：． 提升训练 我会算！ 提升4 关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数；(2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值；(3)已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 提升训练 我会算！ 提升4 关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (1)求黄金分割数； 【分析】依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （1）依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． 提升训练 我会算！ 提升4 关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (2)已知实数a，b满足：，且，求ab的值； 【分析】依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （2）∵，∴， 则． 又∵， ∴，是一元二次方程的两个根， 则，∴． 提升训练 我会算！ 提升4 关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． (3)已知两个不相等实数p，q满足：，求值． 【分析】依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． （3）∵，； ∴；即； ∴． 又∵； ∴；即． ∵，为两个不相等的实数，∴，则，∴． 又∵，∴， 即． 感谢聆听 $