2.2 基本不等式（11个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“基本不等式”核心知识点，系统梳理均值不等式的成立条件、算术与几何平均数关系，以及“积定和最小”“和定积最大”等原理，通过11个递进题型构建从基础概念到复杂应用的学习支架。 资料以“题型+方法+例题+练习”模式设计，突出易错辨析培养严谨数学思维，“1”的代换与换元法强化数学语言转化能力，对勾函数与消元法引导用数学眼光观察问题。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过检测查漏补缺，提升问题解决能力。

2.2 基本不等式 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．均值不等式 （1）重要不等式 如果，那么________（当且仅当时取“”）． （2）均值（基本）不等式： ①基本不等式成立的条件：___，均为非负实数_____________； ②等号成立的条件：当且仅当________时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 ①设，，则，的算术平均数为，几何平均数为_______； ②基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数_不小于______它们的几何平均数． 3．已知，，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当________时，有最小值是_ _______（简记：积定和最小）． （2）如果和是定值，那么当且仅当________时，有最大值是________（简记：和定积最大）． 4．（1）______，当且仅当时取等号． （2），当且仅当时取等号． （3），当且仅当时取等号． （4），当且仅当时取等号． 5．几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式：______（a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式：______（，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 基本不等式的易错辨析 基础知识 核心知识 基本不等式： 使用条件：一正、二定、三相等 一正： 二定：和为定值或积为定值 三相等：当且仅当时取等号 不满足前提时不能直接套用基本不等式 方法技巧 1.先判断变量正负，负数先提负号转化 2.检查是否有定值条件，没有定值不能直接求最值 3.验证等号能否取到，取不到时改用函数单调性 4.多次使用不等式时，必须检查等号条件是否一致 5.常见错误：忽略正负、忘记定值、不等号方向错误、等号不成立 典型例题 【例题 1】（25-26高二下·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 【例题2】下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【分析】运用基本不等式可判断A，运用特殊值法可判断B、D，运用作差法可判断C. 【详解】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用基本不等式成立的条件来作出判断即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号，故A正确； 当时，由于在的区间上单调递增，所以，故B错误； 当时，，当且仅当时取等号，故C正确； 当时，的值一定小于，故D错误； 故选：AC 【巩固练习2】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 【答案】B 【分析】利用基本不等式成立的条件来作出判断，若不成立则举反例即可. 【详解】选项A，因为，所以不满足“取等号时的条件”，故A不正确； 选项B，由，当且仅当等号成立，故B正确； 选项C，因为，不满足“各项必须为正”，所以当时，的最小值不可能为2，故C不正确； 选项D，当时，，所以的最小值不可能为2，故D不正确. 故选：B 【巩固练习3】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）（多选）下列结论正确的有（   ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，时，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，则，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，，，当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：AD 【题型2】 基本不等式直接应用求和/积的最值 基础知识 核心知识 若且为定值，则，和有最小值 若且为定值，则，积有最大值 方法技巧 1.先确认 2.判断是“积定”还是“和定” 3.积定求和的最小值，和定求积的最大值 4.必须写出等号成立条件 5.若题目限制，则一般不能用基本不等式取等 典型例题 【例题1】（26-27高一上·山西运城·开学考试）已知，且，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且，可得，且， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 【例题2】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 【答案】 【详解】，所以， 所以， 若，其值必然小于正数，因此仅需考虑， 根据基本不等式，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知正数，满足，则的最小值是______. 【答案】 【详解】由题意知，， 所以，当且仅当时，等号成立. 故的最小值是. 【巩固练习2】（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知，则的最小值为______________. 【答案】1 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知，则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 【巩固练习3】（25-26高一下·云南普洱·期末）已知，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】利用基本不等式对正项和放缩，验证等号成立条件即可求得最小值. 【详解】已知，因此，， 根据基本不等式可得： 当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为. 【题型3】 基本不等式“1”的代换 基础知识 核心知识 当条件形如时，可将目标式乘以1，构造基本不等式结构 常用于求型最值 方法技巧 1.观察条件是否等于1 2.将目标式乘以条件式，展开后分组 3.构造出“积为定值”的两项 4.使用 5.最后验证等号成立时变量是否为正 典型例题 【例题1】（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为________． 【答案】6 【详解】正实数，满足，有， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【例题2】（25-26高二下·河南信阳·期末）已知实数，，且，则的最小值是__________． 【答案】 【详解】由题意得：， 当时，即时，等号成立. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·广西贺州·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】∵ 正实数满足,∴ . ∴ . ∵ ，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，符合为正实数的约束条件. ∴ 的最小值为. 【巩固练习2】（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】正实数，满足， 则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【巩固练习3】（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为____． 【答案】8 【分析】巧用“1”的代换，再结合基本不等式求解. 【详解】已知正实数满足，等式两边同时除以得：， 所以， 则，当且仅当即时等号成立， 代入得，即的最小值为. 【题型4】 基本不等式换元/分离参数后“1”的代换 基础知识 核心知识 复杂分式或条件式不能直接代1时，先换元或分离常数 换元后必须确定新变量的取值范围 方法技巧 1.分式优先分离常数，简化结构 2.用新变量替换复杂整体 3.把条件化为“和为1”的形式 4.再使用“1的代换” 5.求出结果后回代原变量，并检验等号 典型例题 【例题1】已知，且，则的最小值为_____________． 【答案】/ 【详解】因为， 即①， 当且仅当，即时取等号，结合解得，， 又，等量替换不等式①中的，得， 解不等式得，或， 已知，，则， 故的最小值为． 【例题2】（26-27高三上·天津·开学考试）若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】换元可得，，利用基本不等式“1”的妙用进行求解 【详解】令，则，， 则， 其中， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 【答案】/ 【分析】先由判断，再将配凑，利用乘法结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 【巩固练习2】（24-25高二下·天津静海·阶段检测）设为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】 【详解】由可得，得. ， 当且仅当时，即时等号成立. 【巩固练习3】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）正实数x，y满足，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】利用分式的运算性质，结合代换、基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 因为x，y是正数， 所以，当且仅当时取等号， 即当且仅当时取等号， 因此， 因此当时，有最小值， 故答案为： 【题型5】 “和与积”共存的式子求和/积的最值 基础知识 核心知识 当条件同时含有和时，可设， 再结合建立不等式 方法技巧 1.设， 2.将条件统一为关于或的不等式 3.利用基本不等式放缩 4.解不等式得到范围 5.检验端点或等号成立条件是否满足 典型例题 【例题1】（25-26高二下·重庆荣昌·期末）（1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 【答案】（1），；（2）的最小值为6，． 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）将已知等式变形为积定值和取最大值，或结合基本不等式建立关于的不等式求解． 【详解】（1）由题知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． （2）因为，所以，整理得， 解得或（舍）， 当且仅当时，取得最小值为6． 【例题2】已知 ，求ab的最大值； 【答案】 【分析】利用基本不等式得到关于的不等式，整体换元解不等式得的范围，再分析取等号的条件即可. 【详解】由， 可得，当且仅当时等号成立. 令，则，即， 解得，又，则. 则， 当且仅当时等号成立. 故的最大值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)8 (2)8 (3)． 【分析】（1）利用基本不等式得到，再采取换元法令解出的范围，从而得到的最大值。 （2）由题得到，则再化简使用基本不等式求解即可. （3）直接使用基本不等式得到，再结合求得，取得最小值． 【详解】（1）因为，，，当且仅当时取等号， 令，则，， 化为，所以，故， 当且仅当即时取等号，所以的最大值为8． （2）由得，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8； （3），，， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值． 【巩固练习2】（25-26高一上·安徽·期中）已知，完成下列问题. (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)49 (2)64 【分析】（1）由基本不等式乘1法即可求解； （2）由基本不等式得到，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）因，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为49. （2）因，则， 即，可得， 即或（舍），解得， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为64. 【巩固练习3】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知， (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将等价于，由“1”的妙用化简，再由基本不等式解出答案； （2）由，将看成一个整体，再解一元二次不等式即可. 【详解】（1）若，则，         所以，     当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. （2）由得，         当且仅当，即，时等号成立，    所以， 所以或， 又， 所以的最小值为. 【题型6】 因式分解/双换元法求最值 基础知识 核心知识 条件等式可因式分解时，常拆成两个因式乘积为定值 出现与的组合时，可用双换元简化 方法技巧 1.先对条件因式分解 2.观察能否凑成“积为定值” 3.设， 4.用表示目标式 5.在新变量下使用基本不等式 典型例题 【例题1】（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的最小值为____________________． 【答案】 【分析】对原式因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 【例题2】（26-27高三上·江苏南京·开学考试）已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以，所以. 又， 当且仅当即，时取“”. 所以 ，即的最小值为11. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 9 3 【分析】第①问通过对已知等式变形结合基本不等式求解；第②问通过换元法化简，再结合已知等式利用基本不等式求最小值． 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. 【巩固练习2】（2026·浙江宁波·三模）已知实数满足，且，则的最小值为_____． 【答案】7 【详解】由，则， 即，又，则， 解得 ，当且仅当取等， 则的最小值为7. 【巩固练习3】若，且，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】先因式分解，由得，再换元，，用表示，根据基本不等式即可求解. 【详解】由得， 令，则且，， 所以 ， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为:． 【题型7】 “对勾函数”型求最值 基础知识 核心知识 形如的函数叫对勾函数 在上单调递减，在上单调递增 当时取得最小值 方法技巧 1.识别结构 2.先求定义域 3.判断是否在定义域内 4.在定义域内可用基本不等式 5.不在定义域内则用单调性求端点最值 典型例题 【例题1】（24-25高一上·河北邢台·阶段检测）（多选）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 【答案】ABC 【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断. 【详解】对于A，当时函数值为负数，显然错误. 对于B，，当且仅当时等号成立，但，所以取等条件不成立，错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：ABC 【例题2】（2026高一·全国·专题练习）当时，则的最小值是______. 【答案】 【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 【答案】BC 【分析】AD选项，利用对勾函数的性质进行求解；BC选项，直接使用基本不等式或变形后使用基本不等式进行求解 【详解】A选项，令， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 故， 故的最小值为，A错误； B选项，因为，所以， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数最小值为，B正确； C选项，当时，， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故，C正确； D选项，由对勾函数性质可知在上单调递减， 故，D错误. 故选：BC 【巩固练习2】（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 【巩固练习3】求函数的最小值． 【答案】9 【分析】将看作一个整体，化简得，再利用基本不等式即可求得函数的最小值. 【详解】， 因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为. 【题型8】 消元法 基础知识 核心知识 当条件等式能把一个变量用另一个变量表示时，可消去一个变量 把二元问题转化为一元函数问题 方法技巧 1.从条件中解出一个变量 2.代入目标函数 3.确定自变量的取值范围 4.转化为单变量最值问题 5.结合基本不等式或函数单调性求解 典型例题 【例题1】（26-27高二上·广东梅州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得到，又，，则， 所以， 当且仅当，即时取等号. 【例题2】（2026高三下·全国·专题练习）若正实数满足，则的最小值为______． 【答案】6 【分析】将代换后使用基本不等式求解. 【详解】因为正实数满足，所以，解得，则， 可得， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 【巩固练习2】（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【巩固练习3】（2026·西藏日喀则·模拟预测）（多选）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】CD 【详解】因为，所以，，， 当时，， 当时，， 结合选项，的值可能为或． 【题型9】 多次使用不等式求最值 基础知识 核心知识 同一题中可连续多次使用基本不等式 但每一次都必须满足“一正、二定、三相等” 且所有等号条件必须能同时成立 方法技巧 1.分步放缩 2.每一步都写等号条件 3.联立所有等号条件 4.若存在公共解，则可取到最值 5.若等号条件矛盾，则不能连续使用 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先对进行拆分，分别求出和的最小值．对于，提取后，利用，构造齐次式，从而借助基本不等式求得最小值；对于，将看作常数，借助基本不等式求得最小值．求得的两个最小值都与有关，观察后再次借助基本不等式求得最小值． 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为，此时，，，． 【例题2】（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】记原式为．首先齐次化，结合均值不等式有，从而可得，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】令 ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 令， 注意到单调递增， 故． 当且仅当时等号成立． 故答案为： 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于________． 【答案】48 【分析】利用常值代换和基本不等式即可求得最小值. 【详解】因，且， 则 （当且仅当时等号成立） ，当且仅当即时等号成立. 所以的最小值等于. 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高一上·湖南·期末）已知正数a，b满足，，则的最小值为______ . 【答案】 【分析】由，，平方得到，代入目标式化简变形通过两次运用基本不等式计算即可求出最小值． 【详解】解：由，得， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取“等号”， 所以当，，时，的最小值为 故答案为： 【巩固练习3】（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数、满足：，则的最大值为______，若实数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】对于第一空，利用基本不等式，再利用换元法令，再解一元二次不等式即可得解；对于第二空，先将整理为，再利用换元法令，将整理为，再利用基本不等式求得该式的最小值为，再运用配凑法与基本不等式求得的最小值即可得解. 【详解】对于第一空：，当且仅当时等号成立. 令，则可化为， 解得，则，，当且仅当时等号成立，故的最大值为； 对于第二空：可整理为， 令，则. ， 当且仅当，即时，即时，等号成立， 即最小值为，即. 又因为， 当且仅当，即时，等号成立. 综上，当且仅当时，取到最小值 故答案为：①；②. 【题型10】 复杂条件等式求最值 基础知识 核心知识 条件含二次式、分式或多项混合式时，需先变形 通过配方、因式分解、换元、拆项等方法转化为基本不等式结构 方法技巧 1.先整理条件等式 2.配方或因式分解 3.尝试整体换元 4.凑出和定或积定 5.求出最值后回代验证 典型例题 【例题1】（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知正数，，满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，结合基本不等式对进行放缩，得到关于的不等式，将目标式转化为只关于的单变量函数，对单变量函数求最值，可利用基本不等式求解，同时验证等号成立条件. 【详解】根据基本不等式，结合已知得， 整理得，当且仅当时等号成立. 把的上界代入目标式，可得， 对正数，由基本不等式，当且仅当即时等号成立， 代入得，当时，由和， 解得，均为正数，满足所有约束条件，等号成立，因此原式最小值为 . 【例题2】（25-26高一上·广东深圳·期末）若实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知等式化为，令，把目标分式转化齐次式，，再用基本不等式求出最大值. 【详解】由可得， 令，则，， 所以，. 因为求最大值，所以，又， 所以， 当且仅当时取等号，结合可得， 进一步可得或， 所以的最大值为. 故选：B. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知，若，则的最大值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由条件可得，利用基本不等式，即可得出结论． 【详解】根据题意可得， 又，故 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为4. 故选：C. 【巩固练习2】（25-26高一上·山东青岛·期中）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】首先可得，则，从而得到，再由基本不等式求出的最大值，最后利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 又，，为正数， 所以，所以； 所以，由， 当且仅当，即时取等号， 所以， 当且仅当，即，时，取最小值. 所以的最小值为，当且仅当，，时取等号. 故选：D. 【巩固练习3】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，则得，，利用“1”的代换及基本不等式求最值. 【详解】正数满足，则， 令，，则有，，， 则， 由， 当且仅当时等号成立，由解得， 即当，时，，即的最小值为. 故选：C. 【题型11】 与基本不等式有关的证明 基础知识 核心知识 基本不等式常用于不等式证明中的放缩 放缩时要注意方向一致，不能时而放大时而缩小 方法技巧 1.观察待证式结构 2.合理拆项或分组 3.对每一组使用基本不等式 4.同向不等式相加或相乘 5.注明等号成立条件 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知.求证：. 【答案】因为,所以,当且仅当时取等号,解得； 于是得, 所以成立. 【例题2】（2026高三·全国·专题练习）设均为正数，且，求证：. 【答案】由题设均为正数，， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，得证. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1) 因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． (2) 因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【巩固练习2】（25-26高一上·青海海南·期中）（1）已知都是正数，求证：； （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1）因为都是正数，所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故，得证； （2） ． 【分析】（1）三次应用基本不等式结合不等式性质证明即可； （2）应用基本不等式，再结合换元法求解一元二次不等式计算即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以（当且仅当时等号成立）， 因为，移项，得， 所以， 设，则，解得（舍去）或， 因为，所以， 故的取值范围为． 【巩固练习3】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【答案】（1）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. （2）由均为正实数，且， 则，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 则，当且仅当时等号成立. （3）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. 【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. （2）根据题设及基本不等式易得，，，将这三个式子相加即可求证. （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，，且， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，，满足，等号可取. ∴的最小值为. 2．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知，且，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为. 3．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 4．（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知a，b均为正数，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用可得，结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】因为a，b均为正数，且，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为6. 5．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. 6．（2026·湖南湘潭·一模）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】已知，，整理，得， 则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 7．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件，对进行变形，利用基本不等式求出取最大值时的关系，再根据的关系求出的最大值. 【详解】因为正数满足， 所以， 设 ，则 ，， 所以， 令 ，则 ，且 ， ， 由基本不等式：， 当且仅当 时取等号， 联立 ，得 ， 即， 因为 则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为. 二、多选题 8．（26-27高一上·江西赣州·开学考试）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】BC 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，因为，所以，当且仅当即时取“”.故B正确； 对C，当时，，当且仅当时取“”.故C正确； 对D，当时，.故D错误. 9．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】由题得，利用换元法结合基本不等式即可判断ACD，利用二次函数即可判断B. 【详解】由，可得， 对于A，令，，则，且，可得， 则， 当且仅当，即，，即，时，等号成立，所以A错误； 对于B，由，可得，则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时， 即，，即，时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，可得，当且仅当时， 即，时，等号成立，所以的最小值为，所以D错误． 10．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】ABD 【详解】已知，故. 对选项A： ∵ ，∴ ，代入得： , 该式为关于的二次函数，开口向上，对称轴为，且, ∴ 当时，取最小值，代入得，故A正确. 对选项B： . ∵ ，∴ ， 当且仅当即，即时等号成立, 故最小值为，B正确. 对选项C： 由基本不等式得, 代入得，整理得，当且仅当，即时等号成立， 即存在最大值，当时，，无最小值，故C错误. 对选项D： 令，，两边平方得： , 由C得 ，代入得, ∴ ，当且仅当时等号成立，代入解得，满足取值范围， 故最大值为，D正确. 11．（26-27高三上·云南曲靖·开学考试）已知正数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案. 【详解】对于A：由题意，，. 所以，. 当且仅当，即，，取等号，故A正确； 对于B：， 由（1）知，所以，即，故B不正确； 对于C：. 所以，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即，即时取等号（负值舍去），所以D正确. 12．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知，，，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值为16 B．的最小值为9 C．的最小值为25 D．的最小值为128 【答案】ABD 【分析】根据基本不等式，结合“1”的代换方法，逐一分析各个选项，即可得答案 【详解】选项A：因为，，所以，解得， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为16，故A正确； 选项B： ， 当且仅当，即时等号成立，的最小值为9，故B正确； 选项C：由变形得，则， 而， 所以不存在满足条件的使得，故C错误； 选项D：因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 13．（25-26高一下·新疆·期中）下列说法正确的有（   ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是2 D．的最小值是4 【答案】BD 【分析】根据基本不等式逐项判断. 【详解】对A，当时，，A错误； 对B，，则，，当且仅当即时取等号，B正确； 对C，，当且仅当，即时等号成立，但无实数解，因此C错误； 对D，，，当且仅当时取等号，D正确. 14．（25-26高一下·四川成都·期中）已知正实数满足，则下列结论不正确的是（） A．的最大值为 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】ABD 【分析】已知正实数满足且先确定，A用基本不等式求得最大值为不等于4，B代入消元化为关于的二次函数求出最大值为不等于4，C利用完全平方公式结合最大值推出最小值为，D中表达式的值恒为负数，其最小值不可能为4，因此不正确的是ABD. 【详解】选项A：由，根据均值不等式，得，平方得，即.当且仅当时取等号，故最大值为，A错误. 选项B：由，且，得. ，这是开口向下的二次函数，对称轴. 代入得最大值为，B错误. 选项C：由，得.结合A知， 故，当且仅当取等号，C正确. 选项D：由，得， 则， 因此最小值不可能为，D错误. 15．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【详解】已知正实数满足，逐个分析选项： 选项A：，由基本不等式， 得，最小值为，A错误. 选项B：将代入得： ， 当时，等号成立，故B正确； 选项C：变形化简 ，由乘“1”法得： ， ， 所以， 等号成立当，即等号成立，故最大值为，C正确. 选项D：先化简前两项：， 由，得， 故原式， 两个等号均可同时取到（），故最小值为，D正确. 三、填空题 16．（25-26高二下·云南玉溪·期中）函数 的最小值为________. 【答案】3 【分析】先分离变量，再用均值不等式 【详解】，， 由均值不等式， 当且仅当，即时等号成立. 17．（25-26高二下·浙江舟山·期中）已知，且，则的最小值为__________. 【答案】2 【分析】先对进行通分，再结合已知条件，将式子变形，最后利用基本不等式求解最小值. 【详解】，因为，所以， 所以. 当且仅当，即时，等号成立， 结合可得或， 此时取得最小值2. 18．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 【答案】 / / 【分析】由条件化简，结合基本不等式求其最大值，确定取最大值的条件，再结合二次函数性质求的最小值，并求得此时的，得到的值. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，当且仅当，时等号成立， 所以当，时，取最大值， 所以当取最大值时，，，， 所以， 所以，， 所以当时，取最小值. 此时，， $2.2 基本不等式 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．均值不等式 （1）重要不等式 如果，那么________（当且仅当时取“”）． （2）均值（基本）不等式： ①基本不等式成立的条件：___，均为非负实数_____________； ②等号成立的条件：当且仅当________时取等号． 2．算术平均数与几何平均数 ①设，，则，的算术平均数为，几何平均数为_______； ②基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数_不小于______它们的几何平均数． 3．已知，，则 （1）如果积是定值，那么当且仅当________时，有最小值是_ _______（简记：积定和最小）． （2）如果和是定值，那么当且仅当________时，有最大值是________（简记：和定积最大）． 4．（1）______，当且仅当时取等号． （2），当且仅当时取等号． （3），当且仅当时取等号． （4），当且仅当时取等号． 5．几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式：______（a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式：______（，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 基本不等式的易错辨析 基础知识 核心知识 基本不等式： 使用条件：一正、二定、三相等 一正： 二定：和为定值或积为定值 三相等：当且仅当时取等号 不满足前提时不能直接套用基本不等式 方法技巧 1.先判断变量正负，负数先提负号转化 2.检查是否有定值条件，没有定值不能直接求最值 3.验证等号能否取到，取不到时改用函数单调性 4.多次使用不等式时，必须检查等号条件是否一致 5.常见错误：忽略正负、忘记定值、不等号方向错误、等号不成立 典型例题 【例题 1】（25-26高二下·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）（多选）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 【巩固练习2】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 【巩固练习3】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）（多选）下列结论正确的有（   ） A．当时， B．当时，最小值为2 C．当时， D．当时， 【题型2】 基本不等式直接应用求和/积的最值 基础知识 核心知识 若且为定值，则，和有最小值 若且为定值，则，积有最大值 方法技巧 1.先确认 2.判断是“积定”还是“和定” 3.积定求和的最小值，和定求积的最大值 4.必须写出等号成立条件 5.若题目限制，则一般不能用基本不等式取等 典型例题 【例题1】（26-27高一上·山西运城·开学考试）已知，且，则的最大值为________． 【例题2】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知实数a，b满足，则ab的最大值为________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知正数，满足，则的最小值是______. 【巩固练习2】（25-26高二下·陕西汉中·期末）已知，则的最小值为______________. 【巩固练习3】（25-26高一下·云南普洱·期末）已知，则的最小值为_________． 【题型3】 基本不等式“1”的代换 基础知识 核心知识 当条件形如时，可将目标式乘以1，构造基本不等式结构 常用于求型最值 方法技巧 1.观察条件是否等于1 2.将目标式乘以条件式，展开后分组 3.构造出“积为定值”的两项 4.使用 5.最后验证等号成立时变量是否为正 典型例题 【例题1】（26-27高三上·重庆·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为________． 【例题2】（25-26高二下·河南信阳·期末）已知实数，，且，则的最小值是__________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·广西贺州·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【巩固练习2】（25-26高二下·天津宝坻·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________． 【巩固练习3】（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为____． 【题型4】 基本不等式换元/分离参数后“1”的代换 基础知识 核心知识 复杂分式或条件式不能直接代1时，先换元或分离常数 换元后必须确定新变量的取值范围 方法技巧 1.分式优先分离常数，简化结构 2.用新变量替换复杂整体 3.把条件化为“和为1”的形式 4.再使用“1的代换” 5.求出结果后回代原变量，并检验等号 典型例题 【例题1】已知，且，则的最小值为_____________． 【例题2】（26-27高三上·天津·开学考试）若，且，则的最小值为___________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·河北·期末）已知，则的最小值为_______. 【巩固练习2】（24-25高二下·天津静海·阶段检测）设为正数，且，则的最小值为___________ 【巩固练习3】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）正实数x，y满足，则的最小值是__________. 【题型5】 “和与积”共存的式子求和/积的最值 基础知识 核心知识 当条件同时含有和时，可设， 再结合建立不等式 方法技巧 1.设， 2.将条件统一为关于或的不等式 3.利用基本不等式放缩 4.解不等式得到范围 5.检验端点或等号成立条件是否满足 典型例题 【例题1】（25-26高二下·重庆荣昌·期末）（1）已知，求的最大值及的值； （2）已知正实数满足．求的最小值及取最值时的值． 【例题2】已知 ，求ab的最大值； 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【巩固练习2】（25-26高一上·安徽·期中）已知，完成下列问题. (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 【巩固练习3】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知， (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值. 【题型6】 因式分解/双换元法求最值 基础知识 核心知识 条件等式可因式分解时，常拆成两个因式乘积为定值 出现与的组合时，可用双换元简化 方法技巧 1.先对条件因式分解 2.观察能否凑成“积为定值” 3.设， 4.用表示目标式 5.在新变量下使用基本不等式 典型例题 【例题1】（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知，，则的最小值为____________________． 【例题2】（26-27高三上·江苏南京·开学考试）已知，，且，则的最小值为______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【巩固练习2】（2026·浙江宁波·三模）已知实数满足，且，则的最小值为_____． 【巩固练习3】若，且，则的最小值为_____. 【题型7】 “对勾函数”型求最值 基础知识 核心知识 形如的函数叫对勾函数 在上单调递减，在上单调递增 当时取得最小值 方法技巧 1.识别结构 2.先求定义域 3.判断是否在定义域内 4.在定义域内可用基本不等式 5.不在定义域内则用单调性求端点最值 典型例题 【例题1】（24-25高一上·河北邢台·阶段检测）（多选）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 【例题2】（2026高一·全国·专题练习）当时，则的最小值是______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 【巩固练习2】（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【巩固练习3】求函数的最小值． 【题型8】 消元法 基础知识 核心知识 当条件等式能把一个变量用另一个变量表示时，可消去一个变量 把二元问题转化为一元函数问题 方法技巧 1.从条件中解出一个变量 2.代入目标函数 3.确定自变量的取值范围 4.转化为单变量最值问题 5.结合基本不等式或函数单调性求解 典型例题 【例题1】（26-27高二上·广东梅州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2026高三下·全国·专题练习）若正实数满足，则的最小值为______． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【巩固练习3】（2026·西藏日喀则·模拟预测）（多选）若，则的值可能是（   ） A．0 B． C．2 D． 【题型9】 多次使用不等式求最值 基础知识 核心知识 同一题中可连续多次使用基本不等式 但每一次都必须满足“一正、二定、三相等” 且所有等号条件必须能同时成立 方法技巧 1.分步放缩 2.每一步都写等号条件 3.联立所有等号条件 4.若存在公共解，则可取到最值 5.若等号条件矛盾，则不能连续使用 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课后作业）已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 【例题2】（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）已知，且，则的最小值为______． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·重庆·期中）已知，，且满足：，则的最小值等于________． 【巩固练习2】（25-26高一上·湖南·期末）已知正数a，b满足，，则的最小值为______ . 【巩固练习3】（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数、满足：，则的最大值为______，若实数，则的最小值为______． 【题型10】 复杂条件等式求最值 基础知识 核心知识 条件含二次式、分式或多项混合式时，需先变形 通过配方、因式分解、换元、拆项等方法转化为基本不等式结构 方法技巧 1.先整理条件等式 2.配方或因式分解 3.尝试整体换元 4.凑出和定或积定 5.求出最值后回代验证 典型例题 【例题1】（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知正数，，满足，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高一上·广东深圳·期末）若实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知，若，则的最大值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【巩固练习2】（25-26高一上·山东青岛·期中）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【巩固练习3】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【题型11】 与基本不等式有关的证明 基础知识 核心知识 基本不等式常用于不等式证明中的放缩 放缩时要注意方向一致，不能时而放大时而缩小 方法技巧 1.观察待证式结构 2.合理拆项或分组 3.对每一组使用基本不等式 4.同向不等式相加或相乘 5.注明等号成立条件 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课堂例题）已知.求证：. 【例题2】（2026高三·全国·专题练习）设均为正数，且，求证：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【巩固练习2】（25-26高一上·青海海南·期中）（1）已知都是正数，求证：； （2）若，且，求的取值范围． 【巩固练习3】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一下·陕西汉中·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）已知，且，则的最小值（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知a，b均为正数，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（26-27高三上·重庆北碚·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 6．（2026·湖南湘潭·一模）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 7．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（26-27高一上·江西赣州·开学考试）下列结论正确的是（    ） A．若，且，则 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 9．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 10．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 11．（26-27高三上·云南曲靖·开学考试）已知正数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 12．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知，，，则下列结论正确的有（    ） A．的最小值为16 B．的最小值为9 C．的最小值为25 D．的最小值为128 13．（25-26高一下·新疆·期中）下列说法正确的有（   ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是2 D．的最小值是4 14．（25-26高一下·四川成都·期中）已知正实数满足，则下列结论不正确的是（） A．的最大值为 B．的最大值为4 C．的最小值为 D．的最小值为4 15．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 16．（25-26高二下·云南玉溪·期中）函数 的最小值为________. 17．（25-26高二下·浙江舟山·期中）已知，且，则的最小值为__________. 18．（24-25高一上·福建宁德·阶段检测）已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ $