第11章 整式的乘除 期中专题复习二 2026-2027学年沪教版（五四制）七年级数学上册

第11章 整式的乘除 专题一：整式的乘法 考点1：同底数幂的乘法 一．选择题 1.（2025年浦东新区七上期中） 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算，包括同底数幂的乘法和幂的乘方法则，准确计算是解题的关键． 需根据幂的运算法则逐一判断各选项，即可得解． 【详解】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘； 选项：，错误； 选项：，错误； 选项：，正确； 选项：，错误． 故正确答案为． 2.（2025年金山区七上期中）我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式时，发现了为非负数展开式的各项系数的规律．例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1、1；，它有三项，系数分别为1、2、1；，它有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，展开式中各项系数之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出展开式中各项系数之和为是解题的关键． 根据题意，依次求出展开式中各项系数之和，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 展开式中各项系数之和为2； 展开式中各项系数之和为4； 展开式中各项系数之和为8； …， 所以展开式中各项系数之和为 当时， 展开式中各项系数之和是 故选：C． 二．填空题 1.（2025年浦东新区七上期中） 计算：______．（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，将看作整体，根据同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 2.（2025年普陀区七上期中） 如果，那么x所满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，根据零指数幂的定义，任何非零数的零次方等于1，因此底数不能为零． 【详解】解：当时，，故成立的条件是，即． 故答案为：． 3.（2025年闵行区七上期中） 计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，先理解题意，整理得，再把看作整体，再运算幂的乘方运算，然后运算同底数幂相乘，即可作答． 【详解】解： 故答案为： 4.（2025年金山区七上期中） 已知，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂乘除法、幂的乘方．根据幂的乘方运算法则，求得， 再利用同底数幂乘除法法则和将原式化成含有、的形式，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案是：． 三．解答题 1.（2025年闵行区七上期中） 计算： 【答案】9 【分析】此题考查了幂的运算法则与合并同类项等知识，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算法则是解答此题的关键． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方化简，然后再合并同类项，即可得到答案． 【详解】解： ． 2.（2025年金山区七上期中） 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： 考点2：幂的乘方 积的乘方 一．选择题 1.（2025年普陀区七上期中） 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算性质，包括积的乘方、幂的乘方和合并同类项等基本法则．根据相关运算法则计算即可． 【详解】解：A：，故错误． B：，故错误． C：，故正确． D：，故错误． 故选：C． 2.（2025年闵行区七上期中）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查指数运算规则，包括同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方和积的乘方，需逐一验证各选项． 【详解】解：A、，原运算错误； B、，原运算正确； C、，原运算错误； D、，原运算错误； 故选：B． 3.（2025年普陀区七上期中） 已知，，，那么的等量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，通过观察已知条件中的数字关系：与相等，推导出的关系． 【详解】解：∵，， ∴ ． 又 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 由于底数x相同，当时， ∴ ． 故选：A． 二．填空题 1.（2025年闵行区七上期中） 计算：______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方运算法则．根据积的乘方和幂的乘方运算法则解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2.（2025年闵行区七上期中） 计算：______． 【答案】 【分析】本题主要查了积的乘方的逆运算．利用积的乘方的逆运算进行计算，即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3.（2025年浦东新区七上期中） 已知a、b互为倒数，化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，有理数的混合运算，积的乘方的逆运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据倒数的意义可得，然后计算乘方，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a、b互为倒数， ∴ ∴ 故答案为：． 4.（2025年金山区七上期中） 计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，关键是指数分解和结合； 利用积的乘方公式简化计算. 【详解】解：原式， ， ， ， 故答案为：. 三．解答题 1.（2025年闵行区七上期中） （1）已知，，求值； （2）已知，、为正整数，求值． 【答案】（1）675；（2）16 【分析】此题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方，同底数幂除法，正确将原式变形是解题关键． （1）根据同底数幂乘法的逆运算，积的乘方解答即可； （2）根据同底数幂除法，积的乘方解答即可． 【详解】解：（1）∵， ， ∴； （2）， ∵， ∴， ∴原式． 考点3：整式的乘法 一．选择题 1.（2025年普陀区七上期中） 已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式、整式的乘除运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； 先化简新运算表达式，然后分别验证两个结论是否成立． 【详解】， ∴， ， ， 时，满足条件， 存在有理数，，满足；故错误， ， ， ， ；故正确． 故选：B． 二．填空题 1.（2025年金山区七上期中） 计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，关键是熟练应用法则进行运算； 根据单项式乘法的运算法则，系数相乘，同底数幂相乘. 【详解】解：， 故答案为：. 2.（2025年普陀区七上期中）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了运用平方差公式进行运算，熟练掌握平方差公式是解题点关键．将原式变形为，然后应用平方差公式计算． 【详解】解：原式． 故答案为：． 3.（2025年闵行区七上期中）在横线上填入适当的整式：（______）． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的因式分解和整式乘法，通过观察右边表达式可化为，再根据整式乘法运算求解． 【详解】解：右边 ， 因此有 ， 所以 ， 故答案为：． 4.（2025年闵行区七上期中） 已知二次三项式的一个因式是，则常数______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式．由于已知一个因式，可设另一个因式为一次式，通过因式分解与整式乘法的互逆关系，比较系数求解，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，设另一个因式为， 则， 展开右边：， 则， ∴，， 解得， 则， ∴， 故， 故答案为：． 5.（2025年金山区七上期中）若整式展开化简后要含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式法则，以及已知多项式乘积不含某项求字母的值等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 将整式展开并合并同类项，根据条件“不含二次项”和“含一次项”建立方程求解即可． 【详解】解： ， ∵不含项， ∴， 解得， 又∵含有x的一次项， ∴，即， ∴， 故答案为：． 6.（2025年闵行区七上期中） 已知关于的整式与的乘积中不含的一次项，则的值为______． 【答案】9 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关项问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据关于x的代数式与的乘积中不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵与的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：9． 7.（2025年普陀区七上期中） 如果关于x的整式与的积中不含x的一次项，那么的值是________． 【答案】 【分析】该题考查了多项式乘法中的无关项问题，通过多项式乘法展开，合并同类项后，令x一次项的系数为零，建立方程求解a． 【详解】解： ． 由于积中不含x的一次项，则一次项系数， 解得， 即． 故答案为：． 8.（2025年普陀区七上期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法法则，因式分解的概念及完全平方公式．甲同学看错常数项但一次项系数正确，乙同学看错一次项系数但常数项正确，分别从两者的因式分解结果中求出正确的a和b，再对正确多项式进行因式分解． 【详解】解：甲同学因式分解结果为，展开得，由于看错了常数项b，但一次项系数a正确，故； 乙同学因式分解结果为，展开得，由于看错了一次项系数a，但常数项b正确，故； 因此，原多项式为，因式分解得． 故答案为：． 9.（2025年闵行区七上期中） 如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应的系数，根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算规律的探究，以及“杨辉三角”的认识，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式逆用“杨辉三角”系数规律变形，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 10.（2025年嘉定区七上期中） 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，如：，它的系数分别为1，2，1．若展开得，那么的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查的是求解代数式的值，多项式的乘法运算中的规律问题，熟练的利用特值法求解代数式的值是解本题的关键；本题令代入可得答案． 【详解】解：∵ 令， ∴， 即； 故答案为：； 11.（2025年奉贤区七上期中）上海市依托上海智慧教育平台建设中小学数字教学系统（三个助手），每个学生在三个助手中都有属于自己的二维码．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a、b、c、d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0、1、1、1，序号为，表示该生为7班学生，请写出图3所对应的班级序号______． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题关键．由题意可知，图3第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，再根据转换法则计算即可． 【详解】解：图3第一行数字从左到右依次为0、1、0、1，其序号为， 故答案为：5． 三．解答题 1.（2025年嘉定区七上期中） 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了整式的混合运算. （1）根据乘法公式计算即可； （2）先根据乘法公式计算，再计算加减，最后计算除法即可. 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 2.（2025年浦东新区七上期中）若的积中不含项与项，求、的值； 【答案】 【分析】先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，再令x与x3项的系数为0，即可得p、q的值. 【详解】解： ， ∵积中不含项与项， ，， 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项． 3.（2025年浦东新区七上期中）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为． （1）你知道式子中a，b的值各是多少吗？ （2）请你计算出这道题的正确结果． 【答案】（1）， （2） 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的运算法则以及解二元一次方程组，读懂题意，根据题意列出二元一次方程组求出的值是解本题的关键． （1）根据题意可得；，从而得出，解二元一次方程组即可； （2）将的值代入，然后根据多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： ； ， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴正确的算式为． 4.（2025年嘉定区七上期中） 先化简，再求值： ，其中 ， . 【答案】-3. 【分析】根据单项式乘以多项式，完全平方公式运算，合并同类项化简，再代入数据计算即可． 【详解】原式=2xy-1 当 ，时，原式=-3． 【点睛】本题考查乘法公式混合运算，化简求值，掌握乘法公式混合运算，化简求值是解题关键． 5.（2025年嘉定区七上期中） 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． （2）若，求的值； （3）计算：． 【答案】（1）A （2）2 （3） 【分析】本题考查平方差公式的几何意义及应用，因式分解，掌握公式的结构特征是正确应用的前提，利用公式进行适当的变形是得出答案的关键． （1）根据拼接前后的面积相等可得出答案， （2），即，又，可求出的值， （3）利用平方差公式将算式转化为分数的乘积的形式，根据数据规律得出答案． 【小问1详解】 解：图①的剩余面积为，图②拼接得到的图形面积为 因此有，， 故选：A； 【小问2详解】 解：，， ； 【小问3详解】 解：原式， ， ， ． 6.（2025年浦东新区七上期中） 如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． （1）用含有、的式子表示绿化的面积； （2）若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 【答案】（1） （2）平方米 【分析】本题考查多项式乘多项式， （1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可； （2）把相应的值代入（1）中运算即可； 解答的关键是掌握相应的运算法则和公式． 【小问1详解】 解：由题意得： （平方米）， ∴绿化的面积为平方米； 【小问2详解】 当，时， （平方米）， ∴此时绿化的面积为平方米． 7.（2025年浦东新区七上期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，，试比较，的大小． 解：设， 那么，． 因为，所以． 看完后，你学会了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题： 若，，试比较，的大小． 【答案】 解：学会了，此时，的大小关系为， 设， 则， ， ， ； ， ， ， ， ． 【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算，解题关键是正确理解题意，掌握题目所给将较大数值计算问题转化为整式混合运算的方法和步骤． 设，则，，根据整式混合 运算的法则，分别计算出，的值即可比较大小． 【详解】略 8.（2025年金山区七上期中） 【追本溯源】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习“整式乘法公式”时．通过构造几何图形，用“等积法”直观地验证了平方差公式和完全平方和公式，如图和：，． 【初步应用】 （1）请你利用图2中的两个正方形画出一个几何图形来验证完全平方和公式，用字母a、b标注相关边长并简单说明你的验证思路，同时写出该数学等式______． 【拓展应用】 （2）请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若、，求ab的值； ②正方形ABCD和AEFG如图3所示方式摆放，已知，，，且，求图中阴影部分的面积； 【迁移应用】 （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，如图4是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，用它可以验证恒等式：，已知，，利用上述恒等式，求的值． 【答案】（1）；（2）①0.5；②20；（3）322． 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法表示图2的面积即可； （2）①根据进行计算即可；②由题意得，根据，求出，再根据求出的值，由代入计算即可； （3）根据，求出，再根据进行计算即可． 【详解】解：（1）整体上是保持为的正方形，因此面积为，拼成图2的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）①， ， 又， ； ②如图，，，，则， ， ， 即， ， ， 解得， ， ， ， ； （3），即，而，， ， ， ，即， 9.（2025年闵行区七上期中） 【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：_______；由图3可得等式：_______； （2）利用图3得到的结论，解决问题：若，，求的值； （3）如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则_______； （4）如图4，若有张边长为的正方形纸片，张边长分别为、的长方形纸片，张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为_______． （5）已知正数、、和、、，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 【答案】 （1），； （2） （3） （4） （5） 证明：如图， 构造了一个边长为的正方形，， 在正方形的个边上分别截取，，， ， ，，，， 个长方形的面积和为，大正方形的面积为， ． 【分析】本题用“等积法”解决多项式乘积的代数问题，渗透数形结合的思想，用代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． （1）大长方形的面积长宽，也等于图中多个小正方形和小长方形面积的和，两种方法求得的大长方形的面积相等，即“等积法”得到等式． （2）用（1）的结论变形后代入求值； （3）根据找到、、对应的值，代入求值； （4）通过分析，找到可以拼成正方形的可能的情况，然后找到正方形的边长最大； （5）通过构造边长为的正方形，用个长方形的面积表示，用面积直观地说明． 【小问1详解】 解：由图2可得等式， 由图3可得等式， 故答案为：，； 【小问2详解】 ，，， ； 【小问3详解】 ， 长方形可以看成张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼成的大长方形， ，，， ； 故答案为：； 【小问4详解】 想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接）， 选取的纸片的面积和必须构成完全平方式， 可以选取张边长为的正方形纸片、张边长分别为、的长方形纸片、张边长为的正方形纸片，此时围成的正方形面积为， 此时正方形的边长为； 选取张边长为的正方形纸片、张边长分别为、的长方形纸片、张边长为的正方形纸片，此时围成的正方形面积为， 此时正方形的边长为， ， 拼成的正方形的边长最长为， 故答案为：； 【小问5详解】 略 10.（2025年宝山区七上期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据上述规律，解答下面的问题 （1）直接写出第6个等式____； （2）小明在验算第三个等式成立时，他的过程中写到：， 他的依据是哪个乘法公式？请用字母a、b表示这个公式：__________． （3）猜想第n个等式（用含n的式子表示）________． 【答案】（1） （2）依据的是平方差公式， （3） 【分析】本题主要考查了数字的变化规律以及平方差公式，熟练掌握分析数字规律的方法和平方差公式的形式是解题的关键． （1）通过观察已知等式，找出等式中数字随序号变化的规律，进而写出第6个等式． （2）分析小明的验算过程，确定所依据的乘法公式，再用字母表示该公式． （3）根据前面等式的规律，归纳出第个等式． 【小问1详解】 解：第1个等式：，即； 第2个等式：，即； 第3个等式：，即； …… 则第个等式中，， ； 故第6个等式为． 【小问2详解】 解：小明的过程中，依据的是平方差公式，用字母、表示为： ； 【小问3详解】 解：由规律可得，第个等式为： ； 故第个等式为． 11.（2025年普陀区七上期中） 数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A种卡片是边长为的正方形，B种卡片是长、宽分别为的长方形，C种卡片是边长为的正方形． （1）小普同学用2张A种卡片、5张B种卡片、2张C种卡片拼出了如图2所示长方形，请借助图形因式分解： ． （2）如图3，已知线段将长方形分成左右两个长方形，，． 小普同学拿了5张图1中的卡片，按图4方式，不重叠地放在长方形内，长方形中有两个部分（阴影部分）未被覆盖，设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．当时，的值始终保持不变，与应满足怎样的数量关系？ 小普同学拿了15张图1中的卡片（其中有7张B种卡片）．在不剪裁、无缝隙、不重叠的情况下，小普同学用全部卡片恰好铺满图3中的长方形，求此时长方形的边长（用含的代数式表示），并画出一种长方形内的卡片放置图． 【答案】（1） （2）；， 作图如下图所示： 【分析】本题考查了因式分解的几何意义与长方形面积的综合应用，解题的关键是利用图形的面积关系建立代数等式，将几何直观与代数运算相结合． （1）通过分析图2中卡片组成的长方形的长和宽，利用面积相等的关系进行因式分解． （2）①设，分别表示出和，进而得出的表达式，根据其值与无关，令的系数为，求出与的数量关系．②问设，根据长方形面积公式和卡片数量列出方程组，求解得出、的值，从而得到的表达式． 【小问1详解】 图2九个部分的面积和为，整体上看是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设， 由图4可知，，， ． 因为当的长度变化时，的值始终保持不变，即的系数为0， 所以． 设 ， 因为用了B种卡片7张，A、C种卡片共8张． 12.（2025年嘉定区七上期中）已知正方形与正方形，，（）．根据下列条件平移正方形，解决下列问题． （1）如图，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． （2）若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． （3）如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． （4）若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（）利用割补法即可求解； （）延长与交于，根据解答即可； （）延长与交于，延长与交于，根据解答即可； （）延长与交于，延长与交于，根据解答即可； 本题整式运算的几何应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图（）， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：延长与交于，如图（）， ∴ ， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：延长与交于，延长与交于，如图（）所示， ∵， ∴，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：； 【小问4详解】 解：延长与交于，延长与交于，如图（）， ∴，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 专题二：乘法公式 一．选择题 1.（2025年浦东新区七上期中） 下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键． 【详解】解：A选项：∵ ，∴ 不能用平方差公式计算； B选项：∵ ，∴ 可以用平方差公式计算； C选项：∵ ，∴ 不能用平方差公式计算； D选项：∵项不匹配，无相同和相反项，∴ 不能用平方差公式计算. 故选：B. 2.（2025年金山区七上期中） 下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，关键是熟练掌握公式的适用形式； 根据平方差公式适用于形式为的表达式，其中和是整式，分析各选项进行选择即可. 【详解】解：选项A：与即无相同项也无相反项，不能用平方差公式计算； 选项B：∵ ， ∴可用平方差公式计算； 选项C：与互为相反数，不能用平方差公式计算； 选项D：与相同，乘积为完全平方式，不能用平方差公式计算； 故答案选：B. 3.（2025年嘉定区七上期中） 如图，从边长为（）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算． 【详解】解：矩形的面积为： （a＋4）2－（a＋1）2 ＝（a2＋8a＋16）－（a2＋2a＋1） ＝a2＋8a＋16－a2－2a－1 ＝6a＋15. 故选：D． 4.（2025年浦东新区七上期中） 如图， 两个正方形边长分别为a，b，如果， ，则阴影部分的面积为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】A 【分析】阴影部分面积可以用边长为的正方形面积的一半减去底为，高为的三角形的面积，将与的值代入计算即可求出值． 本题考查了完全平方公式的变形运用及整体法求代数式的值，根据图形正确表示出阴影部分的面积及把完全平方公式变形是关键． 【详解】解：根据题意得： 当，时， ． 故选：A． 二．填空题 1.（2025年嘉定区七上期中） 已知是完全平方式，那么的值为__________． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：由， ∴，解得或， 故答案为：1或 2.（2025年闵行区七上期中） 已知，则______． 【答案】7 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，两边都除以a构造出a与其倒数和是解题的关键，另外还要注意乘积的二倍不含字母非常的重要． 由已知方程变形得到，再利用完全平方公式求值． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， ∴． 故答案为：7 3.（2025年金山区七上期中） 若是一个完全平方式，那么的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的构成，关键是确定常数项； 利用完全平方公式，将表达式与标准形式比较，确定常数项的值. 【详解】解：∵是完全平方式 ∴， 即：. 故答案为 ：. 4.（2025年浦东新区七上期中） 计算：______． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式的应用，准确计算是解题的关键． 通过观察表达式，将项重新组合，使其符合平方差公式的形式，然后利用公式化简并展开． 【详解】 ， 故答案为 ． 5.（2025年普陀区七上期中） 我们把满足等式的三个正整数m、n、称为一组“完美平方数” （例如：3、4、5或5、12、13）．当n为小于100的正整数时，共有_________组这样的“完美平方数”． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，等式变形与化简及完全平方数的性质．由等式推导出，即，由于n是小于100的正整数，且m必须为奇数，代入m为奇数值计算n，满足的m值有6个，对应6组“完美平方数”． 【详解】解：由，得，即， ∴， 由于n是正整数，m必须为奇数，设（为正整数），则 ， 要求，即，， 尝试值： ①， ②， ③， ④， ⑤， ⑥， ⑦，（不符合） 因此，从1到6，对应6组“完美平方数”． 故答案为：6． 6.（2025年浦东新区七上期中） 有两个正方形、，将放在的内部得图，将、并列放置后得图，如果图和图中阴影部分的面积分别为和，则正方形、的面积之和是_____． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平方差公式与图形面积、多项式乘多项式与图形面积，解题关键是从图中提取出正确信息． 设正方形的边长为，正方形的边长为，得出，求出后可得、，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 依题得：， 得， 即， ， ，， ， ． 即正方形、的面积之和是． 故答案为：． 7.（2025年金山区七上期中）如果一个正整数能表示为两个连续非负偶整数的平方差，那么我们称这个正整数为“黄金数”．如：，，，因此，4，12，20这三个数都是“黄金数”．已知2028是黄金数，即（为连续的正偶整数），那么_____． 【答案】510 【分析】本题主要考查了乘法公式及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由题可知，进而代入求解即可． 【详解】解：∵2028是黄金数，即 ∴， ， ， ， ， 故答案为： 三．解答题 1.（2025年金山区七上期中） 用简便方法计算：． 【答案】1 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征计算即可． 【详解】解： 2.（2025年普陀区七上期中） 用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，正确计算是解题的关键；将式子变形为，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 3.（2025年浦东新区七上期中） 计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，需要运用完全平方公式和多项式乘法的知识进行计算． 先根据完全平方公式和平方差公式展开，再进行合并同类项即可； 【详解】解：原式 ． 4.（2025年普陀区七上期中） 用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，平方差公式与完全平方公式的应用，熟练地运用平方差公式与完全平方公式进行简便运算是解本题的关键．按照平方差公式与完全平方公式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 5.（2025年金山区七上期中） 计算：． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式． 根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解： 6.（2025年金山区七上期中） 计算：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：多项式乘多项式法则，平方差公式，去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 原式利用多项式乘多项式及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 7.（2025年金山区七上期中） 解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，乘法公式，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．根据乘法公式去括号，进而进行求解即可． 【详解】解：， 化简，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 8.（2025年普陀区七上期中）如图，长、宽分别为的长方形，它的周长为12，面积为7．求下列整式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）22 （2）48 【分析】此题考查了完全平方公式和因式分解法的应用，正确将原式分解因式是解题的关键． （1）利用面积公式得到，由周长公式得到，所以将原式变形为，再代入求值即可． （2）将原式因式分解得出，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：由题意得，． ． 【小问2详解】 解：． ． 专题三：整式的除法 考点1：同底数幂的除法 一．解答题 1.（2025年普陀区七上期中） 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键 先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式和单项式除以单项式，最后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 考点2：整式的除法 一．填空题 1.（2025年金山区七上期中） 计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据多项式除以单项式法则、积的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ， 故答案为： 2.（2025年普陀区七上期中） 计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式以及积的乘方运算．先计算除数的平方，再将多项式除法转化为分式形式，利用同底数幂的除法法则逐项运算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 二．解答题 1.（2025年普陀区七上期中） 先化简，再求值：，其中满足等式． 【答案】，14 【分析】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式以及完全平方公式． 利用平方差公式以及完全平方公式以及整式的混合运算进行化简，再求出x，y的值，代入求解即可． 【详解】解： ． 所以，． ， ． 2.（2025年浦东新区七上期中） 学习任务卡，请仔细阅读，并完成相应的任务． 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知___________，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得②___________，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照2835用竖式计算（如图）。 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算。 （1）任务一：补全材料中的两个空①__________，②__________． （2）任务二：仿照例子的做法计算 ①_________； ②_________ ③任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）. 【答案】（1）， （2）①②③， 【分析】本题考查了多项式除以多项式、多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式法则 得，则，即可作答． （2）①模仿题干的竖式计算过程作答即可； ②模仿题干的竖式计算过程作答即可； ③模仿题干的竖式计算过程作答即可； 【小问1详解】 解：依题意，， 则， 故答案为： ，； 【小问2详解】 解：①如图所示： ∴； 故答案为：； ②如图所示： ∴， 故答案为：； ③如图所示： ∵的商为整式，且结合上图的竖式过程， ∴， 此时． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 整式的乘除 专题一：整式的乘法 考点1：同底数幂的乘法 一．选择题 1.（2025年浦东新区七上期中） 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2.（2025年金山区七上期中）我国北宋数学家贾宪在研究乘法公式时，发现了为非负数展开式的各项系数的规律．例如：，它只有一项，系数为1；，它有两项，系数分别为1、1；，它有三项，系数分别为1、2、1；，它有四项，系数分别为1、3、3、1；根据以上系数规律，展开式中各项系数之和是（ ） A. B. C. D. 二．填空题 1.（2025年浦东新区七上期中） 计算：______．（结果用幂的形式表示） 2.（2025年普陀区七上期中） 如果，那么x所满足的条件是_____． 3.（2025年闵行区七上期中） 计算：______． 4.（2025年金山区七上期中） 已知，，则_____． 三．解答题 1.（2025年闵行区七上期中） 计算： 2.（2025年金山区七上期中） 计算：． 考点2：幂的乘方 积的乘方 一．选择题 1.（2025年普陀区七上期中） 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2.（2025年闵行区七上期中）下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3.（2025年普陀区七上期中） 已知，，，那么的等量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题 1.（2025年闵行区七上期中） 计算：______． 2.（2025年闵行区七上期中） 计算：______． 3.（2025年浦东新区七上期中） 已知a、b互为倒数，化简：______． 4.（2025年金山区七上期中） 计算：_____． 三．解答题 1.（2025年闵行区七上期中） （1）已知，，求值； （2）已知，、为正整数，求值． 考点3：整式的乘法 一．选择题 1.（2025年普陀区七上期中） 已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（ ） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 二．填空题 1.（2025年金山区七上期中） 计算：_____． 2.（2025年普陀区七上期中）计算：________． 3.（2025年闵行区七上期中）在横线上填入适当的整式：（______）． 4.（2025年闵行区七上期中） 已知二次三项式的一个因式是，则常数______． 5.（2025年金山区七上期中）若整式展开化简后要含x的一次项但不含x的二次项，那么常数a的值是_____． 6.（2025年闵行区七上期中） 已知关于的整式与的乘积中不含的一次项，则的值为______． 7.（2025年普陀区七上期中） 如果关于x的整式与的积中不含x的一次项，那么的值是________． 8.（2025年普陀区七上期中）在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为______． 9.（2025年闵行区七上期中） 如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应的系数，根据数表中前四行的数字所反映的规律计算：______． 10.（2025年嘉定区七上期中） 我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出下表，此表揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律，如：，它的系数分别为1，2，1．若展开得，那么的值为___________． 11.（2025年奉贤区七上期中）上海市依托上海智慧教育平台建设中小学数字教学系统（三个助手），每个学生在三个助手中都有属于自己的二维码．某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0．将第一行数字从左到右依次记为a、b、c、d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为．如图2第一行数字从左到右依次为0、1、1、1，序号为，表示该生为7班学生，请写出图3所对应的班级序号______． 三．解答题 1.（2025年嘉定区七上期中） 计算： （1）； （2）． 2.（2025年浦东新区七上期中）若的积中不含项与项，求、的值； 3.（2025年浦东新区七上期中）小华和小明同时计算一道整式乘法题．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把抄成了，得到结果为；小明把第二个多项式中的抄成了x，得到结果为． （1）你知道式子中a，b的值各是多少吗？ （2）请你计算出这道题的正确结果． 4.（2025年嘉定区七上期中） 先化简，再求值： ，其中 ， . 5.（2025年嘉定区七上期中） 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）． （1）上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个） A． B． C． （2）若，求的值； （3）计算：． 6.（2025年浦东新区七上期中） 如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． （1）用含有、的式子表示绿化的面积； （2）若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 7.（2025年浦东新区七上期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题． 例：若，，试比较，的大小． 解：设， 那么，． 因为，所以． 看完后，你学会了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题： 若，，试比较，的大小． 8.（2025年金山区七上期中） 【追本溯源】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习“整式乘法公式”时．通过构造几何图形，用“等积法”直观地验证了平方差公式和完全平方和公式，如图和：，． 【初步应用】 （1）请你利用图2中的两个正方形画出一个几何图形来验证完全平方和公式，用字母a、b标注相关边长并简单说明你的验证思路，同时写出该数学等式______． 【拓展应用】 （2）请利用上述验证的恒等式解决如下问题： ①若、，求ab的值； ②正方形ABCD和AEFG如图3所示方式摆放，已知，，，且，求图中阴影部分的面积； 【迁移应用】 （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，如图4是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，用它可以验证恒等式：，已知，，利用上述恒等式，求的值． 9.（2025年闵行区七上期中） 【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导了完全平方和公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：_______；由图3可得等式：_______； （2）利用图3得到的结论，解决问题：若，，求的值； （3）如图4，若用其中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接），则_______； （4）如图4，若有张边长为的正方形纸片，张边长分别为、的长方形纸片，张边长为的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为_______． （5）已知正数、、和、、，满足．试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明． 10.（2025年宝山区七上期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据上述规律，解答下面的问题 （1）直接写出第6个等式____； （2）小明在验算第三个等式成立时，他的过程中写到：， 他的依据是哪个乘法公式？请用字母a、b表示这个公式：__________． （3）猜想第n个等式（用含n的式子表示）________． 11.（2025年普陀区七上期中） 数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种卡片，A种卡片是边长为的正方形，B种卡片是长、宽分别为的长方形，C种卡片是边长为的正方形． （1）小普同学用2张A种卡片、5张B种卡片、2张C种卡片拼出了如图2所示长方形，请借助图形因式分解： ． （2）如图3，已知线段将长方形分成左右两个长方形，，． 小普同学拿了5张图1中的卡片，按图4方式，不重叠地放在长方形内，长方形中有两个部分（阴影部分）未被覆盖，设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．当时，的值始终保持不变，与应满足怎样的数量关系？ 小普同学拿了15张图1中的卡片（其中有7张B种卡片）．在不剪裁、无缝隙、不重叠的情况下，小普同学用全部卡片恰好铺满图3中的长方形，求此时长方形的边长（用含的代数式表示），并画出一种长方形内的卡片放置图． 12.（2025年嘉定区七上期中）已知正方形与正方形，，（）．根据下列条件平移正方形，解决下列问题． （1）如图，若点和点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． （2）若点与点重合，点在线段上，点在线段的延长线上，连接，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． （3）如图2，若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在线段上（点不与点重合、点不与点重合），连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． （4）若将正方形沿正方形的边所在直线平移，使得点在的延长线上，连接，设，将三角形的面积记作，则 （用含有的代数式表示）． 专题二：乘法公式 一．选择题 1.（2025年浦东新区七上期中） 下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 2.（2025年金山区七上期中） 下列两个整式相乘，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 3.（2025年嘉定区七上期中） 如图，从边长为（）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 4.（2025年浦东新区七上期中） 如图， 两个正方形边长分别为a，b，如果， ，则阴影部分的面积为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 二．填空题 1.（2025年嘉定区七上期中） 已知是完全平方式，那么的值为__________． 2.（2025年闵行区七上期中） 已知，则______． 3.（2025年金山区七上期中） 若是一个完全平方式，那么的值是_____． 4.（2025年浦东新区七上期中） 计算：______． 5.（2025年普陀区七上期中） 我们把满足等式的三个正整数m、n、称为一组“完美平方数” （例如：3、4、5或5、12、13）．当n为小于100的正整数时，共有_________组这样的“完美平方数”． 6.（2025年浦东新区七上期中） 有两个正方形、，将放在的内部得图，将、并列放置后得图，如果图和图中阴影部分的面积分别为和，则正方形、的面积之和是_____． 7.（2025年金山区七上期中）如果一个正整数能表示为两个连续非负偶整数的平方差，那么我们称这个正整数为“黄金数”．如：，，，因此，4，12，20这三个数都是“黄金数”．已知2028是黄金数，即（为连续的正偶整数），那么_____． 三．解答题 1.（2025年金山区七上期中） 用简便方法计算：． 2.（2025年普陀区七上期中） 用乘法公式计算：． 3.（2025年浦东新区七上期中） 计算：． 4.（2025年普陀区七上期中） 用乘法公式计算：． 5.（2025年金山区七上期中） 计算：． 6.（2025年金山区七上期中） 计算：． 7.（2025年金山区七上期中） 解方程：． 8.（2025年普陀区七上期中）如图，长、宽分别为的长方形，它的周长为12，面积为7．求下列整式的值： （1）； （2）． 专题三：整式的除法 考点1：同底数幂的除法 一．解答题 1.（2025年普陀区七上期中） 计算：． 考点2：整式的除法 一．填空题 1.（2025年金山区七上期中） 计算：_____． 2.（2025年普陀区七上期中） 计算：________． 二．解答题 1.（2025年普陀区七上期中） 先化简，再求值：，其中满足等式． 2.（2025年浦东新区七上期中） 学习任务卡，请仔细阅读，并完成相应的任务． 多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知___________，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得②___________，这就是多项式除以多项式．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，可仿照2835用竖式计算（如图）。 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算。 （1）任务一：补全材料中的两个空①__________，②__________． （2）任务二：仿照例子的做法计算 ①_________； ②_________ ③任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $