13.2.3三角形内角和定理的证明及其推论1，2-课件--2026-2027学年沪科版数学八年级上册

1. **三角形内角和定理**：三角形三个内角的和等于\(\boldsymbol{180^\circ}\)。 证明思路：作平行线，利用平行线性质，把三个内角转化成平角。 2. **推论 1**：直角三角形的两个锐角互余。 逆用：有两个角互余的三角形是直角三角形。 3. **推论 2**：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 延伸性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 > > 推论：由定理直接推出的真命题，推论可以直接当作证明依据使用。 本节重点：内角和定理的证明；利用推论求角度；外角模型计算；证明角度相等。 ## 二、基础专项练习题 ### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A=35^\circ\)，\(\angle B=55^\circ\)，则这个三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 2. 三角形的一个外角等于\(100^\circ\)，与它不相邻的一个内角是\(40^\circ\)，另一个不相邻内角是（） A.\(40^\circ\) B.\(50^\circ\) C.\(60^\circ\) D.\(80^\circ\) 3. 在\(\text{Rt}\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，\(\angle A=28^\circ\)，则\(\angle B\)的度数为（） A.\(62^\circ\) B.\(72^\circ\) C.\(52^\circ\) D.\(28^\circ\) 4. 下列关于三角形外角说法正确的是（） A. 外角大于内角 B. 外角等于两个内角之和 C. 外角等于与它不相邻两个内角之和 D. 外角一定是钝角 5. 一个三角形三个内角之比为\(2:3:4\)，最大外角为（） A.\(100^\circ\) B.\(120^\circ\) C.\(140^\circ\) D.\(160^\circ\) ### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分） 1. 三角形内角和等于________。 2. 直角三角形的两个锐角________。 3. 三角形的一个外角等于与它________的两个内角之和。 4. 三角形的一个外角________任意一个与它不相邻的内角。 5. 若三角形两个内角互余，则这个三角形是________三角形。 ### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分） 1. 已知：\(\triangle ABC\)，求证：\(\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ\)。（作平行线证明） 2. 如图，在\(\triangle ABC\)中，\(\angle B=50^\circ\)，外角\(\angle ACD=120^\circ\)，求\(\angle A\)的度数。 3. 已知：如图，\(\text{Rt}\triangle ABC\)，\(\angle ACB=90^\circ\)，\(CD\perp AB\)。求证：\(\angle A=\angle BCD\)。 4. 在\(\triangle ABC\)中，AD是BC边上的高，\(\angle BAD=30^\circ\)，\(\angle C=45^\circ\)，求\(\angle BAC\)的度数。 ## 三、参考答案与详细解析 ### 选择题 1. **B**。解析：\(\angle C=180^\circ-35^\circ-55^\circ=90^\circ\)，直角三角形。 2. **C**。解析：\(100^\circ-40^\circ=60^\circ\)。 3. **A**。解析：互余，\(90^\circ-28^\circ=62^\circ\)。 4. **C**。解析：外角定理，必须强调 “不相邻”。 5. **B**。解析：三个内角\(40^\circ,60^\circ,80^\circ\)；最大外角对应最小内角，\(180^\circ-40^\circ=140^\circ\)。 ### 填空题 1. \(\boldsymbol{180^\circ}\) 2. **互余** 3. **不相邻** 4. **大于** 5. **直角** ### 解答题 1. 证明：过点A作\(DE\parallel BC\)。 \(\because DE\parallel BC\)（辅助线作法） \(\therefore \angle B=\angle DAB\)（两直线平行，内错角相等） \(\angle C=\angle EAC\)（两直线平行，内错角相等） \(\because D,A,E\)在同一直线上，\(\therefore\angle DAB+\angle BAC+\angle EAC=180^\circ\)（平角定义） 代入得：\(\angle B+\angle BAC+\angle C=180^\circ\)。 即\(\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ\)。 2. 解：由三角形外角推论 2，\(\angle ACD=\angle A+\angle B\) \(\angle A=\angle ACD-\angle B=120^\circ-50^\circ=\boldsymbol{70^\circ}\)。 3. 证明： \(\because \angle ACB=90^\circ\)（已知） \(\therefore \angle A+\angle B=90^\circ\)（直角三角形两锐角互余） \(\because CD\perp AB\)（已知） \(\therefore \angle CDB=90^\circ\)，\(\therefore \angle BCD+\angle B=90^\circ\)（直角三角形两锐角互余） \(\therefore \angle A=\angle BCD\)（同角的余角相等）。 4. 解：\(\because AD\perp BC\)，\(\therefore \angle ADC=90^\circ\)。 在\(\text{Rt}\triangle ADC\)中，\(\angle DAC=90^\circ-\angle C=90^\circ-45^\circ=45^\circ\)。 \(\angle BAC=\angle BAD+\angle DAC=30^\circ+45^\circ=\boldsymbol{75^\circ}\)。 ## 四、易错点总结 1. 使用外角推论时，漏掉关键词**不相邻**，直接写外角等于两个内角之和，证明扣分； 2. 内角和定理证明，辅助线描述不规范，缺少平行线的依据； 3. 推论 1：两个锐角互余，只能用于直角三角形；不要随便用到普通三角形； 4. 求外角时，分不清外角对应的是哪个内角； 5. 角度计算大题，缺少推理依据，只写算式，几何证明会扣分。 沪科版（新教材）数学八年级上册 13.2.3三角形内角和定理的证明及其推论1，2 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/27 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 1 2 3 能够由掌握的“剪拼法”验证三角形内角和，过度到理论证明，理解几何证明的必要性和严谨性． 在分析证明思路、构建证明体系的过程中，提升逻辑推理能力（归纳推理、演绎推理），学会运用转化思想（将三角形内角和问题转化为平角或同旁内角问题）和数形结合思想解决几何问题。 明确其推论（直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形）的推导逻辑，能清晰区分定理与推论的关系。 素养目标 02 复习旧知 回想一下证明的一般步骤是什么？ ①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)； ②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图； ③分析因果关系，找出证明途径； ④有条理地写出证明过程. 02 创设情境 我们之前通过剪拼或者测量，认识到三角形内角和为180°，但是实际的操作中总是有一些误差，这节课，我们将给出严谨的证明过程，证明三角形内角和为180°.并得到直角三角形的内角关系. 03 新知探究 在证明命题时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形有关，首先画出图形，再结合图形，写出已知、求证. 命题：三角形的内角和等于180°. 已知：△ABC， 求证：∠A+∠B+∠C=180° 03 新知探究 证明:延长BC到D,过点C作CE∥AB, 如图13-2-7, ∴∠1=∠　　　　, (　　　　　　　　　　　 )  ∠2=∠　　　　,(　　　　　　　　　　　　)  ∵∠　　　　+∠　　　　+∠ACB=180°,(　　 　　)  ∴∠　　　　+∠　　　　+∠ACB=180°.(　　　 )  A 两直线平行,内错角相等 B 两直线平行,同位角相等 1 2 平角的定义 A B 等量代换 03 新知探究 思路总结：为了证明三个角的和为180°,将三个内角转化为一个平角,这种转化思想是数学中的常用方法. 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线. 在平面几何里，辅助线通常画成虚线. E 2 1 D A B C 辅助线 03 新知探究 直角三角形的两个锐角互余．　　 应用格式：在Rt△ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90°．　 推论1：　　 A C B 像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论．　　 在三角形中一个角是90°，根据三角形内角和定理，另外两个角的和应为90°.　　 03 新知探究 在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数.由此你能得到什么结论？ 解：在△ABC中， 根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°， 又∠A+∠B=90°， ∴ ∠C =180°–(∠A+∠B)=180°–90°=90°. 推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 应用格式：在△ABC 中， ∵∠A +∠B =90°， ∴△ABC 是直角三角形°．　 A C B 03 新知探究 4 2 C B A 1 3 证明:D是BC边上一点，过点D作DE∥AB，DF ∥ AC，分别交AC，AB于点E，F. ∴∠A=∠4 ，∠B=∠3 ，( ) ∴∠2=∠A . ( ) ∵∠1＋∠ 2＋∠3 =180°，( ) ∴∠B＋∠ BAC＋∠C =180°. (等量代换) 平角定义 两直线平行，同位角相等 例、已知：△ABC. 求证：∠A＋∠B＋∠C =180°. ∵DE∥AB， DF∥AC， ∠C=∠1 . ( ) ∠2=∠4 . ( ) 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 等量代换 １．补充完成下列证明，并填上推理的依据． 已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明 过点A作DE∥BC， 则∠DAB= ,∠EAC= .( ) ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC= ， ∴∠B+∠BAC+∠C= + + =180°（ ） ∠B ∠C 180° ∠DAB ∠EAC ∠BAC 两直线平行，内错角相等 等量代换 课堂练习 ２．补充完成下列证明． 已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明　在BC边上取一点D，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E，F。 ∵ DE∥AB ∴∠B=∠EDC，∠A=∠DEC（两直线平行，同位角相等） ∵DF∥AC（所作） ∴∠Ｃ=∠BDF（两直线平行，同位角相等） ∠DEC=∠EDF（两直线平行，内错角相等） ∵∠EDF+∠DEC+∠BDF=180°，（平角的定义） ∴∠A+∠B+∠C=∠EDF+∠DEC+∠BDF=180°(等量代换) ∴∠A=∠EDF（等量代换） 课堂练习 ３．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=180°。 求证：∠C+∠D=180°。 证明：∵∠A+∠B=180°（已知） ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行） ∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补） 课堂练习 ４．已知：在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A=∠C。 求证：AD∥BC。 证明　∵AB∥DC，（已知） ∴∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠A=∠C（已知） ∴∠C+∠D=180°（等量代换） ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行） 课堂练习 核心必知 1．定理：三角形的内角和等于________． 2．推论1：直角三角形的两锐角________． 3．推论2：有两个角______的三角形是直角三角形． 180° 互余 互余 举一反三 1. 阅读材料：为了证明“三角形的内角和是180°”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法，请回答下列问题： (1)图①②在证明三角形内角和定理的过程中应用的数学思想是(　　) A．转化思想 B．整体思想 C．方程思想 D．数形结合思想 1星题 基础练 A 举一反三 (2)请选用③或④证明三角形的内角和为180°. 解：(答案不唯一)选用④证明三角形的内角和为180°. 证明：∵CD∥AB， ∴∠B＋∠BCD＝180°，∠A＝∠ACD. 又∵∠BCD＝∠ACB＋∠ACD， ∴∠ACB＋∠A＋∠B＝180°， 即三角形的内角和为180°. 举一反三 2. 【思维生长】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B的大小为(　　) A．30° B．60° C．90° D．180° 向“转化思想”生长：将一个直角三角板和直尺按如图所示的方式放置．若∠1＝36°，则∠2的度数是(　　) A．36° B．54° C．56° D．64° C B 举一反三 向“实践应用”生长：如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC＝________°. 向“方程思想”生长：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B＋30°，则∠B＝________°. 向“分类讨论思想”生长：在直角三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶m∶3，则m＝__________． 20 20 2或4 举一反三 3．[知识初练]在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B 举一反三 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠BCD，则△BDC是________角三角形． 直 举一反三 5．[合肥月考]如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，DB平分∠ADC，AC和DB交于点E.求证：△ADE是直角三角形． 证明：∵AB∥CD，∴∠ADC＋∠BAD＝180°. ∵AC平分∠BAD，DB平分∠ADC， ∴∠DAE＝ ∠BAD，∠ADE＝ ∠ADC， ∴∠ADE＋∠DAE＝ ∠ADC＋ ∠BAD＝ (∠ADC＋∠BAD)＝90°，∴∠AED＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝90°， ∴△ADE是直角三角形． 举一反三 05 课堂小结 三角形内角和定理的证明 三角形内角和定理： 三角形内角和定理推论1： 三角形的内角和等于180°. 直角三角形的两锐角互余. 三角形内角和定理推论2： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 谢谢观看 THANKS $