13.1.3 三角形中几条重要线段-课件--2026-2027学年沪科版数学八年级上册

三角形三种重要线段：**高、中线、角平分线** 1. **三角形的高**：从三角形一个顶点向它对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫三角形这条边上的高。 - 锐角三角形：三条高都在三角形内部，交于一点； - 直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在内部，交点在直角顶点； - 钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形外部，三条高延长线交于外部一点。 ⚠️高是**线段**，不是直线、射线。 2. **三角形的中线**：连接三角形顶点和对边中点的线段。 - 三条中线都在三角形内部，交于一点（重心）； - 一条中线把三角形分成**面积相等**的两个小三角形。 3. **三角形的角平分线**：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。 - 三条角平分线都在三角形内部，交于一点； - 角平分线平分内角（分成两个相等的角）。 > > 共性：三角形的高、中线、角平分线都是**线段**；任意三角形都有 3 条高、3 条中线、3 条角平分线。 > 本节重点：识别高、中线、角平分线；利用中线求边长、面积；利用角平分线求角度；区分三种线段。 ## 二、基础专项练习题 ### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 三角形的高、中线、角平分线都是（） A. 直线 B. 射线 C. 线段 D. 曲线 2. 能把三角形分成两个面积相等的三角形的线段是（） A. 高 B. 中线 C. 角平分线 D. 边 3. 钝角三角形的高共有几条（） A.1 条 B.2 条 C.3 条 D. 无法确定 4. 在\(\triangle ABC\)中，AD是角平分线，\(\angle BAC=80^\circ\)，则\(\angle BAD=\)（） A.\(40^\circ\) B.\(50^\circ\) C.\(80^\circ\) D.\(100^\circ\) 5. 直角三角形三条高的交点位置在（） A. 三角形内部 B. 直角顶点 C. 三角形外部 D. 斜边中点 ### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分） 1. 连接顶点和对边中点的线段叫做三角形的________。 2. 从顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间线段叫三角形的________。 3. 三角形角平分线，把内角分成两个________的角。 4. 三角形三条中线的交点叫做________。 5. 锐角三角形的三条高全部在三角形________。 ### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分） 1. 在\(\triangle ABC\)中，AD是BC边上的中线，若\(BC=10\)，求BD的长。 2. 如图，\(\triangle ABC\)中，AD是BC边上的高，\(\angle B=50^\circ\)，\(\angle C=60^\circ\)，求\(\angle DAC\)度数。 3. 在\(\triangle ABC\)中，AD是角平分线。已知\(\angle B=45^\circ\)，\(\angle C=75^\circ\)，求\(\angle ADB\)的度数。 4. 已知\(\triangle ABC\)，AD是BC边上中线，\(\triangle ABD\)面积为12，求\(\triangle ABC\)的面积，并说明理由。 ## 三、参考答案与详细解析 ### 选择题 1. **C**。解析：高、中线、角平分线都是线段。 2. **B**。解析：中线等分三角形面积。 3. **C**。解析：任何三角形都有 3 条高，钝角三角形 2 条在外部。 4. **A**。解析：角平分线平分\(\angle BAC\)，\(\angle BAD=\dfrac12\times80^\circ=40^\circ\)。 5. **B**。解析：直角三角形两条直角边为高，交点在直角顶点。 ### 填空题 1. **中线** 2. **高** 3. **相等** 4. **重心** 5. **内部** ### 解答题 1. 解：∵AD是BC边上中线，∴\(BD=\dfrac12 BC\)。 ∵\(BC=10\)，∴\(BD=\boldsymbol{5}\)。 2. 解：∵AD是高，∴\(AD\perp BC\)，\(\angle ADC=90^\circ\)。 在\(\triangle ADC\)中，\(\angle C=60^\circ\)， \(\angle DAC=180^\circ-90^\circ-60^\circ=\boldsymbol{30^\circ}\)。 3. 解：\(\angle BAC=180^\circ-\angle B-\angle C=180^\circ-45^\circ-75^\circ=60^\circ\)。 ∵AD平分\(\angle BAC\)，∴\(\angle BAD=30^\circ\)。 在\(\triangle ABD\)中，\(\angle ADB=180^\circ-\angle B-\angle BAD=180^\circ-45^\circ-30^\circ=\boldsymbol{105^\circ}\)。 4. 解：\(S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABD}=2\times12=\boldsymbol{24}\)。 理由：中线AD把\(\triangle ABC\)分成\(\triangle ABD\)与\(\triangle ACD\)，两个三角形等底同高，面积相等。 ## 四、易错点总结 1. 概念混淆：误以为高、角平分线是直线 / 射线；**都是线段**； 2. 误认为钝角三角形只有 1 条高，任何三角形都有 3 条高； 3. 以为角平分线平分对边。角平分线只平分角，**不一定平分对边**；中线才平分对边； 4. 面积题记不住：中线分成两个面积相等三角形； 5. 画图易错：钝角三角形钝角边上的高在内部，另外两条高画在三角形外面。 （全文 1321 字） 需要我导出**纯题目无答案版本**打印练习吗？下一节：13.2 命题与证明。 沪科版（新教材）数学八年级上册 13.1.3 三角形中几条重要线段 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/27 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 1 2 3 理解平面直角坐标系的概念，能够正确表示出坐标平面内点的坐标，体会数形结合思想. 经历从实际问题中抽象平面直角坐标系的过程，提升从现实情境中提炼数学模型的能力. 能够在平面直角坐标系内描出点，绘出封闭图形，并能够计算其面积，增强动手实践能力. 素养目标 02 复习旧知 我们在上节课把三角形按角进行了分类,请回答一下。 什么是锐角三角形、什么是直角三角形、什么是钝角三角形？ 三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形； 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形； 有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。 02 创设情境 l A B 如何利用直尺和三角板，过直线外一点作这条直线的垂线? 画 放 移 靠 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? 03 新知探究 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段长度叫做三角形这边的高，简称三角形的高. 如图， 线段AD是BC边上的高. B A C D 03 新知探究 注意：标明垂直的记号和垂足的字母. 符号语言： ∵在△ABC中， AD⊥BC， ∴∠ADB∠ADC90°. 你还能画出三角形其它边上的高吗？ 03 新知探究 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 如图 ，△ABC 中，∠1＝∠2，线段AD就是△ABC一条角平分线 角平分线： 03 新知探究 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线． 中线： 如图 ，△ABC中，点E是BC的中点，线段AE就是△ABC的一条中线． 03 新知探究 操作 A B C D E F 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察三条高所在直线的交点位置有什么不同？ A B C D 锐角三角形 直角三角形 A B C D 钝角三角形 E 03 新知探究 三角形三条高所在的直线交于一点． 锐角三角形三条高的交点在三角形的内部； 直角三角形三条高的交点在直角顶点； 钝角三角形三条高的交点在三角形的外部． 归纳 03 新知探究 任意画一个三角形，画出它的所有角平分线，它们是否交于同一点? C A B A B C C B A 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点. 03 新知探究 任意画一个三角形，画出它的所有中线，它们有什么特点？ A B C D E F A B C 锐角三角形 直角三角形 A B C 钝角三角形 03 新知探究 ▶▶(1)任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于一点； ● 三角形的中线的特征： ▶▶(2)三角形的中线是一条线段； ▶▶(3)三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形. 三角形三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心. 03 新知探究 例、在△ABC中，CD是中线，已知BCAC  5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长. 解：∵CD是△ABC的中线， ∴BDAD. 又∵BCAC5cm， △DBC的周长BCBDCD25cm， ∴△ADC的周长ADCDAC BDCDBC5 255 20(cm). A D B C １．关于三角形的高，中线和角平分线，下列说法正确的是（    ） A．三角形的角平分线是直线 B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 D．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 Ｃ 线段 直角三角形三条高的交点在直角顶点（在三角形的边上） 中线 课堂练习 ２.在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中:①∠BAD=∠CAD;②∠ABE=∠CBE; ③BD=DC;④AE=EC，其中正确的是（　　） Ａ．①②Ｂ．③④Ｃ．①④Ｄ．②③ Ｄ 课堂练习 5 课堂练习 A 方法技巧 在三角形中，利用两种不同的方式计算面积，并用等式表示的方法叫做等面积法． 课堂练习 ∠BAC=2∠１＝2×30°=60° ∠C+∠ADC+∠2=180° ∠C=180°-90°-20°=70° 在△ABC中，∠B=180°-60°-70°=50° 50 课堂练习 先说一说，图中有哪些线段可以看作三角形的中线 三角形中线的性质 三角形的中线能将三角形的面积分成相等的两部分 １ 课堂练习 1．在下列图形中，正确画出△ABC中AC边上的高的是(　　) 1星题 基础练 D 举一反三 2．锐角三角形的三条高都在______________，钝角三角形有________条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的____________． 三角形内部 两 直角边 举一反三 3．如图，(1)在△ABC中，边BC上的高是____________； (2)在△AEC中，边AE上的高是______； (3)在△FEC中，边EC上的高是______，画出边FC上的高EM. AB CD FE 解：如图． 举一反三 4．[知识初练]如图，已知线段AH是△ABC的角平分线，则∠1＝∠________＝ ∠________． 2 BAC 举一反三 5．[上海月考]如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠EAD＝20°，则∠BAC的度数是(　　) A．60° B．80° C．90° D．120° B 举一反三 6．[合肥期末]如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝72°，BD是△ABC的一条角平分线，则∠ABD的度数为________． 29° 举一反三 7．[知识初练]如图，AD是△ABC的中线，则点D是线段______的中点，BD＝CD＝ ______，S△ABD＝________ ＝ ________．若S△ABD＝5，则S△ABC＝________． BC BC S△ACD S△ABC 10 举一反三 8. 【新情境】如图，小明利用铅笔尖成功支撑起一张均匀的三角形硬纸板，他所选择的支撑点应该是三角形三条______的交点，即三角形的__________． 中线 重心 举一反三 05 课堂小结 三角形中几条重要的线段 三角形的几条重要线段： 高线：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫做三角形的高. 中线：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 谢谢观看 THANKS ３．如图，点O是 的重心，延长 交 于点D，延长 交 于点E．若 ，则 ． ４．如图， ， 分别是 的边 ， 的高线， ， ， ，则 的长为（   ） A． B． C． D． ５．如图，在 中， ， 平分 ， ， ，则 度． ６．如图，在 中，已知点 分别为边 的中点，且 ，则 ． $