13.1.3 三角形中几条重要线段（课件）--2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦三角形的高线、中线、角平分线，通过直尺和三角板作图导入，从过直线外一点作垂线过渡到三角形高的定义，再延伸至中线、角平分线，构建从操作到概念的学习支架。 其亮点在于分层练习与动手操作结合，通过折叠探究角平分线、表格对比三线性质，培养几何直观与推理意识。典型例题与生活情境（如支撑点找重心）结合，帮助学生用数学语言表达几何关系，既提升学生知识应用能力，也为教师提供系统教学资源。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学八年级上册教学课件 第13章 三角形中的边角关系、命题证明 13.1.3 三角形中几条重要线段 2026年8月6日 沪科版八年级上册13.1.3三角形中几条重要线段同步练习题 本节重点学习三角形的三种重要线段：高线、中线、角平分线，是三角形几何计算与证明的基础铺垫。从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段为三角形的高；连接顶点与对边中点的线段为三角形的中线，中线可平分三角形面积；平分三角形内角且交对边于一点的线段为三角形的角平分线。三种线段均有三条，且各自交于一点，同时需掌握锐角、直角、钝角三角形高线的位置差异，本节习题全面覆盖基础辨析、计算与应用题型。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 能够将三角形面积平分的线段是（ ） A. 高 B. 中线 C. 角平分线 D. 任意线段 2. 钝角三角形的高线在三角形外部的条数为（ ） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 3. 下列关于三角形角平分线的说法正确的是（ ） A. 是一条直线 B. 是一条射线 C. 是一条线段 D. 平分三角形的面积 4. 直角三角形的三条高的位置特征是（ ） A. 全部在内部 B. 两条为直角边，一条在内部 C. 全部在外部 D. 两条在外部，一条在内部 5. 在△ABC中，AD是中线，若BC=8，则BD的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 三角形的三种重要线段分别是________、________、________。 2. 三角形的中线将三角形分成两个________相等的小三角形。 3. 锐角三角形的三条高全部在三角形________，钝角三角形有________条高在外部。 4. 若AD是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，则∠BAD=________°。 5. 三角形的高、中线、角平分线都是________（填“线段”“射线”或“直线”）。 三、解答题（共60分） 1.（18分）辨析三角形重要线段。（1）简述三角形高线的定义；（2）简述三角形中线的作用；（3）简述三角形角平分线的特点。 2.（20分）在△ABC中，已知AD是BC边上的中线，AE是BC边上的高。（1）若BC=10，求BD、CD的长度；（2）若△ABC的面积为30，求△ABD的面积；（3）若AE=6，BC=10，验证中线平分面积的结论。 3.（22分）综合应用重要线段性质解题。（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=50°，∠C=70°，求∠BAD的度数；（2）在钝角△ABC中，画出三条高并说明内外位置；（3）已知△ABC中，AB=AC，AD是中线，求证AD也是高和角平分线。 参考答案及解析 一、选择题 1. B 解析：三角形中线平分对边，两个小三角形等底等高，面积相等。 2. C 解析：钝角三角形钝角边上的高在内部，另外两条边上的高均在三角形外部。 3. C 解析：三角形角平分线是顶点到对边的线段，并非直线或射线，也不平分面积。 4. B 解析：直角三角形两条直角边互为高，第三条高在三角形内部，交于直角顶点。 5. B 解析：中线平分对边，BD=CD=BC÷2=4。 二、填空题 1. 高线；中线；角平分线 2. 面积 3. 内部；2 4. 40 解析：角平分线平分内角，∠BAD=80°÷2=40° 5. 线段 三、解答题 1. 解析：（1）三角形的高：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段；（2）中线可平分三角形的对边，且平分三角形面积；（3）角平分线平分三角形的一个内角，线段端点分别为顶点和对边上一点。 2. 解析：（1）BD=CD=10÷2=5；（2）中线平分面积，S△ABD=30÷2=15；（3）S△ABC=$$\frac{1}{2}$$×10×6=30，S△ABD=$$\frac{1}{2}$$×5×6=15，面积为整体一半，结论成立。 3. 解析：（1）∠BAC=180°-50°-70°=60°，AD平分内角，∠BAD=30°；（2）钝角三角形钝角的高在内部，另外两条高在三角形外部；（3）等腰三角形三线合一，中线、高、角平分线重合，故AD既是中线，也是高和角平分线。 知识点总结：本节核心掌握三角形“三线”的定义与性质，三线均为线段。中线核心性质是平分对边、平分面积；角平分线平分内角；高线用于求解三角形面积，需区分三类三角形高线的位置差异。重点牢记等腰三角形“三线合一”的特殊性质，是后续几何证明、计算、题型拓展的核心基础，也是几何入门必考知识点。 l A B 如何利用直尺和三角板，过直线外一点作这条直线的垂线? 画 放 移 靠 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? 思考 思考 A B C D 三角形的高线 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高. 注意：标明垂直的记号和垂足的字母. 符号语言： ∵在△ABC中， AD⊥BC， ∴∠ADB∠ADC90°. 你还能画出三角形其它边上的高吗？ 操作 A B C D E F 试着作出△ABC的另外两条高. 观察图形，你发现了什么？ 1.锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 2.锐角三角形的三条高交于一点. 这个结论对所有的三角形都成立吗？ 操作 讨论 几条高？在三角形内部还是外部？有没有交点…… A B C D E F 试着作出直角三角形、钝角三角形的三条高. A B C D 锐角三角形 直角三角形 A B C D 钝角三角形 E F 归纳 钝角三角形 A B C D E F A B C D 锐角三角形 直角三角形 A B C D E F 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 三条高所在直线的交点的位置 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形内部 直角顶点 三角形外部 1．在下列图形中，正确画出△ABC中AC边上的高的是(　　) 1星题 基础练 D 举一反三 2．锐角三角形的三条高都在______________，钝角三角形有________条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的____________． 三角形内部 两 直角边 举一反三 3．如图，(1)在△ABC中，边BC上的高是____________； (2)在△AEC中，边AE上的高是______； (3)在△FEC中，边EC上的高是______，画出边FC上的高EM. AB CD FE 解：如图． 举一反三 归纳 相同点：三角形三条高所在的直线交于一点． 不同点： 锐角三角形三条高的交点在三角形的内部； 　　直角三角形三条高的交点在直角顶点； 　　钝角三角形三条高的交点在三角形的外部． 思考 你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？ A B C 三角形的中线： 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线． D E F 符号语言： ∵AD是△ABC的BC边的中线， ∴BDDC  BC. 操作 任意画一个三角形，画出它的所有中线，它们有什么特点？ A B C D E F A B C 锐角三角形 直角三角形 A B C 钝角三角形 ▶▶(1)任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于一点； ● 三角形的中线的特征： ▶▶(2)三角形的中线是一条线段； ▶▶(3)三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形. 归纳 A B C D E F 三角形的重心： 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心． O 思考 C A B 准备一个三角形纸片ABC，按图所示的方法折叠，展开后，折痕AD把∠ABC分成∠1和∠2两个角．∠1和∠2有什么关系？ C A B C A B D C' 1 2 三角形的角平分线： 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 符号语言：∵AD是△ABC的∠BAC的平分线，∴∠1∠2 ∠BAC. 操作 任意画一个三角形，画出它的所有角平分线，它们有什么特点？ C A B D F F A B C C B A 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点. 归纳 三角形的高 三角形的 中线 三角形的 角平分线 图形 特点 数量 3 3 3 位置 三条高所在的直线交于一点 在三角形内部、外部、三角形上 三条中线在三角形内部交于一点 三条角平分线在三角形内部交于一点 4．[知识初练]如图，已知线段AH是△ABC的角平分线，则∠1＝∠________＝ ∠________． 2 BAC 举一反三 5．[上海月考]如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线．若∠EAD＝20°，则∠BAC的度数是(　　) A．60° B．80° C．90° D．120° B 举一反三 典型例题 例1 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC  60°，∠BCE  40°，求∠ADB的度数． 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC60°， ∴∠DAC∠BAD  30°. ∵CE是△ABC的高，∠BCE40°， ∴∠B50°. ∴∠ADB180°∠B∠BAD 180°30°50°100°. A B C D E 30° 40° 典型例题 例2 在△ABC中，CD是中线，已知BCAC  5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长. 解：∵CD是△ABC的中线， ∴BDAD. 又∵BCAC5cm， △DBC的周长BCBDCD25cm， ∴△ADC的周长ADCDAC BDCDBC5 255 20(cm). A D B C AC(BC5) cm 6．[合肥期末]如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝72°，BD是△ABC的一条角平分线，则∠ABD的度数为________． 29° 举一反三 7．[知识初练]如图，AD是△ABC的中线，则点D是线段______的中点，BD＝CD＝ ______，S△ABD＝________ ＝ ________．若S△ABD＝5，则S△ABC＝________． BC BC S△ACD S△ABC 10 举一反三 8. 【新情境】如图，小明利用铅笔尖成功支撑起一张均匀的三角形硬纸板，他所选择的支撑点应该是三角形三条______的交点，即三角形的__________． 中线 重心 举一反三 9．如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线．若DE＝3 cm，则DC＝________cm. 6 举一反三 10．已知AD为△ABC的中线，且AB＝10，AC＝8，则△ABD与△ACD的周长之差为________． 2 举一反三 11．下列说法正确的是(　　) A．三角形的角平分线、中线、高都是线段 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的中线可能在三角形外部 D．三角形的高都在三角形内部且交于一点 A 2星题 中档练 举一反三 12. 【新考法】如图是甲、乙、丙三名同学的折纸示意图． (1)甲折出的AD是边BC上的________； (2)乙折出的AD是△ABC的____________； (3)丙折出的点D是边BC的________，线段AD是△ABC的________． 高 角平分线 中点 中线 举一反三 13.【分类讨论思想】(安庆期末)在△ABC中，BC＝6，边BC上的高AD＝3，BD＝2，则△ACD的面积是_______． 6或12 【思路引导】BC边上的高AD，会因为△ABC的形状不同，导致点D的位置不同吗？ 举一反三 14.[滁州期末]如图，AD为△ABC的角平分线，AF为△ABC的高，E为AD的中点． (1)若∠ABD＝45°，∠BAD＝35°，求∠CAF的度数； 解：因为AD为△ABC的角平分线， 所以∠BAC＝2∠BAD＝70°. 所以∠C＝180°－∠ABC－∠BAC＝65°. 因为AF为△ABC的高，所以∠AFC＝90°. 所以∠CAF＝180°－∠AFC－∠C＝25°. 举一反三 (2)若△BDE的面积为15，BD＝5，求AF的长． 解：因为E为AD的中点， 所以BE为△ABD的中线． 所以S△ABD＝2S△BDE＝30＝ BD·AF. 因为BD＝5，所以AF＝12. 举一反三 三角形中几条重要的线段 三角形的几条重要线段： 高线：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫做三角形的高. 中线：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS $