13.1.1 三角形中边的关系-课件--2026-2027学年沪科版数学八年级上册

1. **三角形定义**：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形的元素：3 条边、3 个内角、3 个顶点；记作\(\triangle ABC\)。边：\(AB,BC,AC\)；顶点：\(A,B,C\)。 2. **三角形按边长分类** - 不等边三角形：三边都不相等； - 等腰三角形：有两条边相等（相等两边叫腰，第三边叫底边；两腰夹角叫顶角，腰与底边夹角叫底角）； - 等边三角形：三边都相等，是特殊的等腰三角形。 3. **三角形三边关系（核心）** 三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 简化判断：**较短两条线段的和 > 最长线段**，就能构成三角形。 若三边长为\(a,b,c\)（设c最大），只需满足\(a+b>c\)。 取值范围：已知两边长\(m、n（m>n）\)，第三边x范围：\(\boldsymbol{m-n<x<m+n}\)。 ⚠️注意：题目如果是等腰三角形，给边长没有说明是腰还是底边，必须**分类讨论**，最后用三边关系检验，舍去不成立情况。本节重点：判断三条线段能否组成三角形；求第三边取值范围；等腰三角形边长分类求值。 ## 二、基础专项练习题 ### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 下列长度的三条线段，可以组成三角形的是（） A.\(1,2,3\) B.\(2,3,4\) C.\(2,2,5\) D.\(3,3,6\) 2. 已知三角形两边长为3和7，则第三边长度不可能是（） A.5 B.7 C.9 D.11 3. 等腰三角形两边长为4和8，则三角形周长为（） A.16 B.20 C.16或20 D.18 4. 三角形两边之差小于（） A. 任意一边 B. 第三边 C. 较长边 D. 较短边 5. 下列说法正确的是（） A. 等边三角形不是等腰三角形 B. 三条线段只要首尾相接就是三角形 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 等腰三角形一定是不等边三角形 ### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分） 1. 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫________。 2. 三角形三边关系：任意两边之和________第三边。 3. 已知两边长5和8，第三边x取值范围：________。 4. 等腰三角形两边长3和5，周长是________。 5. 判断三条线段能否构成三角形，只需检验较短两边之和________最长边。 ### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分） 1. 判断下面各组线段能否组成三角形，并说明理由。 （1）\(5，6，10\)；（2）\(4，5，9\) 2. 一个三角形两边长为\(4\mathrm{cm}\)和\(9\mathrm{cm}\)。 （1）求第三边x的取值范围； （2）若第三边是整数，求第三边可取的值。 3. 等腰三角形周长为20，一边长为6，求另外两条边长。 4. 已知三角形三边长分别为\(x-1，3，4\)，求x的取值范围。 ## 三、参考答案与详细解析 ### 选择题 1. **B**。解析：A：\(1+2=3\)；C：\(2+2<5\)；D：\(3+3=6\)，都不能构成三角形；B：\(2+3>4\)，成立。 2. **D**。解析：\(7-3<x<7+3\)即\(4<x<10\)，11 超出范围。 3. **B**。解析：分类：①腰 4，底 8：\(4+4=8\)，不能构成三角形，舍去；②腰 8，底 4，周长\(8+8+4=20\)。 4. **B**。解析：三角形任意两边之差小于第三边。 5. **C**。解析：等边属于特殊等腰；线段必须不在同一直线才能构成三角形。 ### 填空题 1. **三角形** 2. **大于** 3. \(\boldsymbol{3<x<13}\)。解析：\(8-5<x<8+5\) 4. \(\boldsymbol{11}\)或\(\boldsymbol{13}\)。解析：腰 3 底 5：周长\(3+3+5=11\)；腰 5 底 3：周长\(5+5+3=13\)，两种都满足三边关系。 5. **大于** ### 解答题 1. 解：（1）较短两边\(5+6>10\)，**能构成三角形**； （2）\(4+5=9\)，不满足大于，**不能构成三角形**。 2. 解：（1）\(9-4<x<9+4\)，\(\boldsymbol{5<x<13}\)； （2）整数：\(6,7,8,9,10,11,12\)。 3. 解：分两种情况： ①边长 6 为底边：腰长\(=(20-6)\div2=7\)，三边：\(7,7,6\)，\(7+6>7\)，成立。另两边：\(7，7\)。 ②边长 6 为腰：底边长\(=20-6-6=8\)，三边：\(6,6,8\)，\(6+6>8\)，成立。另两边：\(6，8\)。 综上：另外两边为\(\boldsymbol{7、7}\)或者\(\boldsymbol{6、8}\)。 4. 解：最长边分情况讨论： ①4是最长边：\(\begin{cases}(x-1)+3>4\\x-1>0\end{cases}\)，得\(x>2\)且\(x-1≤4\)，即\(2<x≤5\)； ②\(x-1\)是最长边：\(\begin{cases}3+4>x-1\\x-1>4\end{cases}\)，得\(4<x<8\)； 沪科版（新教材）数学八年级上册 13.1.1 三角形中边的关系 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/27 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 1 2 3 掌握三角形的定义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号正确表示三角形，并能将三角形按边进行分类． 掌握并理解三角形三边的组成条件，能利用三角形三边组成条件进行简单的计算与证明. 培养学生自主学习，小组探究及实践操作的能力，树立数学与生活紧密相连的意识，同时激发学习兴趣． 素养目标 02 复习旧知 想一想：小学我们学过的图形有哪些？ 线段，三角形，正方形，长方形，圆形 02 创设情境 请观察图片中的实物包含哪些几何图形？ 03 新知探究 下面三根小棒摆成的图形，是否构成了三角形呢？ C A B D B A C (3) A B C D (1) (2) 条件： A B C ①不能在同一条直线上； ②不能有“缺口”“尾巴”； 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形. 构成三角形的要素有哪些？ 03 新知探究 三角形中有几条线段?有几个角? 边：线段AB，BC，CA是三角形的边. 线段a，b，c是三角形的边 顶点：点A，B，C是三角形的顶点， 角：∠A，∠B，∠C 叫做三角形的内角，简称三角形的角. 有三条线段，三个角 A B C a b c 03 新知探究 如何用符号表示三角形？ A B C △ABC ①字母没有先后顺序； ②通常情况下按逆时针的顺序写. △BCA、 △CAB 03 新知探究 以边之间的相等关系可分三种情况． 三边都不相等的三角形 不等边三角形 两条边相等的三角形 等腰三角形 三条边都相等的三角形 等边三角形 也叫正三角形 03 新知探究 腰 顶角 腰 底边 底角 底角 如图所示，在△ABC中，AB=AC △ABC是一个等腰三角形 在等腰三角形中, 相等的两边叫作腰,剩余的一边叫作底边. 两腰的夹角叫作顶角,腰与底边的夹角叫作底角. Ａ Ｂ Ｃ 03 新知探究 思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？ 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不想等的等腰三角形 等边三角形 Ａ Ｂ Ｃ AB=AC=BC 等边三角形 03 新知探究 三边都不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 也可以用图形表示三角形按边分类的情况： 03 新知探究 思考 在一个三角形中，任意两边之和与第三边的 大小关系如何？ 你判断的根据是什么？ 在△ABC中，如果把它的任意两个顶点看作定点，则两定点之间的所有连线中，线段最短。 03 新知探究 例如，将B、C看作定点， 则AB+AC>BC 同理，得AC+BC>AB, AB+BC>AC. 不等式的性质 AB>BC-AC 03 新知探究 三角形中任意两边的和大于第三边. 三角形中任意两边的差小于第三边. 归纳 即：两边之差<第三边<两边之和 03 新知探究 例1 等腰三角形的周长为18cm。 （1）如果腰长是底边长的2倍，求各边长； 解 （1）设等腰三角形的底边长为x cm, 则腰长为 2x cm 根据题意,得x+2x+2x=18. 解方程,得x=3.6. 所以该三角形的三边长为3.6cm，7.2cm，7.2 cm。 方法技巧 根据腰长和底边的数量关系，由周长的定义列出方程即可求解． 03 新知探究 （2）如果一边长为4cm，求另两边长。 ４ｃｍ为底边长 ４ｃｍ为腰长 (2)① 若等腰三角形的底边长为4cm,设腰长为ycm 根据题意,得2y+4=18. 解方程,得y=7. 03 新知探究 ②　若等腰三角形的腰长为4cm,设底边长为zcm. 根据题意,得2x4+z=18. 解方程,得z= 10. 由于4 +4 < 10,可知以 4cm 为腰长不能构成周长为 18cm 的等腰三角形. 所以该三角形的另两边长都是7cm. 求出三角形的三边后，需要判断是否符合三角形三边的构成条件 例1 等腰三角形的周长为18cm。 （2）如果一边长为4cm，求另两边长。 ４ｃｍ为底边长 ４ｃｍ为腰长 (2)① 若等腰三角形的底边长为4cm,设腰长为ycm 根据题意,得2y+4=18. 解方程,得y=7. ②　若等腰三角形的腰长为4cm,设底边长为zcm. 根据题意,得2x4+z=18. 解方程,得z= 10. 由于4 +4 < 10,可知以 4cm 为腰长不能构成周长为 18cm 的等腰三角形. 所以该三角形的另两边长都是7cm. 求出三角形的三边后，需要判断是否符合三角形三边的构成条件 典例分析 教材66页 练习２ 2．判断:用下列长度的三条线段能否组成一个三角形. (1)4cm,7cm,2 cm;　　　　　　(2)3 cm,2 cm,1cm;　 (3)10cm,4 cm,6 cm;　　　　　(4)5 cm, 6 cm, 15 cm. 方法技巧 判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可. 因为４＋２＜７ 所以4cm,7cm,2 cm不能组成一个三角形 因为１＋２＝３ 所以3 cm,2 cm,1cm不能组成一个三角形 因为４＋６＝１０ 所以10cm,4 cm,6 cm不能组成一个三角形 因为５＋６＜１５ 所以5 cm, 6 cm, 15 cm不能组成一个三角形 课堂练习 ５.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,则这个等腰 三角形的周长为______________. ４.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰 三角形的周长为______________. ３.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线为 边长可以构成________个三角形. 3 22cm 18cm或21cm 课堂练习 ６.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长. 解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得， 即5＜x＜9 又x为奇数，则第三边的长为7. 7-2＜x＜7+2 课堂练习 ７．如图，D是△ABC 的边AC上一点，AD=BD，试判断AC 与BC 的大小. 解：在△BDC 中， 有 BD+DC >BC（三角形的 任意两边之和大于第三边） 又因为 AD = BD， 则BD+DC = AD+DC = AC， 所以 AC >BC. 课堂练习 核心必知 1．三角形按边分类： 三角形 不等边三角形 举一反三 2．三角形的三边关系： 三角形中任意两边的和________第三边． 三角形中________________小于第三边． 即两边之差<第三边<两边之和． 大于 任意两边的差 举一反三 1．[阜阳月考]下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是(　　) 1星题 基础练 C 举一反三 2.【一题练透】根据下图填空： (1)图中有______个三角形，其中以AD为边的三角形为_______________，以点C为顶点的三角形为__________； (2)在△ABD中，顶点分别是___________________， ∠BAD所对的边是_______，边AB所对的角是_______； (3)∠B是△________和△________的内角． 3 △ABD，△ADC △ADC，△ABC 点A，B，D BD ∠ADB ABD ABC 举一反三 3. 【新考法】老师在黑板上画出了如图所示的3个三角形，让同学们按边进行分类，其中搭配错误的是(　　) A．①——不等边三角形 B．②③——等腰三角形 C．③——等边三角形 D．②③——等边三角形 D 举一反三 4．[知识初练]如图，在△ABC中，AB＋AC____BC，AB－AC____BC.(填“＞”“＜”或“＝”) > < 举一反三 5．[连云港中考]下列长度(单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是(　　) A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 B 举一反三 6.【新情境】 [绍兴模拟]一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架OP＝OQ＝30 cm(接头处的长度忽略不计)，则点P，Q之间的距离可以是(　　) A．50 cm B．65 cm C．70 cm D．80 cm A 举一反三 05 课堂小结 三角形的定义： 三角形的分类(按边分)： 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形. 三边关系： 三角形中两边之和大于第三边. 三角形中两边之差小于第三边. 三角形中边的关系 谢谢观看 THANKS $