13.1.2三角形中角的关系-课件--2026-2027学年沪科版数学八年级上册

1. **三角形内角和定理**：三角形三个内角的和等于\(\boldsymbol{180^\circ}\)。 2. **三角形按角分类** - 锐角三角形：三个角都是锐角； - 直角三角形：有一个角是直角（\(90^\circ\)），两个锐角互余；记作\(\text{Rt}\triangle ABC\)；直角的两边叫直角边，对边叫斜边； - 钝角三角形：有一个角是钝角。 > > 注意：一个三角形最多只能有 1 个直角或者 1 个钝角；至少有两个锐角。 3. **三角形外角** 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 - 外角性质 1：三角形的一个外角等于与它**不相邻**的两个内角之和； - 外角性质 2：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； - 三角形外角和：\(360^\circ\)。 本节重点：利用内角和求角度；直角三角形两锐角互余；外角性质求角度、角度大小比较。 ## 二、基础专项练习题 ### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A=40^\circ\)，\(\angle B=60^\circ\)，则\(\angle C\)等于（） A.\(60^\circ\) B.\(80^\circ\) C.\(100^\circ\) D.\(120^\circ\) 2. 直角三角形中，一个锐角是\(35^\circ\)，另一个锐角为（） A.\(55^\circ\) B.\(45^\circ\) C.\(65^\circ\) D.\(35^\circ\) 3. 三角形的外角等于（） A. 相邻两个内角的和 B. 与它不相邻的两个内角的和 C. 任意两个内角的和 D. 它的邻补角 4. 一个三角形的三个内角，说法正确的是（） A. 可以有两个钝角 B. 至少两个锐角 C. 最多两个直角 D. 三个角都可以大于\(60^\circ\) 5. 三角形一个外角是\(120^\circ\)，和它不相邻的一个内角是\(50^\circ\)，则另一个不相邻内角为（） A.\(50^\circ\) B.\(60^\circ\) C.\(70^\circ\) D.\(80^\circ\) ### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分） 1. 三角形内角和等于________。 2. 直角三角形的两个锐角________。 3. 三角形的一个外角________任何一个与它不相邻的内角。 4. 在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A:\angle B:\angle C=1:2:3\)，这个三角形是________三角形。 5. 三角形外角和等于________。 ### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分） 1. 在\(\triangle ABC\)中，已知\(\angle A=52^\circ\)，\(\angle B=71^\circ\)，求\(\angle C\)的度数。 2. 如图，\(\triangle ABC\)中，\(\angle B=40^\circ\)，\(\angle ACD\)是\(\triangle ABC\)的外角，\(\angle ACD=110^\circ\)，求\(\angle A\)的度数。 3. 在\(\text{Rt}\triangle ABC\)，\(\angle C=90^\circ\)，\(\angle A=2\angle B\)，求\(\angle A\)、\(\angle B\)的度数。 4. 在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A-\angle B=20^\circ\)，\(\angle C=60^\circ\)，求\(\angle A\)与\(\angle B\)的度数。 ## 三、参考答案与详细解析 ### 选择题 1. **B**。解析：\(\angle C=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ\) 2. **A**。解析：互余，\(90^\circ-35^\circ=55^\circ\) 3. **B**。解析：外角定理，等于不相邻两内角之和。 4. **B**。解析：三角形最多 1 个钝角或直角，所以至少 2 个锐角。 5. **C**。解析：\(120^\circ-50^\circ=70^\circ\) ### 填空题 1. \(\boldsymbol{180^\circ}\) 2. **互余** 3. **大于** 4. **直角**。解析：三个角\(30^\circ,60^\circ,90^\circ\) 5. \(\boldsymbol{360^\circ}\) ### 解答题 1. 解：\(\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=180^\circ-52^\circ-71^\circ=\boldsymbol{57^\circ}\)。 2. 解：根据外角性质，\(\angle ACD=\angle A+\angle B\) \(\angle A=\angle ACD-\angle B=110^\circ-40^\circ=\boldsymbol{70^\circ}\)。 3. 解：\(\because \angle C=90^\circ\)，\(\therefore \angle A+\angle B=90^\circ\)。 又\(\angle A=2\angle B\)，代入得：\(2\angle B+\angle B=90^\circ\)，\(3\angle B=90^\circ\)，\(\angle B=30^\circ\)。 \(\angle A=2\times30^\circ=\boldsymbol{60^\circ}\)。 答：\(\angle A=60^\circ，\angle B=30^\circ\)。 4. 解：\(\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ，\angle C=60^\circ\)，得\(\angle A+\angle B=120^\circ\)。 \(\begin{cases}\angle A-\angle B=20^\circ\\\angle A+\angle B=120^\circ\end{cases}\)，两式相加：\(2\angle A=140^\circ\)，\(\angle A=70^\circ\)。 \(\angle B=120^\circ-70^\circ=\boldsymbol{50^\circ}\)。 答：\(\angle A=70^\circ，\angle B=50^\circ\)。 ## 四、易错点总结 1. 外角定理容易错：外角是**不相邻**两个内角之和，经常误加上相邻内角； 2. 直角三角形：互余是两个锐角相加\(90^\circ\)，不是\(180^\circ\)； 3. 角度比例题，不会用内角和设未知数； 4. 判断三角形类型，只看最大内角：最大角\(>90^\circ\)钝角；\(=90^\circ\)直角；\(<90^\circ\)锐角； 5. 看图找外角时，分不清哪个是不相邻内角。 沪科版（新教材）数学八年级上册 13.1.2三角形中角的关系 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/27 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 1 2 3 回忆小学了解的三角形内角和公式，并能够运用度量、翻折、拼接等方法说明三角形的内角和等于180°. 经理三角形按角分类的过程，体会按不同条件对三角形进行分类，并了解直角三角形的相关概念及表示方法. 在动手操作，活动探究中培养学生的学习兴趣，增强动手实践能力. 素养目标 02 复习旧知 三角形按边长关系，可分为： 等腰三角形（等边三角形是它的特例) 不等边三角形 三角形 02 创设情境 一个‘三角形受害者’被分成了三部分——三个角。但不幸的是，我们只找到了其中两个角，分别是60° 和70°。第三个角‘潜逃’了，消失得无影无踪。” “现在，我们手头的线索非常有限。我们的任务是：不进行测量，能否利用已知的线索，精确地‘推理’出第三个逃犯——∠C 的度数？” 那么，三角形的三个角之间，到底存在着怎样不为人知的‘秘密协议’或‘关系’呢？今天，就让我们揭开这个谜底，掌握这个一旦知道两个角，就一定能求出第三个角的终极定理！” 神秘的案子 A B C 60° 70° ? 03 新知探究 在一个三角形中，三个内角之间有什么关系？ 在小学，我们曾用折叠、剪拼或用 量角器度量的方法研究过这个问题,你还记得有什么结论吗？ 三角形的内角和等于180° 03 新知探究 折叠法 3 1 3 1 2 ∠1+∠2+∠3=180° 剪拼法 三个内角的和仍然是180° 03 新知探究 同一个三角形中三个内角的关系 三角形的内角和等于180°. A B C A B C A B C ∠A+∠B+∠C=180° 任意三角形 归纳 03 新知探究 “三角形的内角和等于180°”揭示了三角形的三个内角之间的数量关系. 若已知三角形中任意两个角的度数，则可以求得第三个角的度数；若已知三个角的关系或三个角的度数之比，可以求各个角的度数. 03 新知探究 有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形. 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 三角形按照角的大小分类，怎样分？ 三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形. 斜 三 角 形 03 新知探究 直角三角形的表示 直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边，直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”，如图所示. 03 新知探究 归纳 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 三角形 三角形按角的大小分类 03 新知探究 例 已知：如下图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D.∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数. 　　 B　 A　 C　 D　 解：因为BD⊥AC，(已知) 所以∠ADB=∠CDB=90°. 在△ABD中，∠A+∠ABD+∠ADB=180°，(三角形的内角和等于180°) ∠ABD=54°，∠ADB=90°，(已知) ∠A=180°–∠ABD–∠ADB =180°–54°–90°=36°. 03 新知探究 B　 A　 C　 D　 在△ABC中， ∠C=180°–∠A–(∠ABD+∠DBC) =180°–36°–(54°+18°)=72°. １．在中， （１）若，则. （２）若，，则 （１）设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x 由三角形内角和等于180°，得 3x+4x+5x=180 12x=180 x=15 所以∠A=45°，∠B=60°，∠C=75° 75° (２）由三角形内角和等于180°，得 方程思想 构建一元一次方程或二元一次方程组解答 课堂练习 2. 如图，∠ACB =90°，CD ⊥AB,垂足是点 D。 (1)写出图中所有直角三角形,并指出它们的斜边; (2)写出图中所有相等的锐角。 ∠ACB =90° ∠ADC=∠BDC =90° ∠ACD＋∠BCD =90° 斜边 斜边 斜边 ∠ACD＋∠A =180°-90°=90° ∠BCD＋∠B =180°-90°=90° ∠BCD=∠A ∠ACD=∠B 所以 互余导角 课堂练习 （同一个角的余角相等） ３. 如图，在△ABC中，AD ⊥BC,垂足是点 D。∠B =70°，∠BAC =46°，求∠CAD的度数。 解　因为 所以 在中, 又因为 所以 在中, 所以 所以 在中, 所以 法一 法二 课堂练习 三角形的三个内角中，最多只有一个直角或钝角，为什么? 思考 画一画 算一算 Ａ Ｂ Ｃ 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 若∠A≥90° 则∠B+∠C≤90° 故∠B、∠C都不能是直角或钝角 实践操作 构不成三角形 核心必知 1．三角形按角分类： 2．三角形的内角和等于________，一个三角形中最多有一个直角或一个钝角． 钝角 180° 举一反三 1．[知识初练]观察下图中的三角形，把它们的序号填入相应的横线上． 锐角三角形：________； 直角三角形：________； 钝角三角形：________． 1星题 基础练 ③⑤ ①④⑥ ②⑦ 举一反三 2．一个三角形三个内角的度数分别是95°，25°，60°，则这个三角形的形状是____________．(按角分) 钝角三角形 举一反三 3．[杭州期末]一个缺角的△ABC残片如图所示，量得∠A＝55°，∠B＝70°，则这个三角形残缺前的∠C的度数为(　　) A．75° B．65° C．55° D．45° C 举一反三 4．如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝34°，∠C＝45°，则∠1＋∠2的度数为(　　) A．101° B．89° C．81° D．79° D 举一反三 5. 【思维生长】一个三角形的三个内角度数之比为2∶3 ∶ 5，则这个三角形是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 向“转化思想”生长：在△ABC中，∠B＝ ∠A，∠C＝∠A，则这个三角形是______________．(按角分) B 钝角三角形 举一反三 6. 【新情境】如图是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1＝38°，∠2＝23°，则桥面断裂处∠BCD的度数为(　　) A．38° B．61° C．67° D．119° D 举一反三 05 课堂小结 三角形中角的关系 三角形按角分类 直角三角形 斜三角形 三角形的内角和等于180° 锐角三角形 钝角三角形 谢谢观看 THANKS $