精品解析：江苏靖江市外国语学校2026-2027年上学期八年级第一次阶段质量检测数学试卷

2026-2027靖江市外国语八年级第一学期阶段质量检测 数学试卷（第①次月考） （满分150分考试时间120min） 第一部分（满分100分） 一、选择题（共12分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 3，3，6 C. 2，5，8 D. 4，5，7 2. 如图，在中，边上的高为（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 3. 如图，已知，下列所给条件中不能推出的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小西做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点，画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 5. 如图，中边上的高为，中边上的高为．若，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，AD是的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若EF=AF， BE=7.5， CF=6，则EF=( ). A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 二、填空题（共30分） 7. 一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 8. 在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 9. 如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为________． 10. 在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是__________． 11. 如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 12. 若，分别是中边上的高和中线，，，，则的面积为___________． 13. 如图，在中，是中点，是中点，连接、，若的面积为20，则的面积为__________． 14. 如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，． 15. 如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为_________． 16. 如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则______ 三、解答题（共58分） 17. 如图，在小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）若与全等，则图中与点不重合的格点共有________个； （2）画出的边上的高． 18. 已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 19. 如图，是的角平分线，的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E．求证： （1）； （2）． 20. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数． 21. 如图所示，在中，，，，，试判断与的关系，并说明理由． 22. 如图，在凸五边形中，，，，为的中点．证明． 23. 如图，中，，，点为射线上一动点，连结，作且． （1）如图 1 ，请过 F 点作 交 于D 点，求证： ； （2）如图 2 ，连结 交于点，若 ，求证：点为中点． （3）当 E 点在射线上，连结与直线 交于 G 点，若 ，则 ．（直接写出结果） 第二部分（满分50分） 24. 代数式的末尾数字是________． 25. 若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是_________． 26. 如图，在，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，求的度数． 27. 如图所示，为等腰三角形，，，交于点，过作交延长线于，与交于，求证：，． 28. 一个正整数若能表示成若干个正整数的和，且这些正整数的倒数和也恰为1，则称为“金猴数”（例如，，且，22就是一个金猴数）． （1）证明：11、28均为金猴数； （2）证明：若为金猴数，则、也为金猴数； （3）证明：2002也为金猴数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027靖江市外国语八年级第一学期阶段质量检测 数学试卷（第①次月考） （满分150分考试时间120min） 第一部分（满分100分） 一、选择题（共12分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 3，3，6 C. 2，5，8 D. 4，5，7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据“三角形任意两边之和大于第三边”即可逐个判断． 【详解】A：，故2，3，6不能组成三角形； B：，故3，3，6不能组成三角形； C：，故2，5，8不能组成三角形； D：，故4，5，7能组成三角形． 故选：D． 2. 如图，在中，边上的高为（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的高，关键是掌握三角形高的定义．从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，由此即可得到答案． 【详解】解：中，边上的高是线段． 故选：A 3. 如图，已知，下列所给条件中不能推出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知可得，，然后结合选项中给出的条件，利用全等三角形判定定理及等腰三角形的判定与性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、若，，， 则，故不符合题意； B、若，，， 则，故不符合题意； C、，，， 则， ∴， ∴∠OBC=∠OCB， ∴， ∴，故不符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ∴“”不能证明 ； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键，要注意是两个三角形的公共边这个隐含条件． 4. 如图，小西做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点，画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】 【分析】先确定角平分仪中相等的边，再依据三角形全等判定定理分析对应选项． 【详解】在角平分仪中，已知，，且为与的公共边，即， 在与中，， 根据三角形全等的“”判定定理“三边对应相等的两个三角形全等”可得． 由全等三角形对应角相等，得，即平分，此过程的原理是“”． 5. 如图，中边上的高为，中边上的高为．若，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交于点，过点作交的延长线于点，则，，由证得，得，即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图所示： 则，， ，， ； ， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 6. 如图，AD是的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若EF=AF， BE=7.5， CF=6，则EF=( ). A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】延长AD，使DG=AD，连接BG，由“SAS”可证△ADC≌△GDB，可得AC=DG=CF+AF=6+AF，∠DAC=∠G，由等腰三角形的性质可得BE=BG=7.5，即可求EF的长． 【详解】解：如图，延长AD，使DG=AD，连接BG， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD，且DG=AD，∠ADC=∠BDG， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC=DG=CF+AF=6+AF，∠DAC=∠G， ∵EF=AF， ∴∠DAC=∠AEF， ∴∠G=∠AEF=∠BEG， ∴BE=BG=7.5， ∴6+AF=BG=7.5， ∴AF=1.5=EF， 故选择：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 二、填空题（共30分） 7. 一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形三边关系得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵三角形任意一边的长度大于另外两边之差，小于另外两边之和，已知三角形三边长为，，， ∴， 解得. 8. 在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的边角关系，利用三角形中大边对大角的性质，确定各边对应的对角，即可比较三个角的大小． 【详解】解：在任意三角形中，大边对大角，在中，边的对角为，边的对角为，边的对角为， ， ． 9. 如图，是的中线，的周长为，比长．则的周长为________． 【答案】21 【解析】 【分析】先由三角形的中线得到，再得到和周长的差，进而由已知求解即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∴和周长的差， ∵的周长为，比长， ∴周长为：． 10. 在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是__________． 【答案】9＜AB＜19 【解析】 【分析】延长AD到E，使DE=AD，连接BE.先证明△ADC≌△EDB（SAS），得到AC=BE=5，DE= AD＝7，在△ABE中，根据三角形三条边的关系即可求出AB的取值范围． 【详解】解：延长AD到E，使DE=AD，连接BE 在△ADC和△EDB中， ∵AD=DE,∠ADC=∠BDE,CD=BD， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC=BE（全等三角形的对应边相等）. ∵AC=5，AD=7， ∴BE=5，AE=14 在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE， ∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19． 故答案为9＜AB＜19． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三条边的关系，正确做出辅助线证明△ADC≌△EDB是解答本题的关键． 11. 如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应边相等，得出，，然后根据已知线段的长度求出结果即可． 【详解】解：∵， ，， ∵， ， ∵， ，即． 12. 若，分别是中边上的高和中线，，，，则的面积为___________． 【答案】30或6 【解析】 【分析】该题考查了三角形的高线、中线、面积计算，分为当高在的内部时，当高在的外部时，分别求解即可． 【详解】解：如图1，当高在的内部时， 则， ∵是中线， ， ； 如图2，当高在的外部时， 则， ∵是中线， ， ． 综上所述，的面积为30或6． 故答案为：30或6． 13. 如图，在中，是中点，是中点，连接、，若的面积为20，则的面积为__________． 【答案】10 【解析】 【分析】由是中点，可知和等底等高，因此，同理可得，，即可求得的面积． 【详解】解：是中点， ， 又是中点， ，， ． 14. 如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，． 【答案】2或5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及分类讨论思想；由可证明，从而得；分点E在射线上移动时及点E在射线上移动两种情况；求得，即可求得点E运动的时间． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； ②当点E在射线上移动时，， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； 综上所述，当点E在直线上移动或时，； 故答案为：2或5． 15. 如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算及等腰直角三角形的性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．作于，由得，，再证明得即可解决问题． 【详解】解：如图作于， ，， ， ， 又， ∴， ， 和都是等腰三角形， ，，， 在和中， ， ， ∴，， 在和中， ， ． ∴， ∴； 故答案为6． 16. 如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则______ 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 由线段垂直平分线的性质推出，，由等腰三角形的性质得到，，，求出，由三角形内角和定理求出，得到． 【详解】解：，分别是边的垂直平分线， ，， ， ，，， ， ， ． 故答案为： 三、解答题（共58分） 17. 如图，在小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）若与全等，则图中与点不重合的格点共有________个； （2）画出的边上的高． 【答案】（1）3 （2） 如图所示，线段即为所作． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定作出图形即可求解； （2）根据三角形的高，过点C作出交延长线于E即可． 【小问1详解】 解：如图，、、都与全等． ； 由图可知图中与点不重合的格点共有3个． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，三角形的高等知识，解题的关键利用三角形全等的判定作三角形． 18. 已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】 选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】略 19. 如图，是的角平分线，的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）由是的垂直平分线，根据垂直平分线性质得，由等边对等角推出；再由是角平分线得，经等量代换得到内错角，即可证明； （2）由垂直平分得，故；将两角拆分，，是的外角，等于；结合角平分线，等式两边消去等角，即可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数． 【答案】 （1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合， ∴BD＝BE，∠EBD＝120°， ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°， ∴∠DBC＝∠ABE， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD； （2）∠BFE＝105°． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证；  （2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】（1） 略 （2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°， ∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°， ∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE ＝180°﹣30°﹣45°＝105°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键． 21. 如图所示，在中，，，，，试判断与的关系，并说明理由． 【答案】 解：，，理由如下： ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．先证明，得出，，再由三角形内角和定理即可判断出； 【详解】略 22. 如图，在凸五边形中，，，，为的中点．证明． 【答案】证明：如图，延长到点，使得，连接， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】延长到点，使得，连接，易证，然后根据全等三角形的性质，结合已知条件和角度的和差得到，从而证得，进而即可得到结论． 【详解】略 23. 如图，中，，，点为射线上一动点，连结，作且． （1）如图 1 ，请过 F 点作 交 于D 点，求证： ； （2）如图 2 ，连结 交于点，若 ，求证：点为中点． （3）当 E 点在射线上，连结与直线 交于 G 点，若 ，则 ．（直接写出结果） 【答案】（1） 证明：如图过点作于点， ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2） 证明：过点作于点，则， 由（1）可知： ∴，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点． （3）或． 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；难点是类比思想在解题中的应用． （1）过点作于点，先证，再依据“”判定和全等，从而得，，据此可得出结论； （2）由（1）可知：，，再证和全等得，然后由 ，则，，进而可得，据此可得出结论； （3）过点作交的延长线于，由（1）可知，由（2）可知，再由 ，则，，，，进而得，，据此可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解点在射线上， 有以下两种情况： （ⅰ）当点在线段上时，过点作于，如图所示： ， ， 由（2）可知：，则， 由（2）可知：，则， ， ． （ⅱ）当点在的延长线上时，过点作交的延长线于，如图所示： 由（2）可知：， 由（2）可知：， ， ， ，， ， ， ， ． 综上所述：的值为：或． 第二部分（满分50分） 24. 代数式的末尾数字是________． 【答案】0 【解析】 【分析】先应用平方差公式，将算式化简，再找指数与末尾数字之间的规律，最后应用规律求出结果即可． 【详解】解： ， 的末尾数字是3， 的末尾数字是9， 的末尾数字是 7， 的末尾数字是 1， 的末尾数字是 3， …， ∴每4个数一循环， ∵， ∴的末尾数字与的末尾数字相同，即的末尾数字为1， ∴的末尾数字是0． 25. 若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组． 由原方程组的解代入可得 和 ，将其代入，通过比较系数即可求解． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得． 故答案为： 26. 如图，在，，为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，内角和定理．根据题意可证明，可得，再根据，可得，再证明是等边三角形，是等边三角形，继而根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 27. 如图所示，为等腰三角形，，，交于点，过作交延长线于，与交于，求证：，． 【答案】证明：过点C 作，交的延长线于点P． ∵为等腰三角形，， ∴，． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，设与交于点H，则， 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，（对顶角相等）， 在中，． 又∵， ∴， ∴（等角对等边）． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】首先作辅助线构造全等三角形，过点C 作，交的延长线于点P，通过证明，从而得到；然后利用角度关系证明，得到，同时证明为等腰三角形，得到；将拆解为,转化为，拆解为，利用上述结论进行代换，最终证明结论． 【详解】略 28. 一个正整数若能表示成若干个正整数的和，且这些正整数的倒数和也恰为1，则称为“金猴数”（例如，，且，22就是一个金猴数）． （1）证明：11、28均为金猴数； （2）证明：若为金猴数，则、也为金猴数； （3）证明：2002也为金猴数． 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴11是金猴数； ∵，且， ∴28是金猴数； （2） 证明：设金猴数可表示为正整数的和，且， ∴； 对于： 取正整数， 则， ， ∴是金猴数； 对于： 取正整数， 则， ， ∴是金猴数； （3） 证明：由（1）得28是金猴数， 根据（2）的结论： ∵28是金猴数， ∴是金猴数； ∵58是金猴数， ∴是金猴数； ∵118是金猴数， ∴是金猴数； ∵245是金猴数， ∴是金猴数； ∵499是金猴数， ∴是金猴数； ∵1000是金猴数， ∴是金猴数． 【解析】 【分析】（1）根据金猴数定义，构造和为11、28且倒数和为1的正整数组即可； （2）将原金猴数的每个元素乘2，得到和为、倒数和为的数组，再补充和为2（或9），构造新的金猴数； （3）从已知金猴数28出发，多次应用（2）的结论，逐步推导得到2002是金猴数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $