第09讲 动态平衡 临界极值问题 专项训练 -2027届高考物理一轮复习

第09讲 动态平衡 临界极值问题 【备考指南】 1.掌握处理动态平衡问题的四种方法：解析法、图解法、相似三角形法、正弦定理法； 2.重视多物体问题情境的研究，在这类问题中，注意灵活应用整体法和隔离法选取研究对象，更快捷解决问题； 3.重视动态平衡问题情境的研究，在这类问题中，通常会用到各种数学方法，如图解法、相似三角形法及正弦定理法。 【知识梳理】 一、共点力动态平衡分析 1．共点力动态平衡问题 在共点力动态平衡过程中物体始终处于一系列的平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。 2．解题流程 二、共点力平衡中的临界与极值问题 1.临界问题 在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，弹力F弹＝0。 2．极值问题 在力的变化过程中存在力的最大值或最小值。 【解题方法技巧】 1．动态平衡问题 (1)解析法 确定研究对象并进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 (2)图解法 使用条件：此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况。 (3)相似三角形法 三力平衡问题中，正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中的线、杆、壁等围成的几何三角形相似，则可用相似三角形对应边成比例求出力的比例关系，进而求解。注意构建三角形时可能需要画辅助线。 使用条件：三个共点力，其中一个力为恒力，另两个力的方向均发生变化，则通常用相似三角形法分析。 (4)正弦定理法 如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。 (5)外接圆法 三力平衡问题中，一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出外接圆，恒力为圆的一条弦，根据不同状态的矢量三角形边角关系判断各力的大小、方向变化，如图所示。 使用条件：三力平衡问题中，一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变。 2.解决共点力平衡中的临界问题和极值问题的方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大或极小。 (2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图(力的平行四边形或力的矢量三角形)，通过对物理过程的分析，在力的矢量图上进行动态分析，确定最大值或最小值。 【真题再现】 1．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　） A． B． C．G D． 2．（2024·山东·高考真题）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（　　） A． B． C． D． 3．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　） A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 4．（2021·湖南·高考真题）质量为的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，为半圆的最低点，为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为的小滑块。用推力推动小滑块由A点向点缓慢移动，力的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是（　　） A．推力先增大后减小 B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C．墙面对凹槽的压力先增大后减小 D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 5．（2026·海南·高考真题）如图，两个木块和叠放在水平地面上，一根轻质弹性绳上端固定于天花板上的点，下端跨过一个固定在点的光滑钉子斜拉着木块，点在点的正下方。已知弹性绳原长小于线段OP的长度，A和B均处于静止状态，弹性绳的弹力大小与伸长量的关系满足胡克定律，和均可视为质点，下列说法正确的是（     ） A．地面对A的摩擦力方向水平向左 B．若B的质量增大，则A与地面之间的摩擦力变大 C．若将A和B整体向右平移一小段距离后重新平衡，则A对地面的压力变小 D．若将A和B整体向右平移一小段距离后重新平衡，则A对地面的压力变大 6．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 7．（多选）（2026·四川·高考真题）如图所示，球心为、半径为的半球体固定于水平地面，质量为的杂技演员依靠双手支撑竖直倒立在球面上。双手对球面压力的作用点的连线是与地面平行、圆心为的小圆的直径，压力大小均为且不超过（为重力加速度大小）。手与球面间动摩擦因数为，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等。设长为、则（     ） A．时，演员保持平衡状态，大小可能为 B．时，演员可以通过增大往上移动 C．时，演员不可能保持平衡状态 D．演员要保持平衡状态，的最小值为 【精准训练】 【题组01 解析法】 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）如图所示，白板擦吸附在可大角度旋转的磁性白板正面，板擦与白板间有大小恒为F的磁力作用，板擦与白板接触面动摩擦因数为µ，将白板由竖直缓慢转过60°且保持正面朝上，白板擦始终保持相对静止。在旋转过程中，白板擦受到的摩擦力（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．等于µF 2．（2025·广东深圳·模拟预测）深圳高级中学趣味运动会上有一种“夹球”游戏，甲、乙两名同学夹皮球完成各种动作。其过程可以简化为如图所示，假设两名同学对皮球的压力均在同一竖直面内，不计摩擦。现甲同学静止保持身体站直（竖直），乙同学背部倾斜且其与竖直方向的夹角缓慢增大，而皮球始终保持静止，在此过程中（　　） A．甲对皮球的压力大于乙对皮球的压力 B．乙对皮球的压力减小 C．甲、乙对皮球的合力增大 D．甲对皮球的压力增大 3．（2026·河北·三模）如图所示，轻绳两端分别固定在露营帐篷的竖直杆AB、DE顶端，照明灯通过光滑挂钩挂在轻绳上，照明灯始终静止。下列做法中，会使得轻绳上的拉力减小的是（     ） A．仅将右侧固定点沿DE杆下移少许 B．仅将右侧固定点沿倾斜杆CD上移少许 C．仅增大两竖直杆间的距离 D．仅缩短轻绳的长度 【题组02 图解法】 4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）某品牌双肩书包在人体工学设计和舒适度提升方面进行了特别研究。如图所示为学生背上书包时的侧视图，书包与背部接触面竖直，两条长度相同的背带（图中仅展示了一条）分别跨过左、右肩部并连接到书包，确保两条背带的上（下）端连接点P与P`（Q与Q`）等高，左、右肩部的背带平面平行且与背部平面垂直。在忽略背部与书包、肩部与背带之间的摩擦力，以及不考虑背带质量的情况下，若背上书包后，仅对两条背带增加相同长度，则（　　） A．背部对书包的作用力大小变大 B．背部对书包的作用力大小先变大后变小 C．背带对肩部的作用力大小变小 D．背带对肩部的作用力大小先变小后变大 5．（2026·辽宁·模拟预测）武打片中经常有飞檐走壁的镜头，其实这是借助悬绳拍摄产生的效果，某演员（未画出）在下列四种拍摄场景中均在空中做匀速运动，由绳①和绳②连接演员，若忽略绳所受重力，则绳①受力最小的是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·湖南湘潭·一模）如图为装有桶装水的推车，为固定的车底板，点处有一锁定装置，锁定时挡板被固定，且，未锁定时，可绕点转动。图示初始状态：工人抬起把手，被锁定且处于竖直状态，推车和质量为的桶装水（水和桶）均保持静止，、对水桶的弹力分别为、。不计桶所受摩擦力，重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．桶装水对的压力为 B．若突然撤去，则将增大 C．若解除锁定，使逆时针缓慢转动的过程中，将先减小后增大 D．锁定时，使推车整体从图示位置绕车轴逆时针缓慢转动的过程中，将先增大后减小 7．（2026·河北邢台·三模）如图所示，一艘无动力货轮C被两艘拖船A、B拉着在平静水面上沿虚线方向前行，两缆绳保持水平，拖船B的缆绳与货轮前进方向的夹角始终为30°，拖船A的缆绳与货轮前进方向的夹角为θ。已知货轮运动时所受阻力的大小f与运行速度的大小v的关系满足，其中。要保证货轮以5m/s的速度匀速前进且要求拖船A缆绳拉力最小，则此时θ及拖船A缆绳拉力大小分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【题组03 相似三角形法】 8．（2026·陕西榆林·三模）如图所示，质量分别为和的两个小球用细线悬挂于O点，并用一根轻杆连接。平衡时两小球到过O点的竖直线的距离相等，则两小球的质量关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 9．（多选）（2026·宁夏陕西·一模）如图所示，放置在水平地面上的楔形凹槽截面是一个直角三角形（），AB、BC、AC边的长度分别为a、b、c，AC边平行于水平地面。将一个光滑的金属球静止放置在凹槽中。小球受到的重力大小为G，AB边对小球的支持力大小为F1，BC边对小球的支持力大小为F2，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（多选）（2026·湖南长沙·二模）如图，竖直固定圆环内有a、b两根等长轻杆，一端与固定在圆环上的光滑铰链连接，另一端通过光滑铰链连接在圆心O处，a杆水平。轻杆c的一端与O处的光滑铰链连接，另一端与质量为m的小球连接；劲度系数为k1的弹性轻绳一端固定在O点正上方的圆环上，另一端固定在可视为质点的小球上，小球处于静止状态，且轻杆c与轻杆b垂直。现把弹性轻绳换成原长相等但劲度系数为的另一弹性轻绳，小球静止后位于圆心O右侧，轻杆a、b、c 和弹性轻绳始终与圆环处在同一竖直平面内，轻杆c长度小于轻杆a、b 长度，弹性轻绳始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．轻杆a的弹力变小 B．轻杆b的弹力变小 C．轻杆c的弹力大小和方向都不变 D．弹性轻绳的弹力变小 【题组04 正弦定理法】 11．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，一位小朋友躺在吊床上休息，当其静止时拴吊床的两段绳子与竖直方向的夹角分别为和。设夹角为的绳子拉力大小为，夹角为的绳子拉力大小为，则为（    ） A． B． C． D． 12．（2025·甘肃武威·模拟预测）随着手机的普及，越来越多的“低头族”出现脖子僵硬、酸痛等问题。当头前倾看手机时，如图甲所示，颈椎和后颈肌肉可简化为如图乙所示的模型，颈椎可视为用铰链固定的轻杆、后颈肌肉可视为轻绳、头部可视为重物m。假设头的质量kg，重力加速度m/s2，当头部前倾50°，后颈肌肉与颈椎之间的夹角为10°（）时，颈椎受到的压力约为（　　） A．250N B．200N C．150N D．100N 13．（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）如图所示，在竖直的光滑木板上用网兜（重力不计）把足球挂在P点，静止时轻绳与木板的夹角α＝30°。木板对足球的支持力用N表示，轻绳对足球的拉力用T表示.现将木板绕下端O沿顺时针方向缓慢旋转到水平状态，转动过程中绳与木板之间的夹角保持不变。在此过程中关于N和T的大小变化说法正确的是（     ） A．T逐渐减小 B．T先减小后增大 C．N逐渐增大 D．N先增大后减小 【题组05 辅助圆法】 14．（26-27高三上·新疆·阶段检测）铲车在基建中发挥了一定作用，其铲斗结构简易图如图乙所示，铲斗DC和BA边延长线夹角为45°，由于运输需要铲斗逆时针缓慢转动，当AB边与水平夹角θ从15°转到90°的过程中，AB和CD边分别对石头的作用力F1和F2，下列说法正确的是（　　） A．F1一直增大 B．F1先减小后增大 C．F2先增大后减小 D．F2一直增大 15．（25-26高三上·河南·期中）如图所示，一截面为正三角形且内壁光滑的容器竖直放置，内部有一个小球，其半径略小于内接圆半径，三角形各边接有压力传感器，分别感受小球对三边压力的大小。如果此时边恰好处于水平状态，将容器以点为轴在竖直平面内顺时针缓慢转动，直到边水平，则在转动过程中（　　） A．球对边的压力一直减小 B．球对边的压力先增大后减小 C．球对边的压力一直增大 D．边所受压力的最大值等于球的重力 【题组06 平衡中的临界与极值问题】 16．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）悬索桥需要通过高强螺杆压紧索夹以产生额外的压力FN，从而增加索夹与主缆间的最大静摩擦力，防止其沿主缆下滑，其简化结构如图所示。已知主缆与水平方向夹角为θ，吊索对索夹竖直向下的拉力为F，索夹与主缆间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两者间滑动摩擦因数为μ，忽略索夹、吊索质量，则FN的最小值应为（     ） A． B． C． D． 17．（26-27高三上·四川成都·开学考试）如图所示，粗糙斜面与水平地面交于边，斜面倾角为。直线位于斜面上且垂直于边。将小圆盘平放在斜面上，并用轻绳悬挂于固定点，轻绳与所成的夹角为。已知，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。为使小圆盘在此位置保持静止，小圆盘与斜面间的动摩擦因数至少为（     ） A． B． C． D． 18．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）将物块置于粗糙斜面上，当斜面的倾角小于某一值时，物块不会沿斜面下滑，该现象称为斜面自锁现象。普通螺旋千斤顶靠螺纹自锁作用支持重物，其原理与斜面自锁现象相同。如图所示为一个螺旋千斤顶的结构示意图。螺套是一个内部带有螺纹的套筒，固定在底座里。螺旋杆像一根长螺丝，表面有一圈圈连续的螺纹。转动绞杠，带动螺旋杆旋转，螺旋杆就会沿着螺套的螺纹向上或向下直线运动，从而实现顶起或降下重物的功能。若此千斤顶螺套内部横截面的直径为，相邻螺纹的间距为，则为了实现自锁功能，螺套与螺旋杆之间的螺纹接触面动摩擦因数（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力）（　　） A．不能小于 B．不能小于 C．不能小于 D．不能大于 19．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）如图所示，质量为的半球体A放在地面上，质量也为的球体B放在A上并靠在光滑竖直挡板上静止，挡板用手固定，两球心连线与地面夹角。A与B半径均为，曲面均光滑，半球体A底面粗糙，与地面间动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。 (1)求挡板对B的弹力的大小； (2)若缓慢向右移动挡板让B缓慢下降直至B刚要降至地面，恰好保持静止，求的值； (3)当A的球心与竖直挡板的距离小于某个值时，无论B的质量多大，A都不会滑动，求的值。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 动态平衡 临界极值问题 【备考指南】 1.掌握处理动态平衡问题的四种方法：解析法、图解法、相似三角形法、正弦定理法； 2.重视多物体问题情境的研究，在这类问题中，注意灵活应用整体法和隔离法选取研究对象，更快捷解决问题； 3.重视动态平衡问题情境的研究，在这类问题中，通常会用到各种数学方法，如图解法、相似三角形法及正弦定理法。 【知识梳理】 一、共点力动态平衡分析 1．共点力动态平衡问题 在共点力动态平衡过程中物体始终处于一系列的平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。 2．解题流程 二、共点力平衡中的临界与极值问题 1.临界问题 在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，弹力F弹＝0。 2．极值问题 在力的变化过程中存在力的最大值或最小值。 【解题方法技巧】 1．动态平衡问题 (1)解析法 确定研究对象并进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 (2)图解法 使用条件：此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况。 (3)相似三角形法 三力平衡问题中，正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中的线、杆、壁等围成的几何三角形相似，则可用相似三角形对应边成比例求出力的比例关系，进而求解。注意构建三角形时可能需要画辅助线。 使用条件：三个共点力，其中一个力为恒力，另两个力的方向均发生变化，则通常用相似三角形法分析。 (4)正弦定理法 如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。 (5)外接圆法 三力平衡问题中，一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出外接圆，恒力为圆的一条弦，根据不同状态的矢量三角形边角关系判断各力的大小、方向变化，如图所示。 使用条件：三力平衡问题中，一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变。 2.解决共点力平衡中的临界问题和极值问题的方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大或极小。 (2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图(力的平行四边形或力的矢量三角形)，通过对物理过程的分析，在力的矢量图上进行动态分析，确定最大值或最小值。 【真题再现】 1．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　） A． B． C．G D． 【答案】B 【详解】分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时，此时拉力F最大，根据平衡条件有 解得 故选B。 2．（2024·山东·高考真题）如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可知机器人“天工”它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，对“天工”分析有 可得 故选B。 3．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　） A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 【答案】B 【详解】AB．设两绳子对圆柱体的拉力的合力为，木板对圆柱体的支持力为，绳子与木板夹角为，从右向左看如图所示 在矢量三角形中，根据正弦定理 在木板以直线为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，不变，从逐渐减小到0，又 且 可知 则 可知从锐角逐渐增大到钝角，根据 由于不断减小，可知不断减小，先增大后减小，可知先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，故A错误、B正确； CD．设两绳子之间的夹角为，绳子拉力为，则 可得 不变，逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故CD错误。 故选B。 4．（2021·湖南·高考真题）质量为的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图所示，为半圆的最低点，为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为的小滑块。用推力推动小滑块由A点向点缓慢移动，力的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是（　　） A．推力先增大后减小 B．凹槽对滑块的支持力先减小后增大 C．墙面对凹槽的压力先增大后减小 D．水平地面对凹槽的支持力先减小后增大 【答案】C 【详解】AB ．对滑块受力分析，由平衡条件有 滑块从A缓慢移动B点时，越来越大，则推力F越来越大，支持力N越来越小，所以AB错误； C．对凹槽与滑块整体分析，有墙面对凹槽的压力为 则越来越大时，墙面对凹槽的压力先增大后减小，所以C正确； D．水平地面对凹槽的支持力为 则越来越大时，水平地面对凹槽的支持力越来越小，所以D错误； 故选C。 5．（2026·海南·高考真题）如图，两个木块和叠放在水平地面上，一根轻质弹性绳上端固定于天花板上的点，下端跨过一个固定在点的光滑钉子斜拉着木块，点在点的正下方。已知弹性绳原长小于线段OP的长度，A和B均处于静止状态，弹性绳的弹力大小与伸长量的关系满足胡克定律，和均可视为质点，下列说法正确的是（     ） A．地面对A的摩擦力方向水平向左 B．若B的质量增大，则A与地面之间的摩擦力变大 C．若将A和B整体向右平移一小段距离后重新平衡，则A对地面的压力变小 D．若将A和B整体向右平移一小段距离后重新平衡，则A对地面的压力变大 【答案】D 【详解】A．绳对A的拉力方向是斜向左上方，拉力的水平分量向左，A有向左运动的趋势，因此地面对A的静摩擦力方向水平向右，故A错误； B．对A、B整体受力分析，水平方向静摩擦力大小等于弹性绳拉力的水平分量，和B的质量没有关系，因此B质量增大时，A与地面的摩擦力不变，故B错误； CD．PA段绳长为L、竖直高度为h，弹性绳劲度系数为k，对A、B整体竖直方向受力平衡，设绳拉力为F，拉力与水平方向夹角为，则 总伸长量对应的弹力 竖直方向 整理得 当整体向右平移小段距离，L增大，N变大，即地面对A的支持力变大，根据牛顿第三定律，A对地面的压力变大，故D正确，C错误。 故选D。 6．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 【答案】B 【详解】AB．对石墩受力分析，由平衡条件可知 联立解得 故A错误，B正确； C．拉力的大小为 其中，可知当时，拉力有最小值，即减小夹角，轻绳的合拉力不一定减小，故C错误； D．摩擦力大小为 可知增大夹角，摩擦力一直减小，当趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D错误； 故选B。 7．（多选）（2026·四川·高考真题）如图所示，球心为、半径为的半球体固定于水平地面，质量为的杂技演员依靠双手支撑竖直倒立在球面上。双手对球面压力的作用点的连线是与地面平行、圆心为的小圆的直径，压力大小均为且不超过（为重力加速度大小）。手与球面间动摩擦因数为，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等。设长为、则（     ） A．时，演员保持平衡状态，大小可能为 B．时，演员可以通过增大往上移动 C．时，演员不可能保持平衡状态 D．演员要保持平衡状态，的最小值为 【答案】AD 【详解】设球心O到单侧手的作用点连线与竖直轴的夹角为，由几何关系得， 演员受力平衡：水平分量抵消，竖直方向两个手的支持力和摩擦力的竖直分量平衡重力，整理得 最大静摩擦力满足 当静摩擦力取最大值时，联立可得 A．时，代入数据解得 由于 可知的范围为 大小可能为，故A正确； B．根据题目分析可知时，演员可以处于平衡状态，在保持平衡状态的前提下，当增大时，静摩擦力变小，合力始终不变，能否上升与N无关，故B错误； C．根据结合题意 当时，解得平衡临界，故C错误； D．根据结合辅助角公式可得 可得的最小值，故D正确。 故选AD。 【精准训练】 【题组01 解析法】 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）如图所示，白板擦吸附在可大角度旋转的磁性白板正面，板擦与白板间有大小恒为F的磁力作用，板擦与白板接触面动摩擦因数为µ，将白板由竖直缓慢转过60°且保持正面朝上，白板擦始终保持相对静止。在旋转过程中，白板擦受到的摩擦力（　　） A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．等于µF 【答案】B 【详解】设白板与水平面的夹角为，则旋转过程中由减小到。板擦相对白板静止，静摩擦力沿板面向上，沿板面方向由共点力平衡条件得 即 板擦在任一中间位置的受力情况如图所示。 由于始终在内，随着减小，单调减小，由减小到，即摩擦力一直减小。板擦始终相对静止，摩擦力为静摩擦力，其实际大小由平衡条件决定，动摩擦因数不参与计算。 故选B。 2．（2025·广东深圳·模拟预测）深圳高级中学趣味运动会上有一种“夹球”游戏，甲、乙两名同学夹皮球完成各种动作。其过程可以简化为如图所示，假设两名同学对皮球的压力均在同一竖直面内，不计摩擦。现甲同学静止保持身体站直（竖直），乙同学背部倾斜且其与竖直方向的夹角缓慢增大，而皮球始终保持静止，在此过程中（　　） A．甲对皮球的压力大于乙对皮球的压力 B．乙对皮球的压力减小 C．甲、乙对皮球的合力增大 D．甲对皮球的压力增大 【答案】B 【详解】C．夹角缓慢增大的过程，皮球处于动态平衡，根据平衡条件可得，甲、乙对皮球的合力始终等于皮球的重力，保持不变，C错误； ABD．以皮球为对象，受力分析如图所示 根据平衡条件可得， 可得 可知甲对皮球的压力小于乙对皮球的压力；夹角缓慢增大，则甲对皮球的压力减小，乙对皮球的压力减小，AD错误，B正确。 故选B。 3．（2026·河北·三模）如图所示，轻绳两端分别固定在露营帐篷的竖直杆AB、DE顶端，照明灯通过光滑挂钩挂在轻绳上，照明灯始终静止。下列做法中，会使得轻绳上的拉力减小的是（     ） A．仅将右侧固定点沿DE杆下移少许 B．仅将右侧固定点沿倾斜杆CD上移少许 C．仅增大两竖直杆间的距离 D．仅缩短轻绳的长度 【答案】B 【详解】A．设挂钩两侧轻绳的夹角为，两侧轻绳上拉力大小相等，因此平衡关系有 解得 如图，设轻绳长为，竖直杆AB、DE的距离为，根据几何关系知定值 推得定值 故仅将右侧固定点沿DE杆下移少许，几何关系不变，不变，轻绳上的拉力不变，故A错误； B．仅将右侧固定点沿倾斜杆CD上移少许，竖直杆AB、DE的距离减小，减小，减小，增大，轻绳上的拉力减小，故B正确； CD．仅增大两竖直杆间的距离或仅缩短轻绳的长度，增大，增大，减小，轻绳上的拉力增大，故CD错误。 故选B。 【题组02 图解法】 4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）某品牌双肩书包在人体工学设计和舒适度提升方面进行了特别研究。如图所示为学生背上书包时的侧视图，书包与背部接触面竖直，两条长度相同的背带（图中仅展示了一条）分别跨过左、右肩部并连接到书包，确保两条背带的上（下）端连接点P与P`（Q与Q`）等高，左、右肩部的背带平面平行且与背部平面垂直。在忽略背部与书包、肩部与背带之间的摩擦力，以及不考虑背带质量的情况下，若背上书包后，仅对两条背带增加相同长度，则（　　） A．背部对书包的作用力大小变大 B．背部对书包的作用力大小先变大后变小 C．背带对肩部的作用力大小变小 D．背带对肩部的作用力大小先变小后变大 【答案】C 【详解】设两条背带对肩部的作用力大小合为F1，两条背带对书包的作用力大小为F2，背部对书包的作用力大小为F3。不考虑背带与肩部的摩擦力，则背带上各处张力相等且F1与F2大小相等、方向相反。分析书包受力如图，若仅对两条背带增加相同长度，F2与竖直方向的夹角变小，F2与F3的大小均变小。 故选C。 5．（2026·辽宁·模拟预测）武打片中经常有飞檐走壁的镜头，其实这是借助悬绳拍摄产生的效果，某演员（未画出）在下列四种拍摄场景中均在空中做匀速运动，由绳①和绳②连接演员，若忽略绳所受重力，则绳①受力最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析演员的受力，演员受到自身重力，绳①和绳②的拉力；绳②的拉力方向不变，绳①的拉力方向在变化，三个力使演员处于平衡状态，三个力构成矢量三角形，利用动态三角形进行求解，如图所示 由图可知，当与垂直时最小。 故选A。 6．（2026·湖南湘潭·一模）如图为装有桶装水的推车，为固定的车底板，点处有一锁定装置，锁定时挡板被固定，且，未锁定时，可绕点转动。图示初始状态：工人抬起把手，被锁定且处于竖直状态，推车和质量为的桶装水（水和桶）均保持静止，、对水桶的弹力分别为、。不计桶所受摩擦力，重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．桶装水对的压力为 B．若突然撤去，则将增大 C．若解除锁定，使逆时针缓慢转动的过程中，将先减小后增大 D．锁定时，使推车整体从图示位置绕车轴逆时针缓慢转动的过程中，将先增大后减小 【答案】C 【详解】A．以水桶为对象，根据平衡条件可得 解得，，故A错误； B．若突然撤去OA板，垂直OB板方向由平衡条件可得 可知将减小，故B错误； C．若解除锁定，使OA板逆时针缓慢转动的过程中，根据三角形定则，水桶的受力如图所示 由图可知先减小后增大，故C正确； D．将OA锁定，则、的夹角保持不变，抬起把手使整体从如图位置原地逆时针缓慢转动的过程中，可等效为、的方向不变，重力顺时针转动，如图所示 根据平衡条件 可得由于从0增大到，逐渐减小，则一直减小，故D错误。 故选C 。 7．（2026·河北邢台·三模）如图所示，一艘无动力货轮C被两艘拖船A、B拉着在平静水面上沿虚线方向前行，两缆绳保持水平，拖船B的缆绳与货轮前进方向的夹角始终为30°，拖船A的缆绳与货轮前进方向的夹角为θ。已知货轮运动时所受阻力的大小f与运行速度的大小v的关系满足，其中。要保证货轮以5m/s的速度匀速前进且要求拖船A缆绳拉力最小，则此时θ及拖船A缆绳拉力大小分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】 货轮C以5m/s的速度匀速前进，则所受阻力大小为 方向与速度方向相反，货轮C在阻力和拖船A、B缆绳拉力三力作用下处于平衡状态，可将货轮受到的三力平移构成一个首尾相接的矢量三角形，其中阻力的大小和方向均不变，拖船B缆绳拉力方向不变。如图所示，当两缆绳（拉力）垂直时，拖船A缆绳拉力最小，此时有，拖船A缆绳拉力大小为 故选B。 【题组03 相似三角形法】 8．（2026·陕西榆林·三模）如图所示，质量分别为和的两个小球用细线悬挂于O点，并用一根轻杆连接。平衡时两小球到过O点的竖直线的距离相等，则两小球的质量关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】如图所示 设质量为和的两个小球所在位置分别为A、C点，细杆与过O点的竖直直线的交点为B点，对和分别进行受力分析。 质量为的小球受到的重力、细线拉力、轻杆弹力，构成的矢量三角形与对应的几何三角形相似，有 质量为的小球受到的重力、细线拉力、轻杆弹力，构成的矢量三角形与对应的几何三角形相似，有 因轻杆对两个小球的弹力等大反向 又知 联立解得 故选B。 9．（多选）（2026·宁夏陕西·一模）如图所示，放置在水平地面上的楔形凹槽截面是一个直角三角形（），AB、BC、AC边的长度分别为a、b、c，AC边平行于水平地面。将一个光滑的金属球静止放置在凹槽中。小球受到的重力大小为G，AB边对小球的支持力大小为F1，BC边对小球的支持力大小为F2，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】ABC．对小球进行受力分析，如图所示 根据相似三角形有 可得，， 故ABC正确； D．对小球，根据勾股定理得，故D错误。 故选ABC。 10．（多选）（2026·湖南长沙·二模）如图，竖直固定圆环内有a、b两根等长轻杆，一端与固定在圆环上的光滑铰链连接，另一端通过光滑铰链连接在圆心O处，a杆水平。轻杆c的一端与O处的光滑铰链连接，另一端与质量为m的小球连接；劲度系数为k1的弹性轻绳一端固定在O点正上方的圆环上，另一端固定在可视为质点的小球上，小球处于静止状态，且轻杆c与轻杆b垂直。现把弹性轻绳换成原长相等但劲度系数为的另一弹性轻绳，小球静止后位于圆心O右侧，轻杆a、b、c 和弹性轻绳始终与圆环处在同一竖直平面内，轻杆c长度小于轻杆a、b 长度，弹性轻绳始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．轻杆a的弹力变小 B．轻杆b的弹力变小 C．轻杆c的弹力大小和方向都不变 D．弹性轻绳的弹力变小 【答案】AD 【详解】C．对小球进行受力分析如图1，由几何关系可得，小球重力，轻杆的弹力、弹性轻绳的拉力之间满足关系 因为，和为定值，故轻杆的弹力大小不变，但方向会改变，故错误； D．因为弹性轻绳劲度系数变大，故距离会减小，故弹性轻绳的拉力减小，故D正确； AB．对点进行受力分析如图2，根据平衡条件可知 结合上述分析可知，大小不变，与竖直方向夹角逐渐减小，由几何关系分析可得轻杆弹力变小、的弹力变大，故A正确，B错误。 故选AD。 【题组04 正弦定理法】 11．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，一位小朋友躺在吊床上休息，当其静止时拴吊床的两段绳子与竖直方向的夹角分别为和。设夹角为的绳子拉力大小为，夹角为的绳子拉力大小为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小朋友及吊床受三个力且处于静止状态，其受力如图所示，由正弦定理可得 所以 故选A。 12．（2025·甘肃武威·模拟预测）随着手机的普及，越来越多的“低头族”出现脖子僵硬、酸痛等问题。当头前倾看手机时，如图甲所示，颈椎和后颈肌肉可简化为如图乙所示的模型，颈椎可视为用铰链固定的轻杆、后颈肌肉可视为轻绳、头部可视为重物m。假设头的质量kg，重力加速度m/s2，当头部前倾50°，后颈肌肉与颈椎之间的夹角为10°（）时，颈椎受到的压力约为（　　） A．250N B．200N C．150N D．100N 【答案】A 【详解】 设颈椎对头支持力为F，画出受力图如上图所示 由正弦定理可得 ，解得 ， 颈椎受到的压力与颈椎对头支持力为F为作用力与反作用力的关系，根据牛顿第三定律 故选A。 13．（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）如图所示，在竖直的光滑木板上用网兜（重力不计）把足球挂在P点，静止时轻绳与木板的夹角α＝30°。木板对足球的支持力用N表示，轻绳对足球的拉力用T表示.现将木板绕下端O沿顺时针方向缓慢旋转到水平状态，转动过程中绳与木板之间的夹角保持不变。在此过程中关于N和T的大小变化说法正确的是（     ） A．T逐渐减小 B．T先减小后增大 C．N逐渐增大 D．N先增大后减小 【答案】AD 【详解】转动过程中，设木板与水平方向之间的夹角为时，足球的受力如图所示。 根据正弦定理可得 由逐渐减小到，从锐角逐渐增大到钝角，则逐渐减小，先增大后减小。 可知悬绳对足球的拉力逐渐减小，木板对足球的支持力先增大后减小。 故选AD。 【题组05 辅助圆法】 14．（26-27高三上·新疆·阶段检测）铲车在基建中发挥了一定作用，其铲斗结构简易图如图乙所示，铲斗DC和BA边延长线夹角为45°，由于运输需要铲斗逆时针缓慢转动，当AB边与水平夹角θ从15°转到90°的过程中，AB和CD边分别对石头的作用力F1和F2，下列说法正确的是（　　） A．F1一直增大 B．F1先减小后增大 C．F2先增大后减小 D．F2一直增大 【答案】D 【详解】由于和的夹角恒定不变为，重力恒定，则可作出如下辅助圆（力圆）： 根据题意可知，开始与竖直方向夹角为15°（即1位置），当AB边与水平夹角θ从15°转到90°的过程中，、和圆交点逆时针旋转，可得先增大后减小，一直增大，故ABC错误，D正确。 故选D。 15．（25-26高三上·河南·期中）如图所示，一截面为正三角形且内壁光滑的容器竖直放置，内部有一个小球，其半径略小于内接圆半径，三角形各边接有压力传感器，分别感受小球对三边压力的大小。如果此时边恰好处于水平状态，将容器以点为轴在竖直平面内顺时针缓慢转动，直到边水平，则在转动过程中（　　） A．球对边的压力一直减小 B．球对边的压力先增大后减小 C．球对边的压力一直增大 D．边所受压力的最大值等于球的重力 【答案】B 【详解】本题考查用辅助圆解决动态平衡问题，目的是考查学生的推理论证能力。设边对小球的弹力大小为边对小球的弹力大小为，对小球进行分析，作出辅助圆的动态矢量分析如图所示 由图可知，开始与球的重力等大反向，转动过程中先增大后减小至从0开始先增大后减小至与球的重力等大反向，其中最大值大于球的重力，根据牛顿第三定律可知，球对边的压力与对边的压力均先增大后减小，且边所受压力的最大值大于球的重力。 故选B。 【题组06 平衡中的临界与极值问题】 16．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）悬索桥需要通过高强螺杆压紧索夹以产生额外的压力FN，从而增加索夹与主缆间的最大静摩擦力，防止其沿主缆下滑，其简化结构如图所示。已知主缆与水平方向夹角为θ，吊索对索夹竖直向下的拉力为F，索夹与主缆间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两者间滑动摩擦因数为μ，忽略索夹、吊索质量，则FN的最小值应为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对索夹进行受力分析，索夹受到竖直向下的拉力，高强螺杆提供的垂直主缆向上的压紧力，主缆垂直主缆向下的正压力和沿主缆向上的静摩擦力。将拉力正交分解为沿主缆向下的分力 和垂直主缆向下的分力 此时接触面的总正压力为 因此最大静摩擦力为 当取最小值时，索夹刚好不下滑，最大静摩擦力与下滑驱动力平衡 解得螺杆垂直主缆向上的压力的最小值 故选D。 17．（26-27高三上·四川成都·开学考试）如图所示，粗糙斜面与水平地面交于边，斜面倾角为。直线位于斜面上且垂直于边。将小圆盘平放在斜面上，并用轻绳悬挂于固定点，轻绳与所成的夹角为。已知，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。为使小圆盘在此位置保持静止，小圆盘与斜面间的动摩擦因数至少为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将小圆盘的重力沿垂直斜面和沿斜面方向分解，沿斜面向下的重力分力大小为 垂直斜面方向受力平衡，斜面对圆盘的支持力 小圆盘在斜面平面内受三个力，沿向下的重力分力、沿轻绳方向的拉力、静摩擦力，三力平衡。将分解到沿绳方向和垂直绳的方向，当静摩擦力达到最大静摩擦时，静摩擦力需要平衡垂直于绳方向的分力，因此 刚好静止时，最大静摩擦力等于所需的静摩擦力，即 代入可得 解得 故选A。 18．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）将物块置于粗糙斜面上，当斜面的倾角小于某一值时，物块不会沿斜面下滑，该现象称为斜面自锁现象。普通螺旋千斤顶靠螺纹自锁作用支持重物，其原理与斜面自锁现象相同。如图所示为一个螺旋千斤顶的结构示意图。螺套是一个内部带有螺纹的套筒，固定在底座里。螺旋杆像一根长螺丝，表面有一圈圈连续的螺纹。转动绞杠，带动螺旋杆旋转，螺旋杆就会沿着螺套的螺纹向上或向下直线运动，从而实现顶起或降下重物的功能。若此千斤顶螺套内部横截面的直径为，相邻螺纹的间距为，则为了实现自锁功能，螺套与螺旋杆之间的螺纹接触面动摩擦因数（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力）（　　） A．不能小于 B．不能小于 C．不能小于 D．不能大于 【答案】B 【详解】设螺纹的倾角为，螺纹一圈的周长，则 为了实现自锁功能，需满足 联立解得 故选B。 19．（26-27高三上·江苏扬州·阶段检测）如图所示，质量为的半球体A放在地面上，质量也为的球体B放在A上并靠在光滑竖直挡板上静止，挡板用手固定，两球心连线与地面夹角。A与B半径均为，曲面均光滑，半球体A底面粗糙，与地面间动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。 (1)求挡板对B的弹力的大小； (2)若缓慢向右移动挡板让B缓慢下降直至B刚要降至地面，恰好保持静止，求的值； (3)当A的球心与竖直挡板的距离小于某个值时，无论B的质量多大，A都不会滑动，求的值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设A对B的支持力为。球体B受到重力、挡板的水平弹力以及A沿球心连线方向的支持力 由B竖直方向受力平衡可得 水平方向受力平衡可得 联立可得 将代入，得 所以挡板对B的弹力大小为 （2）设两球球心连线与水平面的夹角为。当B缓慢下降且A保持静止时，对B由平衡条件可得 因此B对A的水平作用力大小为 该作用力由地面对A的静摩擦力平衡 由于B受到的竖直支持力为，所以B对A的竖直压力也为。地面对A的支持力为 当B刚要降至地面时，B的球心到地面的距离为。A的球心位于地面上，两球球心距离为，因此 解得 在题图所示的几何范围内有 挡板向右移动的过程中，逐渐减小，逐渐增大，因此B刚要降至地面时，A所需的静摩擦力最大。此时 A恰好保持静止，说明静摩擦力达到最大值，即 代入可得 解得 （3）设球体B的质量为，两球球心连线与水平面的夹角仍为 对B由平衡条件可得A对B的支持力满足 B对A的水平作用力为 地面对A的支持力为 A不滑动的条件为 整理得 要使无论B的质量多大，A都不会滑动，应考虑时的极限条件，得到 临界状态下有 因此 设A的球心到竖直挡板的距离为。B的半径为，所以B的球心到挡板的水平距离为。根据水平方向的几何关系可得 当取临界值时，有 整理可得 所以 当A的球心与竖直挡板的距离小于该值时，接触角更大，所需摩擦力与支持力之比更小，因此无论B的质量多大，A都不会滑动。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $