第09讲 专题：动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题（专项训练）（北京专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 以动态平衡、临界极值为核心，通过四阶训练系统提炼解析法、图解法等解题方法，构建“概念-方法-应用”逻辑链条，强化科学思维与相互作用观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |巩固·知识解构|2知识点|动态平衡：解析法、图解法、相似三角形法；临界极值：解析法、图解法、极限法|从动态平衡概念（化动为静）到临界极值条件（恰好出现/不出现），构建平衡问题方法体系| |模拟·基础演练|12题|动态平衡力的变化分析；临界极值临界条件应用|对应知识点设题，覆盖基础模型（悬挂、斜面、滑轮）| |重难·创新演练|6题|结合生活化情境（螺旋千斤顶、自动扶梯）迁移方法|通过新情境深化方法应用，培养模型建构能力| |真题·实战演练|1题|高考真题高频考点突破|聚焦临界极值核心考点，强化应试能力|

第09讲 专题：动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题（专项训练） 目 录 巩固·知识解构 1 知识点1 物体的动态平衡问题 1 知识点2 平衡中的临界、极值问题 2 模拟·基础演练 4 题型01 动态平衡的问题 4 题型02 平衡中的临界、极值问题 5 重难·创新演练 10 真题·实战演练 13 巩固·知识解构 知识点1 物体的动态平衡问题 1.动态平衡 （1）所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，常利用图解法解决此类问题。 （2）基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。 2.分析动态平衡问题的方法及步骤 方法 步骤 解析法 （1）列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式； （2）根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况 图解法 （1）根据已知量的变化情况，画出平行四边形(三角形)边、角的变化； （2）确定未知量大小、方向的变化 相似三角形法 （1）根据已知条件画出某一状态对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式； （2）确定未知量大小的变化情况 知识点2 平衡中的临界、极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等，临界问题常见的种类： （1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 （2）绳子恰好绷直，拉力F=0。 （3）两个接触的物体分离，弹力FN=0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 （1）解析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 （2）图解法：根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。 （3）极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 模拟·基础演练 考查重点：动态平衡的问题、平衡中的临界、极值问题…… ⏳题型01 动态平衡的问题 1．（2026·北京第一五九中学）如图所示，一个重为的物体，用细线悬挂在点，现在用力拉物体，悬线与竖直方向夹角为，保持不变。物体处于静止状态，已知，，在由水平方向沿逆时针转动过程中（　　） A．越来越小 B．细线受力越来越大 C．最小值为 D．细线受力最大值为 【答案】C 【解析】AC．以物体为研究对象，根据作图法可知，拉力F先变小后变大，当拉力F与细线垂直时最小，此时最小值为，故A错误，C正确； BD．细线受力越来越小，刚开始时细线拉力最大，为，故BD错误。故选C。 2．如图所示，某人骑着平衡车正对圆弧形减速带并缓慢通过，在车轮离开地面爬升至减速带最高点的过程中，车轮受到减速带的摩擦力大小（不计轮胎和减速带的形变）（　　） A．保持不变 B．逐渐减小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 【答案】B 【解析】把人和平衡车看成一个整体，受重力、摩擦力和支持力构成首尾顺次相接的矢量三角形，重力大小方向一定，摩擦力和支持力总是互相垂直，画出矢量三角形的外接圆，重力为直径，在缓慢上升过程中，支持力逆时针转动，摩擦力逐渐变小，如图所示，ACD错误，B正确。 故选B。 3．如图，一小球静止在竖直墙壁和木板之间。现将木板从图示位置沿顺时针方向缓慢旋转至水平位置，下列说法正确的是（　　） A．小球对墙壁的压力变大，对木板的压力变小 B．小球对墙壁的压力变小，对木板的压力变大 C．小球对墙壁的压力变小，对木板的压力变小 D．小球对墙壁的压力变大，对木板的压力变大 【答案】C 【解析】设墙壁和木板对小球的作用力分别为和。以小球为研究对象，根据受力情况作出力的示意图如图。 设木板与水平方向的夹角为。根据平衡条件得：， 将木板缓慢旋转至水平位置的过程中，减小，减小，增大，则得到、均减小，故选C。 4．（2026·北京顺义一中）如图所示，在光滑竖直墙壁上用轻质网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B。足球的重力为G，悬绳与墙壁的夹角为，则（ ） A．悬绳对球的拉力F的大小为 B．球对墙壁的压力的大小为 C．若增大悬绳长度，悬绳对球的拉力将增大 D．若增大悬绳长度，墙壁对球的压力将减小 【答案】D 【解析】AB．对足球受力分析，如图所示 足球处于平衡状态，有，，故AB错误； CD．增大绳长，绳子与墙壁夹角变小，由上述分析可知，绳子对球的拉力F变小，墙壁对球支持力FN变小，故C错误，D正确。故选D。 5．如图所示，半径为的光滑半球面固定在水平地面上，定滑轮（半径可忽略）在半球面球心的正上方，的距离为，绕过定滑轮的轻绳一端连接质量为的小球（可视为质点），另一端连接质量为的木块，木块放在粗糙水平地面上，与地面间的动摩擦因数。木块在水平向右的拉力的作用下缓慢向右移动，当、之间的轻绳长为时、之间的轻绳与水平方向的夹角。重力加速度，，，求此时： (1)轻绳对小球的拉力大小； (2)水平向右的拉力的大小。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）分别对小球A和木块B受力分析如图所示 对小球A，处于平衡状态，由相似三角形有 解得 （2）对木块B，处于平衡状态，水平方向有 竖直方向有 又因为 解得 ⏳题型02 平衡中的临界、极值问题 6．（2026·北京汇文中学）如图所示为机械手抓住篮球的照片。为便于研究，将机械手简化为三根“手指”，且不考虑篮球的明显形变。抓取点等距分布在同一水平面内，抓取点与球心的连线与该水平面夹角为，“手指”与篮球间的动摩擦因数为，篮球的重力大小为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．与抓住篮球静止时相比，抓着篮球竖直向上做匀速运动时每根“手指”对篮球的压力一定变大 B．只要“手指”对篮球的压力足够大，不论取何值都能抓住篮球 C．若与的关系满足，则一定能抓住篮球 D．若能缓慢抓起篮球，则每根“手指”对篮球压力的最小值 【答案】D 【解析】A．静止和匀速均为平衡状态，合力为零，所以与抓住篮球静止时相比，抓着篮球竖直向上做匀速运动时每根“手指”对篮球的压力不变，故A错误； BCD．对篮球受力分析，竖直方向满足 因为静摩擦力 解得 所以想要抓起篮球，则每根“手指”对篮球压力的最小值为 且可得夹角α满足 时，才能将篮球抓起，所以 时，一定不能将篮球抓起，故BC错误，D正确。故选D。 7．如图所示，质量为m1、倾角为θ的楔形斜面体放在水平桌面上，质量为m2的小物块恰好能以速度v0沿着斜面匀速下滑，现在小物块上施加一水平恒力F，斜面体始终处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A．若施加F作用后小物块继续下滑，则此时桌面给斜面体的静摩擦力向左 B．若施加F作用后小物块继续下滑，则此时桌面给斜面体的静摩擦力向右 C．只要F足够大，一定能使小物块沿斜面向上匀速运动 D．若在F作用下小物块沿斜面上滑，则桌面给斜面体的摩擦力一定向右 【答案】D 【解析】AB．质量为m2的小物块恰好能以速度v0沿着斜面匀速下滑，根据平衡条件有 解得 斜面对物块的支持力与摩擦力的合力大小等于物块的重力，方向竖直向上，根据牛顿第三定律可知，物块对斜面的压力、摩擦力的合力方向竖直向下。若施加F作用后小物块继续下滑，则有， 结合上述解得 可知，当施加F作用后小物块继续下滑，物块对斜面的压力、摩擦力的合力方向仍然竖直向下，此时斜面体相对应桌面没有运动趋势，则此时桌面给斜面体的静摩擦力为零，故AB错误； C．对物块进行分析，若在F作用下，物块所受摩擦力沿斜面向下，物块仍然处于静止，则有，， 解得 可知，若无论用多大的力F作用，物块均保持静止，即当F趋近于无穷大时，上述表达式仍然成立，则有 由于 则有 即当斜面倾角大于或等于45°时，无论用多大的力F，物块始终处于静止状态，故C错误； D．若在F作用下小物块沿斜面上滑，物块对斜面的摩擦力方向沿斜面向上，物块对斜面的摩擦力与压力的合力方向向左，斜面体在物块的摩擦力与压力作用下相对于地面有向左运动的趋势，则斜面则桌面给斜面体的摩擦力一定向右，故D正确。故选D。 8．（2026·北京清华附中）如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成。已知M始终保持静止，则在此过程中（　　） A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直增大 C．M所受斜面的摩擦力大小可能一直增大 D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增大 【答案】BCD 【解析】AB．物块N所受重力的大小、方向均不变，水平拉力的方向不变，对物块N受力分析并画出各力动态变化的示意图，如图所示 由该图可知，水平拉力一直变大，细绳的拉力也一直变大，故A错误，B正确； CD．对物块M受力分析如图所示 若开始细绳的拉力小于，则物块M所受摩擦力沿斜面向上，有 则随着的增大物块M所受摩擦力减小，若拉力增大到大于，则物块M所受摩擦力沿斜面向下，有 则随着的增大物块M所受摩擦力增大。故M所受斜面的摩擦力可能先减小后增大，也可能一直增大，故CD正确。故选BCD。 9．（2025·北京师大附中）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，拖杆与竖直方向夹角为θ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向施加力的作用。下列说法正确的是（　　） A．若拖把静止，施加的推力大小不变，增大θ，拖把所受摩擦力一定增大 B．用大小不变的推力推动拖把运动时，增大θ，拖把所受摩擦力一定增大 C．若拖把做匀速直线运动，保持拖杆角度不变，沿拖杆方向推动与拉动所需力的比值为 D．当θ小于某一个值时，无论用多大的力推动，都不能使拖把由静止开始运动 【答案】AD 【解析】A．若拖把静止，对其受力分析，由平衡条件，可得 施加的推力大小不变，增大θ，拖把所受摩擦力一定增大，故A正确； B．用大小不变的推力推动拖把运动时，对其受力分析，如图所示， 由平衡条件，可得 根据 联立，解得 增大θ，拖把所受摩擦力一定减小，故B错误； C．若拖把做匀速直线运动，保持拖杆角度不变，设沿拖杆方向推动所需的力为F1，拉动所需力为F2，由平衡条件，可得 ， 联立，解得 故C错误； D．设当θ小于某一个值时，无论用多大的力推动，都不能使拖把由静止开始运动，则有 解得 上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，则有 解得 可知当θ小于某一个值时，无论用多大的力推动，都不能使拖把由静止开始运动，故D正确。故选AD。 10．（2025·北京海淀）如图所示，质量为的木块，恰好能沿倾角为的斜面匀速下滑。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。 (1)求木块与斜面间的动摩擦因数。 (2)木块初始静止在该斜面上。若用平行于斜面向上的力拉木块，拉力从零开始逐渐增大至使木块恰好沿斜面上滑，请通过计算说明在此过程中摩擦力大小和方向的变化情况。 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1）木块沿斜面匀速下滑，根据平衡条件有， 又有 解得动摩擦因数 （2）初始时，斜面向上的拉力 木块静止在斜面上，根据平衡条件有 摩擦力方向沿斜面向上，拉力逐渐增大，木块受力如下图所示 根据平衡条件 因此，逐渐减小；当 时， 拉力再增大，摩擦力方向沿斜面向下，木块受力如下图所示，根据平衡条件有 随增大逐渐增大，当 时，木块恰好开始上滑；由以上分析可知，摩擦力先是沿斜面向上，并逐渐由减小到0，然后改变方向，沿斜面向下，并由0逐渐增大到。 11．国庆节期间一商场举办庆典活动，使用漂浮的氦气球悬挂条幅。该情景简化为如下图所示模型，轻绳的一端与氦气球连接，另一端与放在粗糙地面上的沙袋相连，由于气球受水平风力作用，轻绳与竖直方向成夹角，沙袋保持静止。已知氦气球受到竖直向上的浮力大小为，沙袋的质量为，不计气球重力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，。求： (1)水平风力的大小和细绳拉力的大小； (2)沙袋与地面间的动摩擦因数至少为多大。 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）以氦气球为对象，根据平衡条件可得， 解得， （2）以沙袋为对象，根据平衡条件可得， 又 可得 可知沙袋与地面间的动摩擦因数至少为。 12．倾角、长的固定斜面上放置一质量的物块，物块与斜面间的动摩擦因数。用一方向、大小可调的力作用于物块上。已知重力加速度，。 (1)若，求物块运动的加速度大小； (2)若方向水平向右，则取多少的时候，物块由静止开始从斜面顶端沿斜面到达底端时的速度最大，并求出最大速度； (3)若物块沿斜面向上做匀速运动，求所需施加力的最小值以及与斜面夹角的正弦值。 【答案】(1) (2), (3), 【解析】（1）物块受到的力 根据牛顿第二定律 解得 （2）沿斜面运动，当摩擦力为零时速度最大，则有 得 根据动能定理 解得 （3）沿斜面正交分解有 垂直斜面正交分解有 摩擦力为 解得 设 可得 时，最小，最小值为 方向： 或直接受力分析，夹角为定值，重力恒定，故外力垂直于支持力与摩擦力的合力时，最小，则有 重难·创新演练 设题创新：结合生活化工业(T1);结合教材基础知识(T2、T4);结合生活实际(T3、T5、T6); 结合竞技赛事(T5) 1．▶新角度◀（2026·北京西城·二模）将物块置于粗糙斜面上，当斜面的倾角小于某一值时，物块不会沿斜面下滑，该现象称为斜面自锁现象。普通螺旋千斤顶靠螺纹自锁作用支持重物，其原理与斜面自锁现象相同。如图所示为一个螺旋千斤顶的结构示意图。螺套是一个内部带有螺纹的套筒，固定在底座里。螺旋杆像一根长螺丝，表面有一圈圈连续的螺纹。转动绞杠，带动螺旋杆旋转，螺旋杆就会沿着螺套的螺纹向上或向下直线运动，从而实现顶起或降下重物的功能。若此千斤顶螺套内部横截面的直径为，螺套与螺旋杆之间的螺纹接触面动摩擦因数为（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力），则为了实现自锁功能，相邻螺纹的间距（　　） A．不能大于 B．不能大于 C．不能大于 D．不能小于 【答案】A 【解析】设螺纹的倾角为，相邻螺纹的间距为，根据几何关系有 为了实现自锁功能，需满足 其中 联立可得 故选A。 2． ▶新角度◀A、B两个可看做质点的小球通过轻杆相连，用两条轻绳悬挂于点，稳定时如图所示，过点做一条竖直线，交AB连线于点，为AB连线的中点，则关于A、B两个小球质量、大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】轻杆对两小球弹力大小相等，令该弹力为T，对小球A进行分析，利用相似三角形规律有 解得 对小球B进行分析，利用相似三角形规律有 解得 由于 则有 故选C。 3．▶新角度◀超市内一倾角为θ的倾斜自动扶梯匀速运行，顾客用水平向右的推力F推着质量为m的购物车，使购物车相对扶梯保持静止并随扶梯向上运动，如图所示是其简化示意图。在水平推力F缓慢增大的过程中（购物车仍然相对扶梯静止），下列说法正确的是（ ） A．购物车受到的摩擦力大小保持不变 B．扶梯对购物车的支持力逐渐增大 C．购物车受到的摩擦力方向一定沿扶梯向下 D．推力F与扶梯对车的作用力的合力逐渐增大 【答案】B 【解析】B．对购物车受力分析，购物车受重力、水平推力、扶梯支持力、静摩擦力，四力平衡，建立沿扶梯、垂直扶梯正交坐标系，垂直扶梯方向 推力F增大，则N一定增大，故B正确； AC．沿扶梯方向 F较小时，f可沿扶梯向上；F增大时，f先减小再反向增大，因此摩擦力大小会变化，即摩擦力方向不一定始终沿扶梯向下，故AC错误； D．推力与扶梯作用力的合力与购物车的重力等大反向，大小恒为，保持不变，故D错误。故选B。 4．▶新角度◀如图，放置于粗糙水平面上的半球体P与竖直墙壁之间夹着一个质量为m的刚性球体Q，通过绕过固定于圆心O正上方A点的光滑定滑轮的轻绳对Q施加一拉力F，初始时轻绳与P、Q球心的连线垂直。F从0开始增大，直到Q沿半球面向上运动，再调整F的大小使Q开始沿半球面缓慢上升到半球面的顶点，忽略除地面以外的接触面之间的摩擦力。关于整个过程，下列说法正确的是（ ） A．P对Q的支持力先减小后不变 B．竖直墙壁对Q的弹力先增大后减小为0 C．F先增大后不变 D．地面对P的摩擦力先不变再减小 【答案】A 【解析】ABC．设P对Q的支持力,竖直墙壁对Q的弹力 在Q未离开墙壁前，对小球进行受力分析并构成矢量四边形可得，F增大，减小，减小， Q沿半球面缓慢上升的过程中，如图，根据相似三角形可得，F减小，大小不变，增大，故A正确；BC错误； D．在Q未离开墙壁前，减小，不变，地面对P的摩擦力减小。Q沿半球面缓慢上升的过程中，大小不变，增大，地面对P的摩擦力继续减小，故D错误。故选A。 5．▶新考法◀某“抬杆游戏”挑战的简化模型如图所示。两个质量分别为5m、4m的小球a、b用一根轻直杆连接，小球b静置于水平桌面上，挑战者用涂抹油的手指将小球a由水平位置缓慢抬至竖直位置，整个过程中小球b未与桌面发生滑动。不考虑手指与球间的摩擦，手指对小球a的作用力F始终垂直于杆，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则小球b与桌面间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设杆与水平桌面夹角为，对小球a、b分别受力分析，如图所示 转动过程中，小球a、b均处于平衡状态，对小球a有 对小球b，水平方向平衡得 竖直方向平衡得 又因为 可得 小球b不滑动条件为 即 代入化简可得 令 由基本不等式可得 可得 即的最大值为，故动摩擦因数至少为。故选B。 6．▶新情境◀（2026·广东中山·一模）某同学为研究拉链拉开和拉合的过程，将拉链装置图甲简化为图乙和图丙所示的模型，图乙中代表链牙的滑块在外力作用下，沿水平方向向中间聚拢，将拉头顶起，实现拉链的拉合。图丙中拉头在竖直向下的压力作用下将代表链牙的滑块沿水平方向向左、右方向推开，实现拉链拉开。已知代表拉头的滑块形状为等腰三角形，质量为，顶角的一半为，代表链牙的滑块和与滑块接触面动摩擦因数均为，重力加速度为。拉动过程中与、接触面始终贴合，不计其他摩擦力。 (1)如图乙所示，在某次模拟拉合的过程中，链牙B和C的速度大小为，求此时拉头A上升的速度； (2)如图丙所示，在缓慢拉开的过程中，两侧链牙间始终存在大小为，方向水平的相互作用力。对滑块施加竖直向下的压力，使其沿竖直方向缓慢向下运动距离至接触地面，求此过程中压力做的功。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为滑块和与滑块接触面速度应相同，将速度进行分解可知 化简得 （2）设滑块和与滑块接触面间的压力为，滑块对滑块和的摩擦力为 在缓慢拉开的过程中，与在水平方向上受力始终平衡，所以 因为，代入解得 根据牛顿第二定律，滑块和对滑块有 解得 所以此过程中压力做的功 真题·实战演练 高频考点：平衡中的临界、极值问题 1．（2026·四川·高考）如图所示，球心为、半径为的半球体固定于水平地面，质量为的杂技演员依靠双手支撑竖直倒立在球面上。双手对球面压力的作用点的连线是与地面平行、圆心为的小圆的直径，压力大小均为且不超过（为重力加速度大小）。手与球面间动摩擦因数为，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等。设长为、则（ ） A．时，演员保持平衡状态，大小可能为 B．时，演员可以通过增大往上移动 C．时，演员不可能保持平衡状态 D．演员要保持平衡状态，的最小值为 【答案】AD 【解析】设球心O到单侧手的作用点连线与竖直轴的夹角为，由几何关系得， 演员受力平衡：水平分量抵消，竖直方向两个手的支持力和摩擦力的竖直分量平衡重力，整理得 最大静摩擦力满足 当静摩擦力取最大值时，联立可得 A．时，代入数据解得 由于 可知的范围为 大小可能为，故A正确； B．根据题目分析可知时，演员可以处于平衡状态，在保持平衡状态的前提下，当增大时，静摩擦力变小，合力始终不变，能否上升与N无关，故B错误； C．根据结合题意 当时，解得平衡临界，故C错误； D．根据结合辅助角公式可得 可得的最小值，故D正确。 故选AD。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第09讲 专题：动态平衡问题平衡中的临界、极值问题 (专项训练) 模拟•基础演练 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 答案 B C D D D BCD AD 5.解：(1)分别对小球A和木块B受力分析如图所示 A.2 N R 7777777777777777777777777777777777 mg vmg 对小球A,处于平衡状态，由相似三角形有2R=1.5R 解得T=10N (2)对木块B,处于平衡状态，水平方向有F=∫+TCos6 竖直方向有m8=N+Tsin0 又因为f=W 解得F=20N 10.解：(1)木块沿斜面匀速下滑，根据平衡条件有f=mgsin0,F=mgcos8 又有f=F 解得动摩擦因数μ=tanB (2)初始时，斜面向上的拉力F=0 木块静止在斜面上，根据平衡条件有f=mgsin8 摩擦力方向沿斜面向上，拉力逐渐增大，木块受力如下图所示 1/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1177nwk77777777777777777 mg 根据平衡条件F+f=mngsin0 因此，∫逐渐减小：当F=mgsin8 时，f=0 拉力F再增大，摩擦力方向沿斜面向下，木块受力如下图所示，根据平衡条件有F=mgsin6+∫ FN 个0 777777777777777777 ↓mg ∫随F增大逐渐增大，当∫=mgsin8 时，木块恰好开始上滑：由以上分析可知，摩擦力f先是沿斜面向上，并逐渐由mng sin8减小到0，然 后改变方向，沿斜面向下，并由0逐渐增大到mng sin8。 11.解：(1)以氦气球为对象，根据平衡条件可得Fa=Tsin37°，F#=Tcos37° 解得F=60N,T=100N (2)以沙袋为对象，根据平衡条件可得N=Mg-Tcos37°=100N,f=Tsin37°=60N 又f≤uW 可得1≥0.6 可知沙袋与地面间的动摩擦因数至少为0.6。 12.解：(1)物块受到的力Fal=mgsin8-mgcos0 根据牛顿第二定律a=d 解得a=-2m/s2 214 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 mg 解图1 (2)沿斜面运动，当摩擦力为零时速度最大，则有mgcos6-Fsin0=0 得F=gcos0 0.8 =3× 0.6 4N sine 1 根据动能定理2mv元=mgssin0+Fcos0 解得Vm= gsin+Fcos0 50 0.6 =v10m/s 3 (3)沿斜面正交分解有-mgsin8+E,cosB-F,=0 垂直斜面正交分解有fFw-mgcos6+FsinB=0 摩擦力为F=uF 解得F="mg(ucos0+sine) usinB+cosB 1 设cosa= sina = V2+1 可得F=peost0+sinO mg (ucos0+sine) mg (ucos0+sine) usinβ+cosB +1(sinasinB+cosacosB)+1(cos(a-B)) B=a时，F最小，最小值为F-m8(cos0+sin0) =mgsin (a+0)=65N Vu2+1 方向：snB=sima=5 或直接受力分析，夹角为定值，重力恒定，故外力F垂直于支持力与摩擦力的合力时，F最小，则 有Fmin=mgsin(a+0) 314 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 解图2 重难·创新演练 题号 2 3 4 5 答案 A C B A B 6.解：(I)因为滑块B和C与滑块A接触面速度应相同，将速度进行分解可知Ycos8=sn8 化简得5=cos日 sine (2)设滑块B和C与滑块A接触面间的压力为N,滑块A对滑块B和C的摩擦力为/ 在缓慢拉开的过程中，B与C在水平方向上受力始终平衡，所以Ncos8-fsin8=F。 F 因为f=uN,代入解得N=。 cos0-usine 根据牛顿第二定律，滑块B和C对滑块A有F+Mg=2Vsin0+2fcos0 解得F 2F(sin0+ucos) -Mg cose-usine 2Fh(sin0+ucose 所以此过程中压力做的功W=Fh= .Mgh cos0-usin 真题实战演练 题号 1 答案 AD 414 第09讲 专题：动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题（专项训练） 目 录 巩固·知识解构 1 知识点1 物体的动态平衡问题 1 知识点2 平衡中的临界、极值问题 2 模拟·基础演练 4 题型01 动态平衡的问题 4 题型02 平衡中的临界、极值问题 5 重难·创新演练 10 真题·实战演练 13 巩固·知识解构 知识点1 物体的动态平衡问题 1.动态平衡 （1）所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生__________变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的__________，常利用图解法解决此类问题。 （2）基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。 2.分析动态平衡问题的方法及步骤 方法 步骤 解析法 （1）列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式； （2）根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况 图解法 （1）根据已知量的变化情况，画出平行四边形(三角形)边、角的变化； （2）确定未知量大小、方向的变化 相似三角形法 （1）根据已知条件画出某一状态对应的力的三角形和空间几何三角形，确定对应边，利用三角形相似知识列出比例式； （2）确定未知量大小的变化情况 知识点2 平衡中的临界、极值问题 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等，临界问题常见的种类： （1）由静止到运动，摩擦力达到__________。 （2）绳子恰好绷直，拉力F=__________。 （3）两个接触的物体分离，弹力FN=__________。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的__________和__________问题。 3.解题方法 （1）解析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 （2）图解法：根据平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。 （3）极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。 模拟·基础演练 考查重点：动态平衡的问题、平衡中的临界、极值问题…… ⏳题型01 动态平衡的问题 1．（2026·北京第一五九中学）如图所示，一个重为的物体，用细线悬挂在点，现在用力拉物体，悬线与竖直方向夹角为，保持不变。物体处于静止状态，已知，，在由水平方向沿逆时针转动过程中（　　） A．越来越小 B．细线受力越来越大 C．最小值为 D．细线受力最大值为 2．如图所示，某人骑着平衡车正对圆弧形减速带并缓慢通过，在车轮离开地面爬升至减速带最高点的过程中，车轮受到减速带的摩擦力大小（不计轮胎和减速带的形变）（　　） A．保持不变 B．逐渐减小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 3．如图，一小球静止在竖直墙壁和木板之间。现将木板从图示位置沿顺时针方向缓慢旋转至水平位置，下列说法正确的是（　　） A．小球对墙壁的压力变大，对木板的压力变小 B．小球对墙壁的压力变小，对木板的压力变大 C．小球对墙壁的压力变小，对木板的压力变小 D．小球对墙壁的压力变大，对木板的压力变大 4．（2026·北京顺义一中）如图所示，在光滑竖直墙壁上用轻质网兜把足球挂在A点，足球与墙壁的接触点为B。足球的重力为G，悬绳与墙壁的夹角为，则（ ） A．悬绳对球的拉力F的大小为 B．球对墙壁的压力的大小为 C．若增大悬绳长度，悬绳对球的拉力将增大 D．若增大悬绳长度，墙壁对球的压力将减小 5．如图所示，半径为的光滑半球面固定在水平地面上，定滑轮（半径可忽略）在半球面球心的正上方，的距离为，绕过定滑轮的轻绳一端连接质量为的小球（可视为质点），另一端连接质量为的木块，木块放在粗糙水平地面上，与地面间的动摩擦因数。木块在水平向右的拉力的作用下缓慢向右移动，当、之间的轻绳长为时、之间的轻绳与水平方向的夹角。重力加速度，，，求此时： (1)轻绳对小球的拉力大小； (2)水平向右的拉力的大小。 ⏳题型02 平衡中的临界、极值问题 6．（2026·北京汇文中学）如图所示为机械手抓住篮球的照片。为便于研究，将机械手简化为三根“手指”，且不考虑篮球的明显形变。抓取点等距分布在同一水平面内，抓取点与球心的连线与该水平面夹角为，“手指”与篮球间的动摩擦因数为，篮球的重力大小为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．与抓住篮球静止时相比，抓着篮球竖直向上做匀速运动时每根“手指”对篮球的压力一定变大 B．只要“手指”对篮球的压力足够大，不论取何值都能抓住篮球 C．若与的关系满足，则一定能抓住篮球 D．若能缓慢抓起篮球，则每根“手指”对篮球压力的最小值 7．如图所示，质量为m1、倾角为θ的楔形斜面体放在水平桌面上，质量为m2的小物块恰好能以速度v0沿着斜面匀速下滑，现在小物块上施加一水平恒力F，斜面体始终处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A．若施加F作用后小物块继续下滑，则此时桌面给斜面体的静摩擦力向左 B．若施加F作用后小物块继续下滑，则此时桌面给斜面体的静摩擦力向右 C．只要F足够大，一定能使小物块沿斜面向上匀速运动 D．若在F作用下小物块沿斜面上滑，则桌面给斜面体的摩擦力一定向右 8．（2026·北京清华附中）如图所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成。已知M始终保持静止，则在此过程中（　　） A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直增大 C．M所受斜面的摩擦力大小可能一直增大 D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增大 9．（2025·北京师大附中）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，拖杆与竖直方向夹角为θ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向施加力的作用。下列说法正确的是（　　） A．若拖把静止，施加的推力大小不变，增大θ，拖把所受摩擦力一定增大 B．用大小不变的推力推动拖把运动时，增大θ，拖把所受摩擦力一定增大 C．若拖把做匀速直线运动，保持拖杆角度不变，沿拖杆方向推动与拉动所需力的比值为 D．当θ小于某一个值时，无论用多大的力推动，都不能使拖把由静止开始运动 10．（2025·北京海淀）如图所示，质量为的木块，恰好能沿倾角为的斜面匀速下滑。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为。 (1)求木块与斜面间的动摩擦因数。 (2)木块初始静止在该斜面上。若用平行于斜面向上的力拉木块，拉力从零开始逐渐增大至使木块恰好沿斜面上滑，请通过计算说明在此过程中摩擦力大小和方向的变化情况。 11．国庆节期间一商场举办庆典活动，使用漂浮的氦气球悬挂条幅。该情景简化为如下图所示模型，轻绳的一端与氦气球连接，另一端与放在粗糙地面上的沙袋相连，由于气球受水平风力作用，轻绳与竖直方向成夹角，沙袋保持静止。已知氦气球受到竖直向上的浮力大小为，沙袋的质量为，不计气球重力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，。求： (1)水平风力的大小和细绳拉力的大小； (2)沙袋与地面间的动摩擦因数至少为多大。 12．倾角、长的固定斜面上放置一质量的物块，物块与斜面间的动摩擦因数。用一方向、大小可调的力作用于物块上。已知重力加速度，。 (1)若，求物块运动的加速度大小； (2)若方向水平向右，则取多少的时候，物块由静止开始从斜面顶端沿斜面到达底端时的速度最大，并求出最大速度； (3)若物块沿斜面向上做匀速运动，求所需施加力的最小值以及与斜面夹角的正弦值。 重难·创新演练 设题创新：结合生活化工业(T1);结合教材基础知识(T2、T4);结合生活实际(T3、T5、T6); 结合竞技赛事(T5) 1．▶新角度◀（2026·北京西城·二模）将物块置于粗糙斜面上，当斜面的倾角小于某一值时，物块不会沿斜面下滑，该现象称为斜面自锁现象。普通螺旋千斤顶靠螺纹自锁作用支持重物，其原理与斜面自锁现象相同。如图所示为一个螺旋千斤顶的结构示意图。螺套是一个内部带有螺纹的套筒，固定在底座里。螺旋杆像一根长螺丝，表面有一圈圈连续的螺纹。转动绞杠，带动螺旋杆旋转，螺旋杆就会沿着螺套的螺纹向上或向下直线运动，从而实现顶起或降下重物的功能。若此千斤顶螺套内部横截面的直径为，螺套与螺旋杆之间的螺纹接触面动摩擦因数为（最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力），则为了实现自锁功能，相邻螺纹的间距（　　） A．不能大于 B．不能大于 C．不能大于 D．不能小于 2． ▶新角度◀A、B两个可看做质点的小球通过轻杆相连，用两条轻绳悬挂于点，稳定时如图所示，过点做一条竖直线，交AB连线于点，为AB连线的中点，则关于A、B两个小球质量、大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 3．▶新角度◀超市内一倾角为θ的倾斜自动扶梯匀速运行，顾客用水平向右的推力F推着质量为m的购物车，使购物车相对扶梯保持静止并随扶梯向上运动，如图所示是其简化示意图。在水平推力F缓慢增大的过程中（购物车仍然相对扶梯静止），下列说法正确的是（ ） A．购物车受到的摩擦力大小保持不变 B．扶梯对购物车的支持力逐渐增大 C．购物车受到的摩擦力方向一定沿扶梯向下 D．推力F与扶梯对车的作用力的合力逐渐增大 4．▶新角度◀如图，放置于粗糙水平面上的半球体P与竖直墙壁之间夹着一个质量为m的刚性球体Q，通过绕过固定于圆心O正上方A点的光滑定滑轮的轻绳对Q施加一拉力F，初始时轻绳与P、Q球心的连线垂直。F从0开始增大，直到Q沿半球面向上运动，再调整F的大小使Q开始沿半球面缓慢上升到半球面的顶点，忽略除地面以外的接触面之间的摩擦力。关于整个过程，下列说法正确的是（ ） A．P对Q的支持力先减小后不变 B．竖直墙壁对Q的弹力先增大后减小为0 C．F先增大后不变 D．地面对P的摩擦力先不变再减小 5．▶新考法◀某“抬杆游戏”挑战的简化模型如图所示。两个质量分别为5m、4m的小球a、b用一根轻直杆连接，小球b静置于水平桌面上，挑战者用涂抹油的手指将小球a由水平位置缓慢抬至竖直位置，整个过程中小球b未与桌面发生滑动。不考虑手指与球间的摩擦，手指对小球a的作用力F始终垂直于杆，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则小球b与桌面间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 6．▶新情境◀（2026·广东中山·一模）某同学为研究拉链拉开和拉合的过程，将拉链装置图甲简化为图乙和图丙所示的模型，图乙中代表链牙的滑块在外力作用下，沿水平方向向中间聚拢，将拉头顶起，实现拉链的拉合。图丙中拉头在竖直向下的压力作用下将代表链牙的滑块沿水平方向向左、右方向推开，实现拉链拉开。已知代表拉头的滑块形状为等腰三角形，质量为，顶角的一半为，代表链牙的滑块和与滑块接触面动摩擦因数均为，重力加速度为。拉动过程中与、接触面始终贴合，不计其他摩擦力。 (1)如图乙所示，在某次模拟拉合的过程中，链牙B和C的速度大小为，求此时拉头A上升的速度； (2)如图丙所示，在缓慢拉开的过程中，两侧链牙间始终存在大小为，方向水平的相互作用力。对滑块施加竖直向下的压力，使其沿竖直方向缓慢向下运动距离至接触地面，求此过程中压力做的功。 真题·实战演练 高频考点：平衡中的临界、极值问题 1．（2026·四川·高考）如图所示，球心为、半径为的半球体固定于水平地面，质量为的杂技演员依靠双手支撑竖直倒立在球面上。双手对球面压力的作用点的连线是与地面平行、圆心为的小圆的直径，压力大小均为且不超过（为重力加速度大小）。手与球面间动摩擦因数为，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等。设长为、则（ ） A．时，演员保持平衡状态，大小可能为 B．时，演员可以通过增大往上移动 C．时，演员不可能保持平衡状态 D．演员要保持平衡状态，的最小值为 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $