2026-2027学年九年级上学期沪教版五四制期中自编测试（上海专用）

2026-2027学年九年级上册沪教版五四制期中自编测试 （上海专用）原卷版 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）第27-28章 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 大小不变 D. 不能确定 2. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线y=2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（　　） A. y=2x2+3 B. y=2x2﹣3 C. y=2（x+3）2 D. y=2（x﹣3）2 4. 如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（ ） A. 该函数的图象关于轴对称 B. 该函数的图象没有最低点也没有最高点 C. 该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D. 沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 6．如图，在中，点D在边上，点E在线段上，点F，G在边上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 如果，那么的值为______． 8. 如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为_________________． 9.如果抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线________． 10.. 已知在中，点、分别是边、上的一点，，，要使，那么______． 11. 已知二次函数的图像开口向上，点和点是该抛物线上的两点，那么______．（填“”、“”或“”） 12. 如果线段的长为2，点是线段的黄金分割点，那么较短的线段______． 13.如图，在中，，，点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点，如果，那么 ． 14. 点分别在的边上，如果，那么______时，． 15. 如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是________． 16. 如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于_________． 17. 如图，已知正方形与正方形，为边上一点，的延长线交于点，如果，连接，那么______． 18. 如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为______． 三、解答题：（本大题共7题，19,20,21，22题每题10分，23，24题每题12分，25题14分，满分78分） 19.知抛物线（）经过点、点、点． （1）求此抛物线的表达式； （2）将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 20．如图，已知在四边形中，，， 对角线、相交于点O，，，． (1)求的面积； (2)求AF:AC． 21.（2026·上海杨浦·二模）已知二次函数经过点；； (1)直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． (2)设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 22. 定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米． （1）当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） （2）在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 23. 如图，在中，点D、G在边上，点E在边上，，交于点F，． （1）求证：； （2）当时，求证：． 24.已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为点D．    (1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果，求点P的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线的距离相等，求线段的长． 25.如图，在□ABCD中，E为边BC的中点，F为线段AE上一点，联结BF并延长交边AD于点G，过点G作AE的平行线，交射线DC于点H.设． （1）当时，求的值； （2）设，求关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；A B C D E F G H （3）当时，求x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册沪教版五四制期中自编测试 （上海专用）解析版 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）第27-28章 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 大小不变 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变， ∴的正弦值不变， 故选：C ． 2. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】形如y=ax2+bx+c（a≠0），a，b，c是常数的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b称为一次项系数，c为常数项，x为自变量，y为因变量，据此解题． 【详解】A．右边不是整式，不是二次函数，故A错误； B． 右边是二次根式，不是整式，不是二次函数，故B错误； C．是二次函数，故C正确； D．是一次函数，故D错误， 故选：C． 3. 将抛物线y=2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（　　） A. y=2x2+3 B. y=2x2﹣3 C. y=2（x+3）2 D. y=2（x﹣3）2 【答案】D 【解析】 【分析】先确定抛物线的顶点坐标是坐标原点，然后根据向右平移，横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据平移变换不改变图形的形状，利用顶点式形式写出即可． 【详解】抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0）， ∵向右平移3个单位 ∴平移后的顶点坐标为（3，0）， ∴平移后的抛物线解析式为y＝2（x－3）2． 故选D． 4. 如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 【详解】解：在三角形纸片中，，，． A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； 故选：A． 5. 在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（ ） A. 该函数的图象关于轴对称 B. 该函数的图象没有最低点也没有最高点 C. 该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D. 沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由表格法判断函数的图象，根据时，；时，，可得对称轴为直线，可判断；由当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值，可判断；由可知，可判断；由函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，可判断，据此即可求解，看懂表格中的数值是解题的关键． 【详解】解：、∵时，；时，， ∴对称轴为直线，故选项错误； 、由表可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值， ∴该函数的图象有最低点没有最高点，故选项错误； 、∵， ∴， ∴该函数的图像经过三、四象限，不经过第一、二象限，故选项错误； 、∵函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小， ∴沿轴的正方向看，该函数的图像在对称轴左侧的部分是下降的，故选项正确； 故选：． 6．如图，在中，点D在边上，点E在线段上，点F，G在边上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．根据题意得出，再逐个判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∴，故A不正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴，故B不正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴，则， 当时，，故C不正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴，故D正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 如果，那么的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：2． 8. 如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意得：；再根据角平分线的性质，通过证明，即可得到答案． 【详解】如图，，的角平分线交BC于点N，交PQ于点M ∴ ∵和周长比为 ∴ ∵的角平分线交BC于点N，交PQ于点M ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、角平分线的性质，从而完成求解． 9.如果抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性得对称轴为直线． 【详解】∵抛物线经过点和， ∴该抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 【点睛】此题考查抛物线的对称性，掌握抛物线的性质是解题的关键． 10.. 已知在中，点、分别是边、上的一点，，，要使，那么______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能灵活运用平行线分线段成比例的性质得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例即可得出答案． 【详解】解：当时， 故答案为∶6． 11. 已知二次函数的图像开口向上，点和点是该抛物线上的两点，那么______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数的图象与性质可知抛物线对称轴为直线，结合二次函数的图象开口向上可知，当时随的增大而减小，然后由即可得出答案． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 二次函数的图像开口向上， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 12. 如果线段的长为2，点是线段的黄金分割点，那么较短的线段______． 【答案】 【解析】 【分析】设较短的线段，则，根据黄金分割点的性质列方程并求解，即可得到答案． 【详解】设较短的线段 ∵的长为2 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴或（经检验均为方程的根） ，故舍去 ∵ ∴ ∴较短的线段 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解． 13.如图，在中，，，点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点，如果，那么 ． 【答案】 【分析】此题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证明是解答本题的关键． 由平行四边形的性质得，则，所以，而，，，则，所以，即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ， 点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 14. 点分别在的边上，如果，那么______时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质、平行线的判定解答即可． 【详解】解：当，， ， ， 若,可推导出, , , , , 故答案为： ． 15. 如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 设交于点I，由矩形的边在的边上，顶点D、G分别在、上，得，则，由矩形的长是宽的2倍，得，由是的高，得，，则，由，得，而，，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点I， 矩形的边在的边上，顶点D、G分别在、上， ， ， 矩形的长是宽的2倍， ， 是的高， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， 解得， 的长度是， 故答案为：． 16. 如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】先延长BG交AC与点D，再根据重心的性质得出BD=3；证∆ADG∆CDG，得出BD⊥AC，再利用勾股定理求出AB的长． 【详解】解：（如图）延长BG交AC与点D， ∵点G为△ABC的重心，BG=2, ∴AD=CD，BD=3， 又∵AG＝CG，GD=GD， ∴∆ADG∆CDG， ∴∠ADG=∠CDG， ∴BD⊥AC， ∵AC＝4， ∴AD=2， ∴AB= ==， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，三角形全等和勾股定理，正确做出辅助线，求出BD、AD的长以及证明∆ADG∆CDG是解决本题的关键． 17. 如图，已知正方形与正方形，为边上一点，的延长线交于点，如果，连接，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先用含、的代数式表示出和，证明，得到，即，化简得，设，化简得到关于的一元二次方程，解出的值，即得到的值，再由，代入数据即可解答． 【详解】解：连接，如图： 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， ， 两边同除以得：， 令，则， ， ， ，即， 解得：， ， ， 即， ， 故答案为：． 18. 如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作交于，设 由三角形的周长关系可得：再证明：利用相似三角形的性质求解再证明：可得：再解方程组可得答案． 【详解】解：如图，过作交于， 设 为的中点， 即： 解得：或， 经检验：不合题意，舍去， 故答案为： 【点睛】本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，19,20,21，22题每题10分，23，24题每题12分，25题14分，满分78分） 19.知抛物线（）经过点、点、点． （1）求此抛物线的表达式； （2）将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 【答案】（1） （2）向左平移4个单位，再向上平移3个单位 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式； （2）先将原抛物线化为顶点式，求得顶点坐标，然后根据平移的特点，即可写出平移的方法． 【小问1详解】 解：抛物线经过点、点、点． ， 解得， 即该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， 抛物线的顶点为， 的顶点移动到点的位置， 抛物线应向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 故答案为：向左平移4个单位，向上平移3个单位长度． 20．如图，已知在四边形中，，， 对角线、相交于点O，，，． (1)求的面积； (2)求AF:AC． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查解直角三角形 （1）可过点作的平行线，借助于相似三角形的性质求出边上的高即可解决问题． （2）过点作边的垂线，借助于面积法求出垂线段的长即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作的平行线，分别与，交于点，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，． ， ， ， 又， ，， ． （2）解：在中， ． 过点作的垂线，垂足为，过点作垂线，垂足为， 在中， ． ， ． 在中， ． 21.（2026·上海杨浦·二模）已知二次函数经过点；； (1)直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． (2)设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 【答案】(1)二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 (2)的面积为3，的周长为 【分析】（1）运用待定系数法，将点；；依次代入二次函数解析式，解得，从而得到二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势； （2）先根据题意求出，，，画出函数图象，过点C作轴，过点A作交延长线于点F，然后根据几何图形性质及勾股定理求得的面积与周长． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点；；， ∴将点；；依次代入二次函数解析式， 可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 对称轴为直线，即对称轴为直线， ∵， ∴二次函数顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （2）解：∵该二次函数图象与x轴交于点A， ∴对于，令， 解得：，， ∵点A在抛物线的右侧， ∴， ∵该二次函数图象与y轴交于点B， ∴对于，令， 解得：， ∴， ∵顶点为C， ∴， 如图，过点C作轴，过点A作交延长线于点F， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ， ， ∴； 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴的周长为：， ∴的面积为3，的周长为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，准确理解相关定义是解题的关键． 22. 定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米． （1）当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） （2）在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 【答案】（1）的长是10米 （2） 不同意．理由如下： 作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点， 由题意，可得：，， ∵自动扶梯的坡度是， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点不是自动扶梯上的最佳视野点． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角． （1）连接，由题意得，，，设为，则为，根据点H恰好是屏幕的最佳视野点列方程求出x即可解答； （2）作的垂直平分线交于，交于点，分别延长与交于点，分别求出，，，计算得出，从而判断点不是屏幕的最佳视野点． 【小问1详解】 解：如图，连接， 由题意得，，，， 设，则，， ∵点恰好是屏幕的最佳视野点， ∴， ∴， 解得：（舍去），， ∴（米）， ∴（米）， ∴的长是10米； 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，点D、G在边上，点E在边上，，交于点F，． （1）求证：； （2）当时，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由等边对等角，得，由平行，得，进而，于是； （2）由，得，可证得，进而证得，于是，可证，从而，得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查相似三角形判定和性质，平行线分线段成比例定理，平行线的性质；运用相似三角形得到比例线段是解题的关键． 24.已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为点D．    (1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果，求点P的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线的距离相等，求线段的长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线，即可得出其表达式； （2）令，确定，设点，，则)，根据题意得出一元二次方程求解即可； （3）由（2）得：，确定，利用待定系数法确定直线的解析式分别为：，，再由等腰三角形的判定和性质及一次函数的性质确定点F的坐标，即可求解． 【详解】（1）将点代入抛物线，得 将点代入抛物线，得 ∴抛物线的解析式为：； ∴， ∴顶点的坐标为； （2）解：令得， ∴或 ∴， 设点，，则)，如图所示：    ∴，， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； （3）由（2）得：， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式分别为：，， 将点代入得：，， 解得：，， ∴直线的解析式分别为：，，    ∴直线与y轴的交点分别为， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， ∵点F到直线的距离相等，且点F在y轴上， ∴点F为的角平分线及高线，即直线与y轴的交点， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数确定函数解析式，线段相等问题及一次函数的性质，理解题意，作出相应图象，综合运用这些知识点是解题关键． 25.如图，在□ABCD中，E为边BC的中点，F为线段AE上一点，联结BF并延长交边AD于点G，过点G作AE的平行线，交射线DC于点H.设． （1）当时，求的值； （2）设，求关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；A B C D E F G H （3）当时，求x的值． 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）（）； （3）或2． 【解析】（1）在□ABCD中，AD = BC，AD // BC，∴， ∵x = 1，即，∴，∴AD = AB，AG = BE； ∵E为BC的中点，∴，∴，即． （2）∵，∴不妨设AB = 1，则AD = x，， ∵AD // BC，∴，∴，； ∵GH // AE，∴，∵AD // BC，∴，∴； 在□ABCD中，，∴∽，∴， ∴，∴（）． （3）当点H在边DC上时，∵DH = 3HC，∴，∴， ∵∽，∴，∴，解得：； ②当H在DC的延长线上时，∵DH = 3HC，∴，∴， ∵∽，∴，∴，解得：； 综上所述，可知的值为或2． 【总结】本题主要考查相似三角形的性质与判定的运用，注意要分类讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册沪教版五四制期中自编测试 （上海专用）原卷版 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）第27-28章 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 大小不变 D. 不能确定 2. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线y=2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（　　） A. y=2x2+3 B. y=2x2﹣3 C. y=2（x+3）2 D. y=2（x﹣3）2 4. 如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（ ） A. 该函数的图象关于轴对称 B. 该函数的图象没有最低点也没有最高点 C. 该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D. 沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 6．如图，在中，点D在边上，点E在线段上，点F，G在边上，且，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 如果，那么的值为______． 8. 如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为_________________． 9.如果抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线________． 10.. 已知在中，点、分别是边、上的一点，，，要使，那么______． 11. 已知二次函数的图像开口向上，点和点是该抛物线上的两点，那么______．（填“”、“”或“”） 12. 如果线段的长为2，点是线段的黄金分割点，那么较短的线段______． 13.如图，在中，，，点在边上，连接并延长，与的延长线相交于点，如果，那么 ． 14. 点分别在的边上，如果，那么______时，． 15. 如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是________． 16. 如图，点G为△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的长等于_________． 17. 如图，已知正方形与正方形，为边上一点，的延长线交于点，如果，连接，那么______． 18. 如图，ABC中，AB=10，BC=12，AC=8，点D是边BC上一点，且BD：CD=2：1，联结AD，过AD中点M的直线将ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为______． 三、解答题：（本大题共7题，19,20,21，22题每题10分，23，24题每题12分，25题14分，满分78分） 19.知抛物线（）经过点、点、点． （1）求此抛物线的表达式； （2）将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点的位置，那么平移的方法是_______． 20．如图，已知在四边形中，，， 对角线、相交于点O，，，． (1)求的面积； (2)求AF:AC． 21.（2026·上海杨浦·二模）已知二次函数经过点；； (1)直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． (2)设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 22. 定义：如图1，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当时，称点是线段的最佳视野点．如图2，某商业广场上安装了一块巨型显示屏，点到水平地面的距离为5米，在水平地面的处有一个自动扶梯，点、、在同一直线上．已知自动扶梯的坡度是，点到点的距离是10米． （1）当行人行走在水平地面时，发现点恰好是屏幕的最佳视野点，且从点测得点的仰角为．求的长；（忽略行人的高度） （2）在（1）的条件下，如果要在自动扶梯上找到屏幕的最佳视野点，有人说“最佳视野点就是屏幕的垂直平分线与的交点”．你同意这个说法吗？请通过计算说明理由．（忽略行人的高度） 23. 如图，在中，点D、G在边上，点E在边上，，交于点F，． （1）求证：； （2）当时，求证：． 24.已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为点D．    (1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标； (2)点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，如果，求点P的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，点F在y轴上，且点F到直线的距离相等，求线段的长． 25.如图，在□ABCD中，E为边BC的中点，F为线段AE上一点，联结BF并延长交边AD于点G，过点G作AE的平行线，交射线DC于点H.设． （1）当时，求的值； （2）设，求关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；A B C D E F G H （3）当时，求x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $