2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学第一学期期中数学检测卷（上海专用）

2026-2027学年九年级第一学期数学期中检测卷 （上海专用）（原卷版） （建议用时：100分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章，第二章 1、 选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．如图，已知，，那么下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 2．下列关于的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，、相交于点O，点E、F分别在、上，且，如果，那么下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 4．如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 5．已知抛物线（、、为常数，且）与轴交于，两点，且点在直线的下方，则下列说法正确的是（     ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 6．我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD中，ADBC，AD＝1，BC＝2，E、F分别是边AB、CD上的点，且EFBC，如果四边AEFD与四边形EBCF相似，那么的值是_____． 7．已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是______． 8．如图，已知ADBECF．如果，，，那么AC的长是 _____． 9．已知，甲、乙两地的实际距离是100千米，则在比例尺为的地图上，甲、乙两地的距离约为______厘米． 10．已知抛物线、直线，若对于任意的x的值，恒成立，则m的值为________． 11．已知点是线段的黄金分割点，，则_____. 12．设是四边形的对角线、的交点，若，且，，，，则______． 13．点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 14．如图，C、D是线段的两个黄金分割点，且，则线段的长为___________ ． 15．将一张平行四边形纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形相似，则平行四边形的相邻两边与的比值是______． 16．从这20个整数中，每次取3个数，组成一个有序实数组，使b为a，c的比例中项，则不同的有序实数组共有________组． 17．如图，在中，，，，E为边的中点，连接，将沿折叠得到，交于点O，连接．则的值为______．    三、填空题（本大题共7题，第17-19题每题8分，第20-23题每题12分，第24题14分，满分86分） 18．在直角坐标系中，设函数（，是常数，）． (1)已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． (2)若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． 19．一个二次函数． （1）求k的值． （2）求当x=3时，y的值？ 20．已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 21．（1）如图1，在矩形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图2，在中，，，，E为边上一点(点E不与点A、B重合)，连接，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？ 22．如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 23．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）． 24．抛物线与 轴相交于两点 (点在点左侧), 与轴交于点, 其顶点的纵坐标为 4． （1）求该抛物线的表达式； （2）求 的正切值； （3）点在线段的延长线上, 且 , 求 的长． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级第一学期数学期中检测卷 （上海专用）（解析版） 1．B 【难度】0.94 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解并掌握平行线分线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据平行线分线段成比例的计算方法得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A、∵的值不确定，无法比较，故原选项不正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴，故该选项正确，符合题意； C、∵的值不确定，故原选项错误，不符合题意； D、∵的值不确定，故原选项错误，不符合题意； 故选：B ． 2．C 【难度】0.85 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义判断解答即可． 【详解】∵中x的指数是1， ∴是一次函数， ∴A选项不符合题意； ∵中x的指数是-1， ∴是反比例函数， ∴B选项不符合题意； ∵中x的指数是2，且是整式， ∴是二次函数， ∴C选项符合题意； ∵不是二次函数， ∴D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义，从指数，表达式的整式性两个角度思考是解题的关键． 3．B 【难度】0.65 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用平行线分线段成比例与相似三角形的判定与性质逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，而， ∴，故A不符合题意； ∵，而， ∴，故B符合题意； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； ∴，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键． 4．C 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏． 根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程组，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 5．A 【难度】0.4 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】先求出直线与x轴的交点，根据点B在直线下方得出B点横坐标的范围，进而得到抛物线对称轴的位置，再判断各选项说法即可． 【详解】解：令直线中，得， 即直线与x轴交点为． 点是抛物线与x轴的交点， 点的纵坐标为，设， 点在直线下方， ，即． 抛物线与x轴交于，两点， 抛物线对称轴为直线. ， ，即对称轴在y轴左侧， 抛物线顶点的横坐标小于， 第四象限内点的横坐标大于， 抛物线的顶点不可能在第四象限，A选项说法正确； 的正负不确定， 抛物线开口方向无法确定，B选项说法错误； 联立抛物线与直线解析式，整理得， 其判别式， 当时，的符号不确定，交点个数不确定，C选项说法错误； 抛物线对称轴在y轴左侧， 对称轴不可能在y轴右侧，D选项说法错误． 6． 【难度】0.85 【知识点】相似多边形的性质、梯形 【分析】根据相似多边形的性质得出=，把AD=1和BC=2代入求出EF，再根据相似多边形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵四边AEFD与四边形EBCF相似， ∴， ∵AD=1，BC=2， ∴， 解得：EF=， ∵四边AEFD与四边形EBCF相似， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了梯形和相似多边形的性质，能根据相似多边形的性质得出比例式是解此题的关键． 7．/ 【难度】0.85 【知识点】相似多边形的性质 【分析】设第二个矩形较长的一边长是a，根据相似多边形的性质得出，再求出a即可． 【详解】解：设第二个矩形较长的一边长是a， ∵两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4， ∴， 解得∶， 即第二个矩形较长的一边长是， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，能熟记相似多边形的性质（相似多边形的对应边的比相等）是解此题的关键． 8．6.4/ 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例，列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2， ∴， 解得， ∴． 故答案为：6.4． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用列出正确的比例式． 9．2 【难度】0.85 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段， 能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题． 根据实际距离×比例尺=图上距离，代入数据计算即可． 【详解】解：100千米厘米， 厘米， 故答案为：2． 10．0 【难度】0.65 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查二次函数与不等式（组），掌握二次函数的性质是解题关键．由题意可得出，设，改为顶点式为，即可得出，则说明恒成立，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 整理，得：． 设， ∴． ∵恒成立， ∴恒成立， 解得：． 故答案为：0． 11．/ 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割点的定义，设，表示出和，利用列出方程，解方程即可． 【详解】解：设， 由于点是线段的黄金分割点，且，即， 则， ， 由，得 ， ， ， ， ， ， ， 故． 故答案为：． 12． 【难度】0.65 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点O作，交于E，先证明，得到，即，求得，再证明，得到，即，求得，进而求得，最后根据，得代入、值即可求解． 【详解】解：如图，过点O作，交于E， ， ， ， ， ∵， ， ∵， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13．/ 【难度】0.79 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割的定义求出的长度，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 14．/ 【难度】0.65 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割点的定义，知较长的线段=总线段的，可得和的长，则即可求得． 【详解】设线段， ∵C、D是线段的两个黄金分割点， ∴较长线段， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较长的线段=总线段的倍． 15．或 【难度】0.4 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用平行四边形的性质求解、相似多边形的性质 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质，根据题意，正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，设． 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∵剩下的平行四边形与原来平行四边形相似， ∴对应边成比例， 分两种情况讨论： ①， ∴， 设，分子分母同时除以，得：， 解得：； ②， ， 设，则：， 解得：， 两个答案都满足， 综上：平行四边形的相邻两边与的比值是或． 故答案为：或． 16．22 【难度】0.4 【知识点】成比例线段 【分析】根据比例中项的概念，依此找出不同的有序实数组共有多少组． 【详解】解：当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组， 当时，不同的有序实数组有6组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组，一共22组． 17． 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、折叠问题 【分析】勾股定理求出的长，得到，中点，得到，折叠，得到，，过点作于点，证明，得到，在中，勾股定理，求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵E为边的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， 过点作于点，    则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， 在中：，即：， 解得：或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形以及相似三角形． 18．(1) (2) ∵， ∴顶点， ∵图象的顶点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 【难度】0.65 【知识点】正比例函数的性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的综合应用．理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键．（1）将和代入函数表达式，解方程组即可；（2）先得出函数顶点坐标，代入化简，即可得出结论． 【详解】（1）∵函数图象经过点和， ∴， 解得 ， ∴； （2）略 19．（1）k=2；（2）14 【难度】0.85 【知识点】求自变量的值或函数值、根据二次函数的定义求参数 【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可； （2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x=3求解即可． 【详解】解：（1）依题意有， 解得：k=2， ∴k的值为2； （2）把k=2代入函数解析式中得：， 当x=3时，y=14， ∴y的值为14． 【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键． 20．(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】相似多边形的性质 【分析】（1）根据多边形相似的性质：对应角相等，求解即可； （2）根据多边形相似的性质：对应边成比例，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴； （2）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 21．（1）①证明：由题意得， ∴， ∴， ∴． ②；（2）或2． 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题关键． （1）①根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可；②利用相似三角形对应边成比例求解即可； （2）由等腰直角三角形的性质，得到，证明，得到，由为等腰三角形且，可分别两种情况讨论：和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）①略 ②解：∵， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且， 若，则 ∴； 若，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或2． 22．(1) 证明：如图，连接， 设正方形的边长为，则． 在中，， 则． 设，则， 在和中， 有， 即， 解得， 即点P是的黄金分割点()； (2) 方法如图所示: 第一步：对折矩形纸片,使与重合，得到折痕，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，落点为点，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到线段.则 【难度】0.65 【知识点】折叠问题、黄金分割 【分析】本题考查折叠作图，黄金分割点的定义，勾股定理，掌握黄金分割的比值是解题的关键． （1）先运用勾股定理得到，然后在和中，运用解题计算即可证明； （2）先对折矩形，然后再折叠，使得点落在第一次的折痕上，即可得到角． 【详解】（1）略 （2）略 23．(1)； (2)①存在，；②． 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了二次函数综合，合理运用待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定与性质是本题解题的关键． （1）根据三角函数的定义，求出点坐标，将，坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）①延长交轴于，在直线上取点，在上方，由对顶角相等可知，，由三角形外角的性质可知，，再根据两个坐标轴垂直可知，，从而得解． ②因为和等高，所以它们的面积比就是底边和的比，先用待定系数法求出直线和的表达式，联立求出的坐标，从而得解； 【详解】（1）解：， ， ， ， 在的正半轴， ， ， 将点坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ∴； （2）解：①存在， 延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图： ， ， ， ， 又， ， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入表达式得：， ， 直线的表达式为：， 联立直线和抛物线解析式得：， 解得：，， ． ②设直线的表达式为：， 将点坐标代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， 的横坐标为， ， 令抛物线，得：， 解得：，， ， 设直线的表达式为：， 代入 ∴， ∴， ∴直线的表达式为：， 将点坐标代入直线的表达式得：， ， 直线的表达式：， 联立直线和的表达式： ， 解得：， ∴点横坐标为， ∵与的比值和他们之间水平距离的比值相等， ， 和等高， ． 24．（1）抛物线的表达式为；（2）；（3） 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、求抛物线与x轴的交点坐标、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）点代入即可得出c的值，再根据点D的纵坐标得出a的值，由此得出点D的坐标； （2）过点B作，求出交点坐标，得出，；由面积公式列出方程计算出BE、EC的长度，即可得出 的正切值； （3）过点D作轴，过点A作，得出；证明，根据相似比得出NB、NA的长度，根据线段加减推论出CF的长度． 【详解】解：（1）把点代入得： 当时， 顶点的纵坐标为 4． 故抛物线的表达式为 （2）过点B作交于E点， 令 则     故，          （3）过点D作轴，过点A作，              当点F在CB延长线上，F只能在第四象限，故 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质，解题关键是确定出抛物线解析式，是一道中等难度的中考常考题． 1．B 【难度】0.94 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解并掌握平行线分线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据平行线分线段成比例的计算方法得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A、∵的值不确定，无法比较，故原选项不正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴，故该选项正确，符合题意； C、∵的值不确定，故原选项错误，不符合题意； D、∵的值不确定，故原选项错误，不符合题意； 故选：B ． 2．C 【难度】0.85 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义判断解答即可． 【详解】∵中x的指数是1， ∴是一次函数， ∴A选项不符合题意； ∵中x的指数是-1， ∴是反比例函数， ∴B选项不符合题意； ∵中x的指数是2，且是整式， ∴是二次函数， ∴C选项符合题意； ∵不是二次函数， ∴D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义，从指数，表达式的整式性两个角度思考是解题的关键． 3．B 【难度】0.65 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】利用平行线分线段成比例与相似三角形的判定与性质逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，而， ∴，故A不符合题意； ∵，而， ∴，故B符合题意； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； ∴，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键． 4．C 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏． 根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程组，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 5．A 【难度】0.4 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】先求出直线与x轴的交点，根据点B在直线下方得出B点横坐标的范围，进而得到抛物线对称轴的位置，再判断各选项说法即可． 【详解】解：令直线中，得， 即直线与x轴交点为． 点是抛物线与x轴的交点， 点的纵坐标为，设， 点在直线下方， ，即． 抛物线与x轴交于，两点， 抛物线对称轴为直线. ， ，即对称轴在y轴左侧， 抛物线顶点的横坐标小于， 第四象限内点的横坐标大于， 抛物线的顶点不可能在第四象限，A选项说法正确； 的正负不确定， 抛物线开口方向无法确定，B选项说法错误； 联立抛物线与直线解析式，整理得， 其判别式， 当时，的符号不确定，交点个数不确定，C选项说法错误； 抛物线对称轴在y轴左侧， 对称轴不可能在y轴右侧，D选项说法错误． 6． 【难度】0.85 【知识点】相似多边形的性质、梯形 【分析】根据相似多边形的性质得出=，把AD=1和BC=2代入求出EF，再根据相似多边形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵四边AEFD与四边形EBCF相似， ∴， ∵AD=1，BC=2， ∴， 解得：EF=， ∵四边AEFD与四边形EBCF相似， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了梯形和相似多边形的性质，能根据相似多边形的性质得出比例式是解此题的关键． 7．/ 【难度】0.85 【知识点】相似多边形的性质 【分析】设第二个矩形较长的一边长是a，根据相似多边形的性质得出，再求出a即可． 【详解】解：设第二个矩形较长的一边长是a， ∵两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4， ∴， 解得∶， 即第二个矩形较长的一边长是， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，能熟记相似多边形的性质（相似多边形的对应边的比相等）是解此题的关键． 8．6.4/ 【难度】0.85 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例，列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵AB＝4.8，DE＝3.6，EF＝1.2， ∴， 解得， ∴． 故答案为：6.4． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握定理并灵活运用列出正确的比例式． 9．2 【难度】0.85 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段， 能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题． 根据实际距离×比例尺=图上距离，代入数据计算即可． 【详解】解：100千米厘米， 厘米， 故答案为：2． 10．0 【难度】0.65 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查二次函数与不等式（组），掌握二次函数的性质是解题关键．由题意可得出，设，改为顶点式为，即可得出，则说明恒成立，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 整理，得：． 设， ∴． ∵恒成立， ∴恒成立， 解得：． 故答案为：0． 11．/ 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割点的定义，设，表示出和，利用列出方程，解方程即可． 【详解】解：设， 由于点是线段的黄金分割点，且，即， 则， ， 由，得 ， ， ， ， ， ， ， 故． 故答案为：． 12． 【难度】0.65 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点O作，交于E，先证明，得到，即，求得，再证明，得到，即，求得，进而求得，最后根据，得代入、值即可求解． 【详解】解：如图，过点O作，交于E， ， ， ， ， ∵， ， ∵， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13．/ 【难度】0.79 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割的定义求出的长度，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 14．/ 【难度】0.65 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割点的定义，知较长的线段=总线段的，可得和的长，则即可求得． 【详解】设线段， ∵C、D是线段的两个黄金分割点， ∴较长线段， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较长的线段=总线段的倍． 15．或 【难度】0.4 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用平行四边形的性质求解、相似多边形的性质 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质，根据题意，正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，设． 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∵剩下的平行四边形与原来平行四边形相似， ∴对应边成比例， 分两种情况讨论： ①， ∴， 设，分子分母同时除以，得：， 解得：； ②， ， 设，则：， 解得：， 两个答案都满足， 综上：平行四边形的相邻两边与的比值是或． 故答案为：或． 16．22 【难度】0.4 【知识点】成比例线段 【分析】根据比例中项的概念，依此找出不同的有序实数组共有多少组． 【详解】解：当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组， 当时，不同的有序实数组有6组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有2组， 当时，不同的有序实数组有4组，一共22组． 17． 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、折叠问题 【分析】勾股定理求出的长，得到，中点，得到，折叠，得到，，过点作于点，证明，得到，在中，勾股定理，求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵E为边的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， 过点作于点，    则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， 在中：，即：， 解得：或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形以及相似三角形． 18．(1) (2) ∵， ∴顶点， ∵图象的顶点在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 【难度】0.65 【知识点】正比例函数的性质、y=a（x-h）²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的综合应用．理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键．（1）将和代入函数表达式，解方程组即可；（2）先得出函数顶点坐标，代入化简，即可得出结论． 【详解】（1）∵函数图象经过点和， ∴， 解得 ， ∴； （2）略 19．（1）k=2；（2）14 【难度】0.85 【知识点】求自变量的值或函数值、根据二次函数的定义求参数 【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可； （2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入x=3求解即可． 【详解】解：（1）依题意有， 解得：k=2， ∴k的值为2； （2）把k=2代入函数解析式中得：， 当x=3时，y=14， ∴y的值为14． 【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键． 20．(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】相似多边形的性质 【分析】（1）根据多边形相似的性质：对应角相等，求解即可； （2）根据多边形相似的性质：对应边成比例，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴； （2）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 21．（1）①证明：由题意得， ∴， ∴， ∴． ②；（2）或2． 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题关键． （1）①根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可；②利用相似三角形对应边成比例求解即可； （2）由等腰直角三角形的性质，得到，证明，得到，由为等腰三角形且，可分别两种情况讨论：和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）①略 ②解：∵， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且， 若，则 ∴； 若，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或2． 22．(1) 证明：如图，连接， 设正方形的边长为，则． 在中，， 则． 设，则， 在和中， 有， 即， 解得， 即点P是的黄金分割点()； (2) 方法如图所示: 第一步：对折矩形纸片,使与重合，得到折痕，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，落点为点，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到线段.则 【难度】0.65 【知识点】折叠问题、黄金分割 【分析】本题考查折叠作图，黄金分割点的定义，勾股定理，掌握黄金分割的比值是解题的关键． （1）先运用勾股定理得到，然后在和中，运用解题计算即可证明； （2）先对折矩形，然后再折叠，使得点落在第一次的折痕上，即可得到角． 【详解】（1）略 （2）略 23．(1)； (2)①存在，；②． 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了二次函数综合，合理运用待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定与性质是本题解题的关键． （1）根据三角函数的定义，求出点坐标，将，坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）①延长交轴于，在直线上取点，在上方，由对顶角相等可知，，由三角形外角的性质可知，，再根据两个坐标轴垂直可知，，从而得解． ②因为和等高，所以它们的面积比就是底边和的比，先用待定系数法求出直线和的表达式，联立求出的坐标，从而得解； 【详解】（1）解：， ， ， ， 在的正半轴， ， ， 将点坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ∴； （2）解：①存在， 延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图： ， ， ， ， 又， ， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入表达式得：， ， 直线的表达式为：， 联立直线和抛物线解析式得：， 解得：，， ． ②设直线的表达式为：， 将点坐标代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， 的横坐标为， ， 令抛物线，得：， 解得：，， ， 设直线的表达式为：， 代入 ∴， ∴， ∴直线的表达式为：， 将点坐标代入直线的表达式得：， ， 直线的表达式：， 联立直线和的表达式： ， 解得：， ∴点横坐标为， ∵与的比值和他们之间水平距离的比值相等， ， 和等高， ． 24．（1）抛物线的表达式为；（2）；（3） 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、求抛物线与x轴的交点坐标、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）点代入即可得出c的值，再根据点D的纵坐标得出a的值，由此得出点D的坐标； （2）过点B作，求出交点坐标，得出，；由面积公式列出方程计算出BE、EC的长度，即可得出 的正切值； （3）过点D作轴，过点A作，得出；证明，根据相似比得出NB、NA的长度，根据线段加减推论出CF的长度． 【详解】解：（1）把点代入得： 当时， 顶点的纵坐标为 4． 故抛物线的表达式为 （2）过点B作交于E点， 令 则     故，          （3）过点D作轴，过点A作，              当点F在CB延长线上，F只能在第四象限，故 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质，解题关键是确定出抛物线解析式，是一道中等难度的中考常考题． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $