精品解析：黑龙江省大庆市大庆实验中学实验二部2026-2027学年高二上学期9月阶段考试数学试题

大庆实验中学实验二部2025级高二上阶段考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程表示圆，则a的值不可能为（ ） A. B. C. D. 3. 若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ） A. B. 椭圆的焦距为 C. 若椭圆的焦点在轴上，则 D. 若椭圆的焦点在轴上，则 4. 已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列结论错误的是（ ） A. 两个椭圆的离心率相等 B. P到，，，四点的距离之和为定值 C. 曲线C关于直线，均对称 D. 曲线C所围区域面积必小于36 6. 已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 8. 若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量是 B. 若，则 C. 若，则直线，之间的距离为 D. 直线过定点 10. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（ ） A. 圆的圆心在上 B. 圆面积的最小值是 C. 圆经过定点和 D. 已知点，，则的最小值为5 11. 如图，一张半径为的圆形纸片的圆心为点，是圆内的一个定点，是圆上任意一点，把纸片折叠使得点与重合，折痕与直线相交于点，为的中点，，在折痕上的投影分别为，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，直线，若，则__________． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为30，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（位于轴上方），且，则离心率__________． 14. 已知为椭圆的右焦点，的顶点为椭圆上的三点，且，则顶点的横坐标的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求A的坐标； （2）求点A到直线的距离． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，点在棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点． （1）求的取值范围； （2）若，其中为坐标原点，求． 18. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是上与，不重合的一动点． （1）证明：直线与的斜率之积为定值； （2）直线，与直线分别交于点，，求的最小值； （3）若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心在定直线上． 19. 已知椭圆经过点和． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点； （i）证明：； （ii）设点与点关于原点对称，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学实验二部2025级高二上阶段考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 即斜率，设倾斜角为，则， 因为，所以. 2. 已知方程表示圆，则a的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知：，整理可得，解得， 且，，，， 故ABC不符合题意，D符合题意. 3. 若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ） A. B. 椭圆的焦距为 C. 若椭圆的焦点在轴上，则 D. 若椭圆的焦点在轴上，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和性质计算即可. 【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，C正确； 焦点在轴上时，，解得，D错误； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误． 4. 已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为椭圆离心率范围为，可得，即， 当，椭圆焦点在轴上时， 由可得，则， 所以离心率，解得， 此时，所以椭圆两个焦点为. 5. 如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，则下列结论错误的是（ ） A. 两个椭圆的离心率相等 B. P到，，，四点的距离之和为定值 C. 曲线C关于直线，均对称 D. 曲线C所围区域面积必小于36 【答案】B 【解析】 【分析】求出椭圆的离心率判断A；利用椭圆的定义判断B；利用椭圆的对称性判断C；利用椭圆的顶点构成图形判断D. 【详解】对于A，椭圆的离心率，椭圆的离心率 ，，A正确； 对于B，为椭圆的左右焦点，为 椭圆的两个焦点，当点为两个椭圆交点时，点到四点距离的和为20； 当点时，点到四点距离的和为，因此距离之和不为定值，B错误； 对于C，两个椭圆关于直线均对称，则曲线关于直线均对称，C正确； 对于D，椭圆的上、下顶点分别为，椭圆的 左、右顶点分别为，曲线在两组平行直线所围正方形及内部， 该正方形边长为6，因此曲线C所围区域面积必小于36，D正确. 故选：B 6. 已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定为钝角时点满足的几何条件，结合切线性质、直角三角形边角关系，推导得到点到圆心的距离的取值范围，由条件点到圆心的距离的范围可由点的距离范围结合两圆半径推导，利用两点间距离公式建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围. 【详解】设点到圆心的距离，由切线性质，平分， 在直角三角形中，， 已知为钝角，则，故， 解得， 故圆存在点，使得， 圆的圆心为，半径， 圆心到的距离， 故， 因为圆上的点到的距离范围为，要使该区间与有交集， 则需，即，故，解得， 故的取值范围是． 7. 已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，，，过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，则的周长是（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】先由与的关系推导椭圆离心率，结合垂直平分线性质将的周长转化为，再联立直线与椭圆方程利用弦长公式求，即可得到周长. 【详解】由题设，结合椭圆参数关系，得，即, 由椭圆性质得，又，故为等边三角形； 因为过且垂直于，所以是的垂直平分线，因此 ，， 则的周长为， 根据椭圆定义，对椭圆上任意点有，故，， 因此 ， 代入周长表达式得的周长为。 接下来求的值： 直线的斜率，则直线的斜率， 又过 ，则的方程为， 联立与椭圆方程 ，整理得 ， 设，由韦达定理得，， 由弦长公式， 代入数值计算得：， 由题设，得，解得，故的周长为. 8. 若曲线上存在两点到直线的距离为6，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造与原直线距离为6的平行线，舍去无交点的那条；再结合直线与整圆相交条件，再利用韦达定理，保证两个交点横坐标都大于等于0，取交集得到参数范围． 【详解】曲线表示半圆，圆心为，半径， 点到直线的距离公式为， 曲线上存在两点到直线的距离为6，即， 故，即所在直线为：， ， 其中到圆心距离为，故与圆无交点， 故与右半圆有两个交点，到圆心距离， 解得， 联立到圆的方程得：， 整理得， 由韦达定理得 曲线是右半圆，即，则， 解得，（1） 且或，（2） 故， 综上可得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的一个方向向量是 B. 若，则 C. 若，则直线，之间的距离为 D. 直线过定点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线方向向量的定义、两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程逐一判断即可. 【详解】，所以该直线的斜率为. ，所以该直线的斜率为，恒过点. 对于A，因为直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量是，设， 显然，所以直线的一个方向向量是， 故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 因为， 所以不成立，故B错误； 对于C，若，所以， 所以， 所以直线，之间的距离为，故C错误； 对于D，直线过定点 ，故D正确. 故选：AD 10. 已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（ ） A. 圆的圆心在上 B. 圆面积的最小值是 C. 圆经过定点和 D. 已知点，，则的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，求出圆的圆心坐标判断；对B，根据圆平分圆的圆周，可得公共弦过的圆心，推导得到关系，进而求出圆的半径最小值，得解；对C，将代入圆的方程，求出定点坐标得解；对D，作关于的对称点，根据将军饮马模型计算得解. 【详解】对于A，圆的圆心坐标为，因此圆心在直线上，故A正确； 对于B，由，两式相减得， 即圆与圆公共弦所在直线方程为， 又圆的标准方程为，圆心， 因为圆平分圆的圆周，所以公共弦所在直线过点， 所以，即， 圆的半径平方，将代入可得， 则，所以圆面积的最小值为，故B错误； 对于C，将代入圆的方程整理得， 令，解得或， 所以圆过定点和，故C正确； 对于D，因为圆心在直线上，作关于的对称点， 则，计算得， 所以最小值为5，故D正确. 11. 如图，一张半径为的圆形纸片的圆心为点，是圆内的一个定点，是圆上任意一点，把纸片折叠使得点与重合，折痕与直线相交于点，为的中点，，在折痕上的投影分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项：利用椭圆定义转化线段，发现推导结果与椭圆定义相矛盾；B选项：利用三角形中位线定理，证明两条线段均为定长的一半；C选项：利用向量极化恒等式结合不等式放缩，再结合椭圆性质判断符号；D选项：利用余弦定理结合椭圆长短半轴的大小关系，判断线段乘积范围. 【详解】因为，故A错误； 在中，分别为的中点，故， 如图，延长交于点，则有， 故，故B正确； 设，则， 则，由于点的轨迹为椭圆， 设椭圆长半轴长、短半轴长、半焦距分别为， 则在中，， 化简得，即， 所以，D错误； 设的中点为，则有 ， 故，故C正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，直线，若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为直线，直线，且， 则，即，解得或， 若，直线，直线，满足，符合题意； 若，直线，直线，两直线重合，不符合题意； 综上所述：. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为30，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（位于轴上方），且，则离心率__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先由直线斜率得到的余弦值，结合椭圆定义和已知边长比例，在中用余弦定理求出，再代入离心率公式计算结果. 【详解】由椭圆长轴长为30，得，即，椭圆离心率； 过的直线斜率为，且位于轴上方，故，因此， 设焦距，由得 ； 根据椭圆定义 ，得 。 在中由余弦定理知：， 即，整理得 ， 解得或，均满足题意， 当时，；当时，. 14. 已知为椭圆的右焦点，的顶点为椭圆上的三点，且，则顶点的横坐标的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，然后根据向量关系得到等式，然后根据椭圆上的点的横坐标范围，结合不等式的性质计算即可. 【详解】由题意可知，，设， 则，由得， ，整理得， 即的重心横坐标为. 椭圆上所有点的横坐标取值范围为，所以. 由，得，又， 所以顶点的横坐标的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求A的坐标； （2）求点A到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由求出直线的斜率与方程，再联立直线与中线的方程，求出点的坐标； （2）先设出中线上点的坐标，利用中点坐标公式表示出点的坐标，再结合点在直线上求出参数，确定坐标与直线方程，最后用点到直线的距离公式计算结果. 【小问1详解】 ，， 由得直线： 又在中线：上， 联立，解得 【小问2详解】 在直线：上，设 是中点，， 在直线：上， ，解得 由、，得直线： 点到直线的距离：. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点，点在棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）如图，取的中点为，连接，. 因为为的中点，所以，. 又，所以. 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，故. 因为平面，平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质及线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据面面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接. 因为，，所以，均为等边三角形. 取线段的中点，连接，，则，，且. 因为平面平面，平面平面， 且平面，平面， 所以，，两两互相垂直. 以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 所以平面的一个法向量为. 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点． （1）求的取值范围； （2）若，其中为坐标原点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径列不等式求解的取值范围. （2）联立直线与圆的方程，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算求出，再计算弦长. 【小问1详解】 由题意，直线过点且斜率为，故直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径，由于直线与圆交于两个不同点，因此圆心到直线的距离为： ，​ 令，两边平方得：， 展开整理得，即，解得. 【小问2详解】 设，，将代入圆的方程：， 整理得，由韦达定理得：， 由向量数量积的坐标运算得： ， 又因为，所以 ，化简得， 两边同乘得，解得，验证，符合题意， 将代入直线方程得，代入圆心坐标，等式成立，说明圆心在直线上， 因此为圆的直径，故. 18. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，是上与，不重合的一动点． （1）证明：直线与的斜率之积为定值； （2）直线，与直线分别交于点，，求的最小值； （3）若不过点且斜率为的直线与交于，两点，证明：的外心在定直线上． 【答案】（1）由椭圆方程可知：，则，， 设，，则，即， 可得， 所以直线与的斜率之积为定值． （2）6 （3）设，，直线：，， 联立方程，消去y得， 因为，解得且， 则，， 可得 则， ， ， 设外接圆的方程为，，圆心为， 把点代入圆的方程得， 因为点，在圆上，则， 可得， 即，整理可得， 且， 整理可得， 因为，且，即， 可得， 即，可得，整理可得， 代入得， 解得或， 当时，，不满足题意； 当时，即，则点在定直线上， 所以的外心在定直线上； 综上所述：的外心在定直线上. 【解析】 【分析】（1）设，，可得，结合斜率公式分析证明； （2）设直线：，，结合（1）中结论可得，，再利用基本不等式求最小值； （3）设直线：，，与椭圆方程联立可得韦达定理，设外接圆的方程为，代入点结合韦达定理分析证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线：，，令得，即； 由（1）可知：，则， 可得直线的方程为，令得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为6． 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆经过点和． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点； （i）证明：； （ii）设点与点关于原点对称，求的值． 【答案】（1） （2）（i）设,联立直线与椭圆方程， 消去整理可得， 由韦达定理可得； 又， 当时，可得 ； 当时，可得，此时直线， 此时，两点坐标分别为和，或者和； 显然此时，，满足，即； 综上可知； （ii）1 【解析】 【分析】（1）代入两点坐标解方程组计算可求得椭圆方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程,整理可得可得，根据韦达定理并利用向量数量积为即可证明； （ii）结合（i）中可知，垂直平分，即，所以. 【小问1详解】 将点和代入椭圆方程可得， 解得； 即椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为点与点关于原点对称，所以为的中点，即， 由（i）中可知，垂直平分， 即为线段的垂直平分线上的一点，即到两点的距离相等，即 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $