精品解析：2026年9月重庆市第七中学校初中自主招生数学试题

七中数学 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）每小题都给出了代号ABCD的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填涂在答题卷对应的方框内 1. 在一幅比例尺是1∶20000000的地图上，量得城到城的距离是3厘米，甲、乙两辆汽车同时从、两地相向出发，经过4小时相遇，已知甲车每小时行70千米，乙车每小时行（ ） A. 80千米 B. 75千米 C. 65千米 D. 70千米 【答案】A 【解析】 【详解】解：（厘米）. （千米）. （千米）. 2. 数的与数的相等，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得， ∴． 3. 某人骑自行车从甲地到乙地，去时以每小时60千米的速度前进，回来时以每小时30千米的速度返回，那么此人在往返过程中的平均速度是（ ）千米/时． A. 45 B. 40 C. 50 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】平均速度为总路程与总时间的比值，不可直接取两速度的算术平均值． 【详解】解：设甲乙两地单程路程为千米，则去时用时为小时，返回用时为小时，往返总路程为千米， ∴总时间为小时， ∴平均速度为千米/时． 4. 一段铁丝，第一次剪下全长的，第二次剪下的长度与第一次剪下的长度的比是，还剩7米，这段铁丝全长（　　） A. 12米 B. 24米 C. 32米 D. 36米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正确理解第二次剪下的长度在全长的占比是解题关键．根据题意可知，第一次剪下全长的，第二次剪下全长的，则此时还剩下全长的，据此列式即可得出答案． 【详解】解： （米） 即这段铁丝全长36米， 故选：D． 5. 一个两位数十位数字与个位数字的和是7，把这个两位数加上45，结果恰好等于个位与十位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（ ） A. 16 B. 25 C. 34 D. 61 【答案】A 【解析】 【分析】先设这个两位数的十位数字和个位数字分别为x，7-x，则这个两位数为10x+7-x=9x+7，对调后的两位数为10（7-x）+x=70-9x，根据题意列出方程9x+7+45=70-9x，解这个方程，求出这个两位数． 【详解】解：设十位数字为x，则个位数字为7-x，由题意得： 10x+7-x+45=10（7-x）+x， 解得：x=1， 所以个位数为：7-x=7-1=6， 答：这个两位数这16． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，本题属于数字问题，培养学生用方程解决问题的能力． 6. 网上复制、粘贴一条信息并发送出去仅仅需要1秒钟！假设第1秒钟A将一条信息发送给了B；在第2秒钟，B将该信息发送给C的同时，A又发送给了D；在第3秒钟，D将该信息发送给E的同时，C又发送给了F，B又发送给了G，A又发送给了H……，依次类推，仅仅过了7秒钟，共有（ ）人会收到该信息． A. 7 B. 14 C. 64 D. 128 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到总人数的变化规律，即可得到答案． 【详解】解：初始时A拥有信息，计入总人数共1人． 第1秒A发给B，新增1人，总人数为人． 第2秒A、B各发给1名新人，新增2人，总人数为人． 第3秒4名已收到信息的人各发给1名新人，新增4人，总人数为人． 以此类推，第n秒总人数为人． 当时，总人数为人． 7. 甲乙相距千米，一辆汽车从甲地到乙地，如果车速提高，可提前小时到达，如果原速行驶千米后，再将速度提高，也可提前小时到达，（ ）千米． A. 40 B. 25 C. 50 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由两次均提前小时到达，得实际总用时相等，以此为等量关系列方程求解． 【详解】解：设汽车原速度为千米/时． 两次行驶总用时相等， ， ，两边同时乘， ， 化简得， 解得． 8. 一个圆柱和圆锥的高相等，它们底面的半径比是，那么该圆柱和圆锥的体积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设圆柱的底面半径为，圆锥的底面半径为，两者的高均为， 则，， 所以． 9. 甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，他们相遇时，甲比乙多行90米，相遇后乙的速度减少50%，甲到地后立即调头，追上乙时离地还有90米，那么、两地间的距离为（ ）米． A. 450 B. 400 C. 900 D. 125 【答案】A 【解析】 【分析】根据乙相遇前后的路程与速度变化，得出两段运动时间的倍数关系，结合甲的路程等量列方程求解． 【详解】解：设第一次相遇时乙走了米，则甲走了米，、两地距离为米． ∵相遇后甲追上乙时，乙距地还有90米， ∴乙相遇后走的路程为米． ∵乙相遇后速度减少，即速度变为原来的，且两段路程相等， ∴乙走第二段路程的时间是第一段的2倍． ∵甲速度不变， ∴甲第二段走的路程是第一段的2倍． ∵甲第二段走的路程为米， ∴． 解得． 、两地距离为米． 10. 两列火车的长度分别是200米和180米，相向而行，他们在双轨铁路上从车头相遇到车尾离开的时间是10秒，已知其中一列火车的速度是16米/秒，则另外一列火车的速度是（ ）米/秒． A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】D 【解析】 【分析】错车总路程为两车车长之和，以此为基础结合行程公式求解． 【详解】解：从车头相遇到车尾离开，两车行驶总路程为米． 两车速度和为米/秒． 另一列火车速度为米/秒． 二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）在每小题中，请将答案直接填写在答题卷中对应的横线上 11. 从4点10分开始，经过_____分钟，时针和分针正好第一次重合． 【答案】 （或） 【解析】 【分析】将钟面问题转化为追及问题，先求出初始时刻时针与分针的角度差，再计算两者的速度差，最后利用追及时间路程差速度差求解． 【详解】解：∵分针每分钟转，时针每分钟转， ∴时针与分针的速度差为每分钟． 4点10分时，时针的位置角度为，分针的位置角度为， ∴初始角度差（追及路程）为， 追及时间分钟， 即经过分钟，时针和分针第一次重合． 12. 一个正方体木块和一个圆柱形的木块高相等，体积比是．如果把正方体木块削成尽可能大的圆柱体，把圆柱形木块削成尽可能大的长方体．削成的圆柱体和长方体体积比是_____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】设正方体棱长为，原圆柱底面半径为，根据已知体积比推导出和的关系，再分别计算削成的圆柱和长方体的体积，最后化简得到体积比． 【详解】解：设正方体木块的棱长为，则正方体的高为，圆柱形木块的高也为，设圆柱形木块的底面半径为． ∵正方体体积为，原圆柱体积为 ，二者体积比为， ∴， 化简得，即． 把正方体削成尽可能大的圆柱体，圆柱的底面直径等于正方体棱长，半径为，削得的圆柱体积为：． 把原圆柱削成尽可能大的长方体，长方体底面是圆内接正方形时面积最大，正方形面积为，削得的长方体体积为： ， 代入得：． 计算体积比：． 13. 如图所示，把底面直径是的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米，那么长方体的体积是（ ）立方厘米． 【答案】502.4 【解析】 【分析】本题考查了等积变形问题，圆柱体切拼成近似的长方体要明确：高没变，体积没变；但长方体表面积比圆柱多了两个长方形的面积．将一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，高没变，体积没变；但拼成的长方体表面积比圆柱多了两个长方形的面积，这两个长方形的长都和圆柱的高相等，宽都和圆柱的底面半径相等；已知表面积增加了80平方厘米，就可求出圆柱的高是多少厘米，进而再求出圆柱的体积，即长方体的体积． 【详解】解：底面半径：（厘米） 圆柱的高：（厘米） 圆柱体积（长方体体积）： （立方厘米） 所以长方体的体积是502.4立方厘米． 故答案为：502.4． 14. 名学生要到离校千米处的少年宫活动．只有一辆能载人的汽车，为了使全体学生尽快地到达目的地，他们决定采取步行与乘车相结合的办法．已知学生步行速度为每小时千米，汽车速度为每小时千米．要保证全体学生都尽快到达目的地，所需时间是_____小时（上、下车所用的时间不计）． 【答案】 【解析】 【分析】将名学生分组，每组人，为使全体同时到达，每组步行路程相等，乘车路程相等，将一组的步行时间加上乘车时间即可求解. 【详解】解：如图： 是两地距离，个人被分成份，每组是人，第一组直接从开始上车被放在点；汽车回到接到第组放在了点；最后一组是在接到的，直接送到点； 当这组都是同时到达点，时间才会最短； ∵个组步行的距离都是一样的；当第一组被送到点时，回到点这段时间，另外两个组都步行到了， 根据速度比路程之比；我们把接到每组之间的步行距离看作单位1， ∵汽车从出发到返回就是份； ∴出发点到就是份； ∵步行的距离相等， ∴段对称；(例如第一组：步行的距离是到点份，最后一组是到也是两段距离是份)； ∴以第一组为研究，那么它步行了后面的份，乘车行了前面的份，可见全程被分为份， 每份是千米，步行速度是，时间就是小时； 乘车速度是，时间就是小时； 合计就是小时； 三、计算题（本大题每小题5分，共10分） 15. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将带分数拆分为整十数与真分数的和，用乘法分配律简便计算； （2）分组整理后提取公因式，计算整数和后得结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 四、解答题（本大题共4个小题，共34分） 16. 袋子里的红球与白球数量比是，第一次放入若干红球后，红球与白球的数量比变成，第二次放入若干白球后，红球与白球数量之比变为，已知放入的白球比红球多了100只，问袋子里原来有白球多少只？ 【答案】袋子里原来有白球600只． 【解析】 【分析】第一次加入红球时白球数量不变，第二次加入白球时红球数量不变，通过统一不变量的份数，结合放入的白球与红球的数量差求出每份对应数量，进而计算原有白球数量． 【详解】解：∵原有红球与白球数量比为，第一次放入红球后白球数量不变，此时红白数量比为 ， ∴统一白球份数为6（2和3的最小公倍数）， 原有红∶白 ， 第一次放入红球后红∶白 ， 放入的红球对应份 ， ∵第二次放入白球后红球数量不变，此时红白数量比为 ， ∴统一红球份数为10（与第一次放入后红球份数一致）， 第二次放入白球后红∶白 ，放入的白球对应份 ， ∵放入的白球比红球多100只，对应份 ， ∴1份对应数量为100只 ， ∵原有白球对应6份 ， ∴原有白球数量为（只） ， 答：袋子里原来有白球600只． 17. 长方形被分成六个正方形，现在只知道中间一个最小的正方形的面积为4，求长方形的面积． 【答案】长方形的面积为572 【解析】 【分析】本题主要考查整式的运算及一元一次方程的应用，关键是设出未知数表示出正方形的边长即可．设第四个大正方形的边长为x，然后依次把其他正方形的边长表示出来，列方程求解即可． 【详解】解：∵，故最小的正方形的边长为2； ∴设第四个大正方形的边长为x（如图所示）． ∴， 解得：， ∴， ∴长方形的面积：． 18. 甲、乙二人分别从、两地同时出发相向而行，5小时后相遇在地．如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从、两地同时出发相向而行，则相遇地地距地10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从、两地同时出发相向而行，则相遇地地距地5千米，求甲原来的速度是多少． 【答案】甲原来的速度是11千米/时 【解析】 【分析】根据路程、速度和时间三者之间的关系，结合三次相遇时的情形，作出示意图，分析甲、乙原速度与提速后速度的关系，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意，当甲乙原速度相向而行相遇在地，第一次乙提速后、甲速度不变，则乙走的路程比开始多，相遇地应在原地左侧；第二次甲提速后、乙速度不变，则甲走的路程比开始多，相遇地应在原地右侧；如图所示： 乙提速后，当甲、乙在地相遇后，两人继续前行，直到甲走到开始的相遇地地两人同时停止，共用小时，如图所示： 此时，从乙来看，提速后比提速前相当于多走了距离，为（千米）；对甲来说，多走了距离，为千米；则（千米）， 也就是说，在地相遇后，相同时间内，甲用原速度走了千米、乙用每小时多行4千米的速度也走了千米， 即：甲的原速度乙的原速度①； 甲提速后，当甲、乙在地相遇后，两人继续前行，直到乙走到开始的相遇地地两人同时停止，共用小时，如图所示： 此时，从甲来看，提速后比提速前相当于多走了距离，为（千米）；对乙来说，多走了距离，为千米；则（千米）， 也就是说，在地相遇后，相同时间内，甲用每小时多行3千米的速度走了千米、乙用原速度走了千米， 即：甲的原速度倍乙的原速度②； 由①②可得：甲的原速度（甲的原速度）， 解得甲的原速度， 答：甲原来的速度是每小时11千米． 19. 甲杯中装有含盐的盐水千克，乙杯中装有含盐的盐水千克，现从甲杯中取出一些盐水放入丙杯，再从乙杯中取一些盐水放入丁杯．然后将丁杯盐水全倒入甲杯，把丙杯盐水全倒入乙杯，结果甲、乙两杯盐水的含盐浓度相同．若已知从乙杯取出并倒入丁杯的盐水质量是从甲杯取出并倒入丙杯的盐水质量的倍，试确定从甲杯取出并倒入丙杯的盐水多少千克？ 【答案】从甲杯取出并倒入丙杯的盐水为千克． 【解析】 【分析】利用盐水总质量与总盐量不变得出最终浓度，结合甲杯盐量的变化列方程求解． 【详解】解：设从甲杯取出并倒入丙杯的盐水重量为千克，则从乙杯取出并倒入丁杯的盐水重量为千克． 总溶液质量为（千克）， 总含盐量为（千克）． 最终甲、乙两杯盐水浓度相同， 最终盐水浓度为． 甲杯最终含盐量为， 甲杯最终溶液质量为， 根据浓度关系列方程：， 解得． 检验：当时，，，符合实际意义． 答：从甲杯取出并倒入丙杯的盐水为千克． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七中数学 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）每小题都给出了代号ABCD的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填涂在答题卷对应的方框内 1. 在一幅比例尺是1∶20000000的地图上，量得城到城的距离是3厘米，甲、乙两辆汽车同时从、两地相向出发，经过4小时相遇，已知甲车每小时行70千米，乙车每小时行（ ） A. 80千米 B. 75千米 C. 65千米 D. 70千米 2. 数的与数的相等，（ ） A. B. C. D. 3. 某人骑自行车从甲地到乙地，去时以每小时60千米的速度前进，回来时以每小时30千米的速度返回，那么此人在往返过程中的平均速度是（ ）千米/时． A. 45 B. 40 C. 50 D. 35 4. 一段铁丝，第一次剪下全长的，第二次剪下的长度与第一次剪下的长度的比是，还剩7米，这段铁丝全长（　　） A. 12米 B. 24米 C. 32米 D. 36米 5. 一个两位数十位数字与个位数字的和是7，把这个两位数加上45，结果恰好等于个位与十位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（ ） A. 16 B. 25 C. 34 D. 61 6. 网上复制、粘贴一条信息并发送出去仅仅需要1秒钟！假设第1秒钟A将一条信息发送给了B；在第2秒钟，B将该信息发送给C的同时，A又发送给了D；在第3秒钟，D将该信息发送给E的同时，C又发送给了F，B又发送给了G，A又发送给了H……，依次类推，仅仅过了7秒钟，共有（ ）人会收到该信息． A. 7 B. 14 C. 64 D. 128 7. 甲乙相距千米，一辆汽车从甲地到乙地，如果车速提高，可提前小时到达，如果原速行驶千米后，再将速度提高，也可提前小时到达，（ ）千米． A. 40 B. 25 C. 50 D. 2 8. 一个圆柱和圆锥的高相等，它们底面的半径比是，那么该圆柱和圆锥的体积之比是（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，他们相遇时，甲比乙多行90米，相遇后乙的速度减少50%，甲到地后立即调头，追上乙时离地还有90米，那么、两地间的距离为（ ）米． A. 450 B. 400 C. 900 D. 125 10. 两列火车的长度分别是200米和180米，相向而行，他们在双轨铁路上从车头相遇到车尾离开的时间是10秒，已知其中一列火车的速度是16米/秒，则另外一列火车的速度是（ ）米/秒． A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）在每小题中，请将答案直接填写在答题卷中对应的横线上 11. 从4点10分开始，经过_____分钟，时针和分针正好第一次重合． 12. 一个正方体木块和一个圆柱形的木块高相等，体积比是．如果把正方体木块削成尽可能大的圆柱体，把圆柱形木块削成尽可能大的长方体．削成的圆柱体和长方体体积比是_____．（结果保留） 13. 如图所示，把底面直径是的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体．这个长方体的表面积比原来增加80平方厘米，那么长方体的体积是（ ）立方厘米． 14. 名学生要到离校千米处的少年宫活动．只有一辆能载人的汽车，为了使全体学生尽快地到达目的地，他们决定采取步行与乘车相结合的办法．已知学生步行速度为每小时千米，汽车速度为每小时千米．要保证全体学生都尽快到达目的地，所需时间是_____小时（上、下车所用的时间不计）． 三、计算题（本大题每小题5分，共10分） 15. 计算 （1）； （2）． 四、解答题（本大题共4个小题，共34分） 16. 袋子里的红球与白球数量比是，第一次放入若干红球后，红球与白球的数量比变成，第二次放入若干白球后，红球与白球数量之比变为，已知放入的白球比红球多了100只，问袋子里原来有白球多少只？ 17. 长方形被分成六个正方形，现在只知道中间一个最小的正方形的面积为4，求长方形的面积． 18. 甲、乙二人分别从、两地同时出发相向而行，5小时后相遇在地．如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从、两地同时出发相向而行，则相遇地地距地10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从、两地同时出发相向而行，则相遇地地距地5千米，求甲原来的速度是多少． 19. 甲杯中装有含盐的盐水千克，乙杯中装有含盐的盐水千克，现从甲杯中取出一些盐水放入丙杯，再从乙杯中取一些盐水放入丁杯．然后将丁杯盐水全倒入甲杯，把丙杯盐水全倒入乙杯，结果甲、乙两杯盐水的含盐浓度相同．若已知从乙杯取出并倒入丁杯的盐水质量是从甲杯取出并倒入丙杯的盐水质量的倍，试确定从甲杯取出并倒入丙杯的盐水多少千克？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $