精品解析：陕西宝鸡市陈仓区虢镇中学2027届高三上学期模拟检测（二）数学试题

虢镇中学2027届高三模拟检测试题（二） 数学试题 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义进行计算即可. 【详解】由，得． 故选：D． 2. 设，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，比如，此时，所以“”推不出“”， 由，解得，能推出，所以“”是“”成立的必要不充分条件． 故选：C． 3. 不等式的解集为 A. B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【详解】 ，选B. 4. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换规则进行选择. 【详解】因为， 所以将的图象向左平移个单位，可得函数的图象. 故选：A 5. 如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（ ） A. 18.12cm B. 15.1cm C. 14.3cm D. 7.55cm 【答案】B 【解析】 【详解】设该椭圆的长半轴长，短半轴长和半焦距分别为, 依题意，，因,则， 故. 故该椭圆的短轴长约为15.1cm． 6. 已知在中，，若点满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法、减法运算以及数乘向量化简即可. 【详解】因，则， 因为的中点，则， 则． 故选：B． 7. 已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（ ） A. 最大值为1，最小值为 B. 最大值为，最小值为 C. 最大值为1，最小值为 D. 最大值为，最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】令，结合对勾函数的性质求出外层函数的最值即可. 【详解】函数， 令，则， 由对勾函数的性质得，函数在上单调递增， 故当，即时，，当，即时，． 故选：B． 8. 已知函数，，，和有相同的对称中心.若直线与的图象交于两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过函数图像平移的性质得到和的对称中心，从而得到，再令，解得两点的横坐标，再求出的值. 【详解】可看成是平移得到，所以对称中心为. ， 令，则， 所以为奇函数，对称中心为. ，的对称中心为. 和有相同的对称中心,，即. 则直线为， 令，解得， 由题意知两点在直线上， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 在复平面内对应的点位于第四象限 B. 若是纯虚数，那么 C. D. 若、在复平面内对应的向量分别为、（为坐标原点），则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数的几何意义可判断AD选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的乘法可判断C选项. 【详解】对于A选项，，则在复平面内对应的点位于第四象限，A对； 对于B选项，为纯虚数，则，可得，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，由已知可得，，则， 所以，，D对. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，的最小值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】由幂函数的单调性比较大小判断A；由不等式性质判断 B；作差法判断C；结合正弦函数的值域，利用对勾函数的单调性求解值域判断D. 【详解】对于A，因为函数在上单调递增，所以由即知， ，则，A正确； 对于B，若，则当时，，B错误； 对于C，由， 因，可得，故有，C正确. 对于D，因为，所以，在上单调递减， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为5，D错误， 故选：AC 11. 定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为“下凹函数”.下列函数是下凹函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据定义与幂函数、指数函数、对数函数的单调性、基本不等式结合反例计算即可. 【详解】取， 对于A，显然， 等号仅在时成立，则有，故A正确； 对于B，令，则，故B错误； 对于C，因为，所以， 则，等号仅在时成立，故C正确； 对于D，令，因为，则，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等比数列中，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为等比数列中，，， 所以，即， 所以， 所以. 13. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求出，进而求出，再利用余弦定理即可求解. 【详解】由三角形的面积公式可得，， 即，解得， 在锐角中，， 由余弦定理得，， 所以. 14. 将某菌株接种于边长为的正方形培养基（厚度忽略不计，置于无阻挡空间），假设菌株向空间各向均匀生长，记菌株最终所占空间区域为．定义为所有到该正方形（含边界与内部）的空间最短距离不超过的空间点构成的集合，则的体积为___________（单位：，结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】到该正方形（含边界与内部）的空间最短距离不超过的空间点所构成的几何体，是由一个棱长分别为4，4，1的长方体和四个高为4，底面半径为0.5的半圆柱以及四个半径为0.5的四分之一球组合而成的，根据公式计算可得答案. 【详解】空间区域是一个棱长分别为4，4，1的长方体和四个高为4，底面半径为0.5的半圆柱以及四个半径为0.5的四分之一球所组成的几何体， 则的体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： （1）估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； （2）设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 【答案】（1）第一四分位数为 ，中位数为 ； （2）（ⅰ）；（ⅱ），． 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的定义，先确定其大致位置，然后列方程求解； （2）根据直方图，先求出小于365天的频率，作为概率的估计值，然后利用二项分布的期望和方差求解. 【小问1详解】 由直方图可知，的频率为， 的频率为， 故第一四分位数在上，设为，则，解得； 的频率为， 的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得. 故第一四分位数为370，中位数为381； 【小问2详解】 由直方图可知，小于365天的频率为，故， 根据二项分布的期望和方差公式， ， 16. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面． （1）求证：平面； （2）求二面角所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，，所以， 又平面，平面，所以， 又，、平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用二面角的定义先找出角，然后利用公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以， 又，，所以在中，，所以， 又平面，平面，所以， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以为二面角所成角， 因为平面，平面，所以， 在中，由，，则， 所以，故二面角的余弦值为. 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式，并证明为等差数列； （2）若，求． 【答案】（1）， 证明：令，所以， 由的通项公式可得：， 由通项公式可知：，所以为等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）通过作差法即可求的通项公式，再由通项公式结构可证等差数列；（2）由裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 令可得：，即. 当时，由，可得， 两式相减可得， 不满足，所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，当时， ， 所以. 18. 已知椭圆的焦距为，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解； （2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 由题意得：，即，则， 所以的标准方程为：. 【小问2详解】 由题意设， 联立，消去得：， 则，则， 可得， 设直线与轴的交点为，且，则， 故，解得. 19. 已知函数定义域为，对于实数，定义集合，． （1）若，求和； （2）给定实数，若满足对任意，均有，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义及一元二次不等式的解法即可求解； （2）根据题中定义结合函数单调性分类讨论即可求解． 【小问1详解】 ， 所以且，解得，故； ， 所以且，解得或，故． 【小问2详解】 若，由，得，则，； 反之，若，任取，有，而， 则，，，由的任意性得， 函数定义域为R，求导得， 当或时，单调递增；当时，单调递减， ①当时，由于，则，故均落在的严格增区间上， 从而有对任意都成立，符合要求； ②当时，取，则，为的严格减区间，则有，与对任意的都有矛盾； ③注意到是的极小值点，此时，令， 可得另一个解为，故当时，对任意，总有成立， 综上所述，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虢镇中学2027届高三模拟检测试题（二） 数学试题 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 不等式的解集为 A. B. C. 且 D. 4. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（ ） A. 18.12cm B. 15.1cm C. 14.3cm D. 7.55cm 6. 已知在中，，若点满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则在区间上的最大值、最小值分别为（ ） A. 最大值为1，最小值为 B. 最大值为，最小值为 C. 最大值为1，最小值为 D. 最大值为，最小值为 8. 已知函数，，，和有相同的对称中心.若直线与的图象交于两点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 在复平面内对应的点位于第四象限 B. 若是纯虚数，那么 C. D. 若、在复平面内对应的向量分别为、（为坐标原点），则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，的最小值为4 11. 定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为“下凹函数”.下列函数是下凹函数的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等比数列中，，，则________． 13. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，的面积为，则_________． 14. 将某菌株接种于边长为的正方形培养基（厚度忽略不计，置于无阻挡空间），假设菌株向空间各向均匀生长，记菌株最终所占空间区域为．定义为所有到该正方形（含边界与内部）的空间最短距离不超过的空间点构成的集合，则的体积为___________（单位：，结果保留）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： （1）估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； （2）设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 16. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面． （1）求证：平面； （2）求二面角所成角的余弦值． 17. 已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式，并证明为等差数列； （2）若，求． 18. 已知椭圆的焦距为，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 19. 已知函数定义域为，对于实数，定义集合，． （1）若，求和； （2）给定实数，若满足对任意，均有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $