第1章 空间向量与立体几何复习课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第1章 空间向量与立体几何 章末复习课件 22201 1 题型一 空间向量的概念及运算 题型二 用空间向量证明空间位置关系 题型三 用空间向量求空间角和距离 题型四 空间中的综合问题 题型五 创新问题 答案核查 目录 22201 2 题型一 空间向量的概念及运算 ［类型总述］（1）空间向量的有关概念;（2）空间向量的加减运算、 数乘运算;（3）空间向量的数量积运算. 22201 3 例1 （多选题）［2025·绵阳南山中学高二期中］ 下列关于空间向 量的说法中正确的有( ) A.将空间所有的单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一 个球面 B.若非零向量,,满足,，则 C.与一个平面的一个法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D.空间向量可以比较大小，空间向量的模也可以比较大小 √ √ √ 22201 4 [解析] 对于A，由单位向量的定义知单位向量是模为1的向量，所以 将空间所有的单位向量平移到同一个起点，它们的终点构成一个球 面，故A正确； 对于B，若非零向量,,满足,，则 ，故B正确； 对于C，由平面的法向量的定义可知，与一个平面的一个法向量共线的 非零向量都是该平面的法向量，故C正确； 对于D，空间向量不能比较大小，而空间向量的模是非负实数， 可以比较大小，故D错误.故选 . 22201 5 例2（1）给出下列说法：①如果向量, 与任何向量都不能构成空间 的一个基底，那么,的关系是不共线；②如果,,, 为空间中不 同的四点，且向量,,不能构成空间的一个基底，那么点, , ,一定共面；③若{,,}是空间的一个基底，则{,, }也 是空间的一个基底.其中正确的说法是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ [解析] 如果向量， 与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么 ， 的关系是共线，所以①中说法不正确.易知②③中说法正确.故选C. √ 22201 6 （2）在正方体中，， ，则 ( ) A. B. C. D. √ 22201 7 [解析] 因为， ， 所以 . 因为 ， 所以 .故选D. 22201 例3（1）［2025·阜阳一中高二期中］ 如图，在正 方体中，为 的中点，则 ( ) A. B. C. D. √ 22201 9 [解析] 由题意知, , ，且 ， 所以 .故选C. 22201 10 （2）（多选题）［2025·杭州S9联盟高二期中］ 如图，在平行六面体 中，， ， ， ，则 ( ) A. B. C. D. √ √ 22201 11 [解析] 设,, . 对于A，, ， 所以与 不平行，故A错误； 所以 ，故B错误； 对于B， ，， 22201 12 对于C，, ，所以 ，故C正确； 对于D， ，故D正确.故选 . 22201 题型二 用空间向量证明空间位置关系 ［类型总述］（1）证明垂直关系;（2）证明平行关系. 例4 ［2025·佛山高二期中］如图，在棱长为2的正方体 中，为棱的中点，为棱 上一点. （1）证明：直线 平面 . 22201 14 证明：在棱长为2的正方体 中， 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,, , , ，所以, , ， 故 , ， 即,， 又,, 平面 ， 所以直线 平面 . 22201 15 （2）是否存在点，使得直线平面？若存在，求出 的长度；若不存在，请说明理由. 22201 16 解：由（1）知, ， 设平面的法向量为 ， 则取 ，得 . 假设存在点，使得直线平面，则 . 设点的坐标为, ， 则，由，得 ，解得 ，所以存在点，使得直线平面，此时 . 22201 17 变式 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中， ， ， 平面，，， . （1）求证： . 证明：在底面内过作，交于， 则 ，， . 以为原点，，， 所在直线分别为轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，， . 设，则 ， ， ,， . 22201 18 （2）设，若平面，求 的值. 解：由（1）可知， ，， ， . ，， 设平面的法向量为 ，则即 令 ，则 . 平面， ， ， 又，，故 的值为 . 则 22201 19 题型三 用空间向量求空间角和距离 ［类型总述］（1）求空间角;（2）求距离. 例5 在正方体中，为的中点，则直线 与 所成的角为( ) A. B. C. D. √ 22201 20 [解析] 方法一：如图，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则,,,, 所以 ，, 所以， , 又直线与所成的角为锐角， 所以直线与所成的角为 ，故选D. 22201 方法二：如图，连接，易知, 所以与 所成的角即为与所成的角. 连接,，易知 为等边三角形， 且为的中点，故， 所以直线与所成的角为 ，故选D. 22201 例6 ［2024· 新课标Ⅱ卷］如图，平面四边形中， , ,, , ,点， 满足 ,，将沿对折至 ，使得 . （1）证明： ; 22201 23 证明：在中， ，， ， ， ，得， ， 又,, 平面， 平面 ， 又 平面， . ， . 22201 24 （2）求平面与平面 所成的二面角的正弦值. 解：连接 ，， ， ,,得 . 又,， , . 又，,, 平面， 平面 ， ，即，， 两两垂直. 22201 25 以为原点，，， 所在直线分别为,, 轴 建立如图所示的空间直角坐标系，则 , , , ，, 由 为的中点,得 ，得 ,, , . 设平面 的法向量为,则 令,则 . 22201 26 设平面，则 令,则 . 设平面与平面 所成的二面角为 ， , ， . 22201 变式 ［2024· 新课标Ⅰ卷］如图，四棱锥中， 底面 ，，， . （1）若，证明：平面 ； 证明： 平面， 平面， . 又，,, 平面， 平面， 平面 ， . 在中， ， . ，，，四点共面， ， 又 平面， 平面 ，平面 . 22201 28 （2）若，且二面角的正弦值为,求 . 解：方法一：以为原点，以，所在直线分别为, 轴，以过点 且与平面垂直的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则,,, , . , , 设平面的法向量为，则 即 22201 29 不妨令 , , 设平面的法向量为,则 即 不妨令,则, ，故 . 二面角的正弦值为 , 平面与平面夹角的 余弦值为 ， ,，可得, . 22201 方法二：如图所示，过点作于，过点作于 ， 连接 . 平面， 平面 ， 平面 平面 ， 又平面 平面，， 平面 . 又 平面，，又， ， 平面，得 ， 22201 31 根据二面角的定义可知，即为二面角 的平面角， 即，又为锐角， . 设，则 ， 由等面积法可得， ， 则， 又 为等腰直角三角形， ， 故，解得，即 . 22201 例7 ［2024·天津卷］如图，已知在四棱柱 中，底面 为梯形， ， 平面， ，其中 ,是的中点， 是 的中点. （1）求证：平面 ； 22201 33 证明：如图，取的中点，连接， ， 由是的中点，得， ， 由是的中点，得 ， ， 所以， ， 故四边形是平行四边形，故 . 因为 平面， 平面 ，所以平面 . 22201 34 （2）求平面与平面 的夹角的余弦值； 解：以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， ， 所以， ， . 设平面与平面 的法向量分别为 ， ，则有 22201 35 令，则有，， ，， 即， ， 则, ， 故平面与平面 的夹角的余弦值为 . 22201 （3）求点到平面 的距离. 解：由，平面 的一个法向量为 ， 得 ， 故点到平面的距离为 . 22201 37 题型四 空间中的综合问题 ［类型总述］（1）探索性问题；（2）折叠问题. 例8 ［2025·青岛二中高二期中］在如图所示的正 四棱锥中， ， ，为侧棱上的点，且 . （1）求证： . 22201 38 证明：连接，交于点，连接，如图.因为四棱锥 是正四棱锥，所以 平面， 又 平面，所以 . 在正方形中，， 又,， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面,所以 . 22201 39 （2）求平面与平面 夹角的正弦值. 解：易知,,两两垂直，以为原点， , , 所在直线分别为,, 轴建立空间直角坐标系，如图， 易知， ，所以 ,,, , ，则， ， ， ， . 22201 40 因为 ，所以 ， 故 . 设平面的法向量为 ，则 即 令，则, ， 故为平面 的一个法向量. 22201 设平面的法向量为 ， 则即令 ，则， 故为平面 的一个法向量， 所以， . 设平面与平面的夹角为 ，则, ， 所以平面与平面夹角的正弦值为 . 22201 （3）侧棱上是否存在一点，使得平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 解：假设上存在点，使得平面 . 设， ， 因为， ， 因为平面，所以 ，即，解得 ， 所以，所以,故侧棱 上存在一点，使得 平面，且 . 所以 . 22201 43 例9 ［2025·保定高二期中］如图①，平面图形 由直角梯形 和等腰直角三角形拼接而成，其中 ， ， ，， .现沿着 将折起，得到四棱锥 （如图②），且二面角 为直二面角. 22201 44 （1）求点到平面 的距离； 解：，， . 设点是的中点，连接， ， 则， .易知, . 二面角 为直二面角， ，，， 两两垂直. 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 22201 45 则，，，， ，， . 设平面的法向量为，则 取，得， ， 则为平面的一个法向量，则点到平面 的距离为 . 22201 46 （2）设点为棱上任意一点（不与， 重合），求平面与平 面 夹角的余弦值的取值范围. 解：设 . ， ， .设平面 的法向量为 ， ， ， 取，则， ， 22201 47 为平面 的一个法向量. 易知平面 的一个法向量为， 平面与平面夹角的余弦值为 , ， 由，得 ，则 ， 平面与平面 夹角的余弦值的取值范围为 . 22201 题型五 创新问题 ［类型总述］（1）新定义问题；（2）交汇问题. 例10 ［2025·成都高二期中］在空间直角坐标系 中，定义：过 点，且一个方向向量为 的直线的 点方向式方程为；过点 ，且一个法向 量为 的平面的点法式方程为 ，将其整理为一般式方程为 ，其中 . 22201 49 （1）已知直线的点方向式方程为，平面 的一般 式方程为，求直线与平面 所成角的余弦值； 解：由直线的点方向式方程为，可知直线 的一个 方向向量为 . 由平面的一般式方程为，可知平面 的一个 法向量为 . 22201 50 设直线与平面所成的角为 ， 则, ， 所以 ， 即直线与平面所成角的余弦值为 . 22201 51 （2）已知平面的一般式方程为，平面 的一 般式方程为，平面 的一般式方程为 ，若, ， 证明： ； 证明：由平面的一般式方程为，可知平面 的一个法向量为 . 由平面的一般式方程为，可知平面 的一个法 向量为 . 设平面与平面的交线的方向向量为 ， 22201 52 则 令，则,，可得 . 由平面的一般式方程为 ， 可知平面的一个法向量为 ， 因为 ， 所以 ，又，所以 . 22201 （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面 经过三 点,,，侧面所在平面 的一般式方 程为，侧面所在平面 的一般式方程为 ，求平面与平面 夹角的余弦值. 解：由平面经过三点,, ，可得 , . 设平面的法向量为 ， 则 22201 54 令，则,，可得 . 由平面的一般式方程为，可知平面 的一个法 向量为 . 设平面与平面的交线（即直线 ）的方向向量为 ， 则 令，则，，可得 . 22201 由平面的一般式方程为，可知平面 的一个 法向量为 ， 由,，得,故 ，解 得 ，即 ， 故平面与平面夹角的余弦值为 , . 22201 $