2.2 基本不等式讲义（12大培优题型）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2．2 基本不等式 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：基本不等式 3 知识点二：基本不等式的证明 3 知识点三：均值定理 4 03 题型精讲 5 题型一：基本不等式概念辨析 5 题型二：均值不等式直接求最值 6 题型三：常数“1”整体代换 6 题型四：换元、消元简化变量 7 题型五：因式分解法 7 题型六：三元及多元均值求解 8 题型七：待定系数法配凑 8 题型八：均值不等式实际应用 9 题型九：均值不等式恒成立求参 10 题型十:齐次构造统一次数 10 题型十一：判别式万能K法求范围 10 题型十二:均值不等式证明 11 04 课后精练 12 05 培优拓展 15 知识点一：基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点三：均值定理 已知． ①若（和为定值），则当时，积取得最大值； ②若（积为定值），则当时，和取得最小值． 注意（1）此结论应用的前提条件是“一正”、“二定”、“三相等”．其中“一正”指正实数；“二定”指求最值时和或积为定值；“三相等”指满足等号成立的条件，即取等条件成立． （2）连续使用基本不等式要注意取值条件一致． 题型一：基本不等式概念辨析 【典例1】（2026·高一·北京·阶段检测）《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高一·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， 最小值为2 B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 【变式1-2】（2026·河北·三模）已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（    ） （1）； （2）上式当且仅当即时，等号成立； （3）所以当时，取得最小值 A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 【变式1-3】下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值为1 【方法技巧与总结】 应用基本不等式时的三个关注点 （1）一正数：指式子中的a，b均为正数． （2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值． （3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值． 题型二：均值不等式直接求最值 【方法技巧与总结】 模型：，当且仅当时等号成立； 【典例2】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2-2】（2026·高三·贵州·阶段检测）若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【变式2-3】（2026·高一·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：常数“1”整体代换 【典例3】（2026·高一·陕西汉中·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·四川巴中·模拟预测）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·江西南昌·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高一·浙江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 【方法技巧与总结】 （1）根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． （2）条件不是“1”时，注意要先把系数化为“1”． 题型四：换元、消元简化变量 【典例4】（2026·高二·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【变式4-1】（2026·高二·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【变式4-2】（2026·高一·重庆渝中·期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 【变式4-3】（2026·高一·广西北海·期末）已知均为正实数，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【方法技巧与总结】 在不等式求解领域，针对含两个变量的问题（常见为二元二次结构，亦涵盖更高次情况），消参法是一种核心解题策略。其核心思路是：通过代数变形，用其中一个变量（或参数）表达另一个变量（或参数），将原本的双变量问题转化为单变量问题，随后借助基本不等式的性质（如 “一正、二定、三相等”）推导最值或不等关系。 尤其当遇到双元分式型问题时，消参法可进一步优化为 “双换元” 的具体操作形式：不再直接对原变量进行代换，而是选择两个分式的分母分别作为新的变量（即新参数），通过变量替换重构问题框架。这种方式能快速剥离原分式的复杂结构，将问题转化为新变量之间的不等关系，最终结合基本不等式或其他不等式工具完成求解。 题型五：因式分解法 【典例5】（2026·高一·河北衡水·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【变式5-1】（2026·高三·重庆北碚·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式5-2】（2026·高一·山东青岛·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【变式5-3】（2026·高一·陕西延安·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型六：三元及多元均值求解 【典例6】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）若实数、、满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·高二·河北保定·阶段检测）已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·高二·福建南平·期末）以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 题型七：待定系数法配凑 【方法技巧与总结】 待定系数法配凑原理： 【典例7】（）为正整数，求的最小值为 _____. 【变式7-1】（2026·高一·重庆北碚�期中）已知x > 0，y > 0，，则的最小值为 _________ . 【变式7-2】（2026·浙江�模拟预测）已知实数，，不全为，则的最小值是___，最大值是___． 【变式7-3】求 的最大值为______. 题型八：均值不等式实际应用 【典例8】（2026·高一·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【变式8-1】（第六章概率）为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为非负整数）．已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多______百元代金券． 【变式8-2】（2026·高一·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【变式8-3】（2026·高三·河南新乡·期中）小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 【方法技巧与总结】 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： （1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值． （4）正确写出答案． 题型九：均值不等式恒成立求参 【典例9】已知，若时，不等式恒成立，则的最小值是_________. 【变式9-1】已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是______． 【变式9-2】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【变式9-3】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 题型十:齐次构造统一次数 【典例10】（2026·高三·重庆·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为________． 【变式10-1】（2026·上海浦东新·三模）已知，满足，则的最小值是______________． 【变式10-2】（2026·高二·广西贺州·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【变式10-3】已知，，，则的最小值为____． 【方法技巧与总结】 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以相关变量得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 题型十一：判别式万能K法求范围 【典例11】已知实数，满足，则的最大值为_____. 【变式11-1】（2026·高三·浙江·开学考试）已知实数满足，则的最小值是___________. 【变式11-2】（2026·高一·重庆渝中·期中）若，，则当______时，取得最大值，该最大值为______. 【变式11-3】（2026·浙江·二模）设，，若，且的最大值是，则___________. 题型十二:均值不等式证明 【典例12】已知，证明：. 【变式12-1】（2026·高一·新疆·期末）对任意实数，.求证： 【变式12-2】（2026·高一·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【变式12-3】（2026·高一·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【方法技巧与总结】 利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 （1）注意基本不等式成立的条件； （2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； （3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 1．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）已知，则的最大值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．4 2．（2026·高三·重庆沙坪坝·开学考试）已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 3．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）若，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·江西九江·开学考试）已知 ，则代数式 的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．无最小值 5．（多选题）（2026·高一·湖北随州·阶段检测）下列说法正确的有（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．时，的最小值是 D．时，的最大值是 6．（多选题）（2026·高一·河南安阳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 7．（多选题）（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）设正实数、.满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 8．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）若，，则的最小值是__________． 9．（2026·高一·河南安阳·阶段检测）已知，则的最大值为______. 10．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为______. 11．（2026·高三·重庆·开学考试）已知，，则的最小值为________． 12．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为米，高度为米．现有制箱材料60平方米． (1)问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值． (2)求的最小值． 13．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）求下列各题中的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且，求的最小值； (4)已知，，且，求的最小值. 14．（2026·高一·河北衡水·开学考试）随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量P（单位：kW·h）与速度v（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. (1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； (2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 15．已知：，且，求使恒成立的参数的范围． 16．某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 1．（2026·高一·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 2．（多选题）（2026·高一·河南安阳·阶段检测）已知，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C． D．的最小值为3 3．（多选题）（2026·高一·湖南长沙·开学考试）已知， 且， 则（   ） A．x的最小值是 B．z的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 4．（多选题）（2026·高二·山西运城·期末）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 5．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知，，则的最小值为____________________． 6．已知，则的最小值为________． 7．已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 8．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 9．（2026·高一·河南安阳·阶段检测）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)设，求的最小值.（提示：若，，，则，当且仅当时，等号成立.） 10．若，求证：． 11．设，且，求证：． 12．为正实数，，求的最小值． 13．若正数，，，满足，求的最小值. 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2．2 基本不等式 目录 01 思维导图 2 02 知识回顾 3 知识点一：基本不等式 3 知识点二：基本不等式的证明 3 知识点三：均值定理 4 03 题型精讲 5 题型一：基本不等式概念辨析 5 题型二：均值不等式直接求最值 7 题型三：常数“1”整体代换 8 题型四：换元、消元简化变量 9 题型五：因式分解法 12 题型六：三元及多元均值求解 13 题型七：待定系数法配凑 15 题型八：均值不等式实际应用 17 题型九：均值不等式恒成立求参 19 题型十:齐次构造统一次数 21 题型十一：判别式万能K法求范围 22 题型十二:均值不等式证明 24 04 课后精练 27 05 培优拓展 35 知识点一：基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 知识点二：基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点三：均值定理 已知． ①若（和为定值），则当时，积取得最大值； ②若（积为定值），则当时，和取得最小值． 注意（1）此结论应用的前提条件是“一正”、“二定”、“三相等”．其中“一正”指正实数；“二定”指求最值时和或积为定值；“三相等”指满足等号成立的条件，即取等条件成立． （2）连续使用基本不等式要注意取值条件一致． 题型一：基本不等式概念辨析 【典例1】（2026·高一·北京·阶段检测）《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以. 在中，由射影定理可得，即， 由得， 故选：A 【变式1-1】（2026·高一·湖南岳阳·期中）下列结论正确的是（　　） A．当且时， 最小值为2 B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 【答案】B 【解析】选项A，因为，所以不满足“取等号时的条件”，故A不正确； 选项B，由，当且仅当等号成立，故B正确； 选项C，因为，不满足“各项必须为正”，所以当时，的最小值不可能为2，故C不正确； 选项D，当时，，所以的最小值不可能为2，故D不正确. 故选：B 【变式1-2】（2026·河北·三模）已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（    ） （1）； （2）上式当且仅当即时，等号成立； （3）所以当时，取得最小值 A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 【答案】D 【解析】根据条件，由基本不等式可知，（1）（2）均正确， 对于（3），由基本不等式知，求最小值，则需满足“一正二定三相等”的原则， 求和的最小值，需要乘积为定值，而不为定值，所以（3）错， 故选：D. 【变式1-3】下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，的最小值是 D．当时，的最小值为1 【答案】B 【解析】当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故A错误； 当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故C错误； 当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故D错误． 故选：B. 【方法技巧与总结】 应用基本不等式时的三个关注点 （1）一正数：指式子中的a，b均为正数． （2）二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值． （3）三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值． 题型二：均值不等式直接求最值 【方法技巧与总结】 模型：，当且仅当时等号成立； 【典例2】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 【变式2-1】（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 【变式2-2】（2026·高三·贵州·阶段检测）若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【解析】，解得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 【变式2-3】（2026·高一·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 题型三：常数“1”整体代换 【典例3】（2026·高一·陕西汉中·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ，，且， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，，满足，等号可取. ∴的最小值为. 【变式3-1】（2026·四川巴中·模拟预测）若正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，， 所以, 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 【变式3-2】（2026·高一·江西南昌·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，当且仅当时等号成立. 【变式3-3】（2026·高一·浙江·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A．64 B．8 C． D． 【答案】C 【解析】已知，且，对等式两边同除以，可变形得到： . . 由基本不等式，得：. 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【方法技巧与总结】 （1）根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． （2）条件不是“1”时，注意要先把系数化为“1”． 题型四：换元、消元简化变量 【典例4】（2026·高二·天津南开·期末）已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 【变式4-1】（2026·高二·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【答案】A 【解析】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 【变式4-2】（2026·高一·重庆渝中·期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 【答案】C 【解析】由条件正实数，，满足， 可得，所以， 当，即时，等号成立，此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值9，所以的最大值为9， 故选：C. 【变式4-3】（2026·高一·广西北海·期末）已知均为正实数，且，则的最小值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【解析】因为，， 又， 则， 由可得， 不妨设， 则问题转化为当时，求的最小值， ， 当，即时取得等号， 即，解得， 此时最小值是. 故选：D 【方法技巧与总结】 在不等式求解领域，针对含两个变量的问题（常见为二元二次结构，亦涵盖更高次情况），消参法是一种核心解题策略。其核心思路是：通过代数变形，用其中一个变量（或参数）表达另一个变量（或参数），将原本的双变量问题转化为单变量问题，随后借助基本不等式的性质（如 “一正、二定、三相等”）推导最值或不等关系。 尤其当遇到双元分式型问题时，消参法可进一步优化为 “双换元” 的具体操作形式：不再直接对原变量进行代换，而是选择两个分式的分母分别作为新的变量（即新参数），通过变量替换重构问题框架。这种方式能快速剥离原分式的复杂结构，将问题转化为新变量之间的不等关系，最终结合基本不等式或其他不等式工具完成求解。 题型五：因式分解法 【典例5】（2026·高一·河北衡水·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】B 【解析】由正数满足，可得， 所以，同理，将条件变形为， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 【变式5-1】（2026·高三·重庆北碚·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. 【变式5-2】（2026·高一·山东青岛·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【解析】由得， ，，，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式5-3】（2026·高一·陕西延安·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为，，所以，，又， 所以， 所以，当且仅当，时，等号成立. 故选：D. 题型六：三元及多元均值求解 【典例6】（2026·高一·江苏苏州·阶段检测）若实数、、满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由重要不等式可得，，， 由不等式的基本性质可得，故①， 当且仅当时，即当或时， 不等式①中的等号成立， 又因为， 解得， 当且仅当时，等号成立， 故，即的取值范围是. 故选：A. 【变式6-1】（2026·高二·河北保定·阶段检测）已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 三个等号可同时成立，所以 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为 ， 故选：A. 【变式6-2】（2026·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以 所以， 又，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 【变式6-3】（2026·高二·福建南平·期末）以max M表示数集M中最大的数．若，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】D 【解析】设，则.显然． ，当且仅当取得等号. ，当且仅当取得等号. 两式相乘，即，则. 此时，前面都要成立，则，，则. 的最小值为2,当且仅当取得最小值. 故选：D. 题型七：待定系数法配凑 【方法技巧与总结】 待定系数法配凑原理： 【典例7】（）为正整数，求的最小值为 _____. 【答案】4 【解析】由题意知，引入参数k，使之满足 , 当且仅当，且，即时，等号成立， 所以， 故的最小值为4. 故答案为：4. 【变式7-1】（2026·高一·重庆北碚�期中）已知x > 0，y > 0，，则的最小值为 _________ . 【答案】/ 【解析】原式= （当且仅当时等号成立） , （当且仅当时等号成立） 综合得当时，原式取到最小值. 故答案为： 【变式7-2】（2026·浙江�模拟预测）已知实数，，不全为，则的最小值是___，最大值是___． 【答案】 【解析】由，当且仅当时取等号， 得，当且仅当时取等号； 又，当且仅当，时等号成立. 故答案为：，. 【变式7-3】求 的最大值为______. 【答案】 【解析】因为，（当且仅当时取等号）， 所以(*)，要想此式为定值则分子分母对应系数成比例， 即，解得， 将代入(*)式，得：，（当且仅当时取等号）. 故 的最大值为. 题型八：均值不等式实际应用 【典例8】（2026·高一·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【解析】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 【变式8-1】（第六章概率）为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为非负整数）．已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多______百元代金券． 【答案】18 【解析】设抽奖一次可获得百元代金券，则的所有可能取值为， 摸到一红球一白球的概率， 摸到两白球的概率， 摸到两红球的概率． 则的分布列如下： a b ，即，． 由题意知，运气最好者获得百元代金券， 则， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最大值为18. 故答案为：18． 【变式8-2】（2026·高一·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【解析】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 【变式8-3】（2026·高三·河南新乡·期中）小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 【答案】 【解析】设底面长方形的长和宽分别为和，则， 纸的面积， 当时等号成立， 所以小李所用纸的面积的最小值为. 故答案为： 【方法技巧与总结】 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识（函数及不等式性质等）解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： （1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值． （4）正确写出答案． 题型九：均值不等式恒成立求参 【典例9】已知，若时，不等式恒成立，则的最小值是_________. 【答案】4 【解析】，， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式恒成立，则，即， 解得，所以， 则的最小值是. 【变式9-1】已知，若不等式恒成立，则实数的最大值是______． 【答案】 【解析】因为，故， 因为，故， 而，故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为，故，故实数的最大值是. 【变式9-2】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由，得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，则，解得， 则的取值范围是. 【变式9-3】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】由得，且 ， 故， 当且仅当即时等号成立. 故问题转化为，即， 解得，故实数m的取值范围为. 题型十:齐次构造统一次数 【典例10】（2026·高三·重庆·开学考试）已知正实数，满足，则的最小值为________． 【答案】6 【解析】正实数，满足，有， 由， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【变式10-1】（2026·上海浦东新·三模）已知，满足，则的最小值是______________． 【答案】 【解析】因为， 则， 则的最小值是，当且仅当时取等号． 【变式10-2】（2026·高二·广西贺州·期末）已知正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】∵ 正实数满足,∴ . ∴ . ∵ ，由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，符合为正实数的约束条件. ∴ 的最小值为. 【变式10-3】已知，，，则的最小值为____． 【答案】 【解析】由可得 ， 当且仅当，即，也即，时等号成立， 即的最小值为． 【方法技巧与总结】 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以相关变量得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 题型十一：判别式万能K法求范围 【典例11】已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 【变式11-1】（2026·高三·浙江·开学考试）已知实数满足，则的最小值是___________. 【答案】/ 【解析】令则， 由得，两边平方得， 化简得：， 令，则（※）有正的实数根， 因为当时，不成立， ， 则满足：，且， 即，且 解得, 当时，，此时（※）式的根为，即，，故的最小值为 故答案为： 【变式11-2】（2026·高一·重庆渝中·期中）若，，则当______时，取得最大值，该最大值为______. 【答案】 / / 【解析】令，则， 则， 即， 由，解得：， 故， 故，解得：，， 所以当且仅当，时，等号成立， 故答案为：， 【变式11-3】（2026·浙江·二模）设，，若，且的最大值是，则___________. 【答案】4 【解析】令=d，由消去a得：，即， 而，，则，，， 依题意，解得. 故答案为：4 题型十二:均值不等式证明 【典例12】已知，证明：. 【解析】， ， 当且仅当，即，时，等号成立， . 【变式12-1】（2026·高一·新疆·期末）对任意实数，.求证： 【解析】证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 【变式12-2】（2026·高一·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【解析】（1） 因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 【变式12-3】（2026·高一·安徽·阶段检测）已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【解析】（1） 由知，因此. （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. 【方法技巧与总结】 利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 （1）注意基本不等式成立的条件； （2）多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； （3）对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 1．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）已知，则的最大值为（     ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【解析】因为， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最大值. 2．（2026·高三·重庆沙坪坝·开学考试）已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【解析】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 3．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）若，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，所以，由基本不等式可得， ， 当且仅当，即时，取等号，此时取最小值为4. 4．（2026·高一·江西九江·开学考试）已知 ，则代数式 的最小值为（    ） A．2 B．4 C．3 D．无最小值 【答案】B 【解析】因为， 所以， 当且仅当 ，即 时取等号， 则代数式 的最小值为4. 5．（多选题）（2026·高一·湖北随州·阶段检测）下列说法正确的有（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．时，的最小值是 D．时，的最大值是 【答案】BCD 【解析】对选项A，成立的条件是，题目没有限定，故A错误； 对选项B，由，解得， 则，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对选项C，因为，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对选项D，， 又，则，当且仅当，即时等号成立， 所以， ，即的最大值是，故D正确. 6．（多选题）（2026·高一·河南安阳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】A.∵，∴不等式同乘以可得， 不等式同乘以可得，即，A正确. B.取时，此时，B错误. C.∵，且，∴,即，C正确. D.∵，， ∴，， ∴，D正确. 7．（多选题）（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）设正实数、.满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABC 【解析】正实数、满足， ， 当且仅当且，即时取等号， ∴的最小值为3，故A正确； ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1，则B正确； 因为， 当且仅当时，等号成立，所以， 的最大值为2，故C正确； 因为， 由B项知，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2，故D错误， 8．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）若，，则的最小值是__________． 【答案】9 【解析】由题可得， 又，，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故此时的最小值为. 9．（2026·高一·河南安阳·阶段检测）已知，则的最大值为______. 【答案】 【解析】已知，因此，， 对原式平方，展开得：， 由基本不等式得：， 当且仅当，也就是时等号成立， 代入平方可得：， 由于，两边开平方得，即最大值为. 10．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为______. 【答案】36 【解析】已知实数满足，即，所以， 当且仅当时取等，解得，所以的最小值为36. 11．（2026·高三·重庆·开学考试）已知，，则的最小值为________． 【答案】/ 【解析】由，，得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 12．（2026·高一·山东济宁·阶段检测）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为米，高度为米．现有制箱材料60平方米． (1)问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值． (2)求的最小值． 【解析】（1）由题意，，即，，， 所以，即， 解得，当且仅当，即，时等号成立， 因为，所以． 即当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米． （2）由得 所以 当且仅当即时，等号成立． 所以的最小值是 法二：由得， ，当且仅当 即时，等号成立． 所以的最小值是 13．（2026·高一·宁夏银川·阶段检测）求下列各题中的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且，求的最小值； (4)已知，，且，求的最小值. 【解析】（1）由，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）由，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （3）由，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （4）由，，且， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，解得或， 所以，所以的最小值为. 14．（2026·高一·河北衡水·开学考试）随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段（汽车行驶速度不低于40km/h）测试发现：汽车每小时耗电量P（单位：kW·h）与速度v（单位：km/h）的关系满足；相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路（最低限速40km/h，最高限速120km/h）匀速行驶到距离为500km的B地，出发前汽车电池存量为75kW·h，汽车到达B地后至少要保留5kW·h的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计）. (1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由； (2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15kW（充电量＝充电功率×时间），求到达B地的最少用时（行驶时间与充电时间总和）. 【解析】（1）不能；理由：由题意该车匀速行驶，则可得时间为， 所需总电量为， 因为kW·h， 当且仅当km/h时取等号， 因为出发前汽车电池存量为kW·h，所以不能到达地. （2）设行驶时间为，充电时间为，总时间， 则可得，即，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以最少时间为. 15．已知：，且，求使恒成立的参数的范围． 【解析】因为，且， 所以， 当且仅当，且时成立，即，时，等号成立． 则的最小值为，故要使恒成立，只需即可． 即a的取值范围为． 16．某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 【解析】设网箱长为米，则宽为米. 网衣（实线）造价：；筛网（虚线，3条平行于宽、1条平行于长）造价：；底面造价：. 所以. 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以，即当时，最低造价为元. 1．（2026·高一·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 2．（多选题）（2026·高一·河南安阳·阶段检测）已知，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为 C． D．的最小值为3 【答案】CD 【解析】对于A，由，，， 则， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B，由，，，得，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 而，则的最大值不为，故B错误； 对于C，由，，， 则， 即，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，由，，， 则， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 3．（多选题）（2026·高一·湖南长沙·开学考试）已知， 且， 则（   ） A．x的最小值是 B．z的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A：由，故，故A错误； 对于B：则，故，故B正确； 对于C：令，则， 且， 则依题意 ， 因此，当时取等号，故C正确； 对于D： ， 即，当且仅当时取等号，故D正确． 4．（多选题）（2026·高二·山西运城·期末）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 5．（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知，，则的最小值为____________________． 【答案】 【解析】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 6．已知，则的最小值为________． 【答案】1 【解析】 ； 当且仅当，即时，等号成立，故最小值为1． 7．已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】， 当且仅当，即，时，等号成立． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为，此时，，，． 8．（2026·高一·福建宁德·阶段检测）已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 【答案】 / / 【解析】因为， 所以， 因为，所以，当且仅当，时等号成立， 所以当，时，取最大值， 所以当取最大值时，，，， 所以， 所以，， 所以当时，取最小值. 此时，， 9．（2026·高一·河南安阳·阶段检测）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最大值； (3)设，求的最小值.（提示：若，，，则，当且仅当时，等号成立.） 【解析】（1）由已知，，得， 所以， 当且仅当时，又，即时，等号成立； 即的最小值为. （2）由已知得，因此 ， 由可得，当且仅当，即时等号成立； 因此，此时符合条件， 即的最大值为 （3）将代入得 ； 对，有， 当且仅当即，时等号成立； 此时，符合条件，因此， 即的最小值为 10．若，求证：． 【解析】由，得， 设，， 因此 ， 而，则，当且仅当时取等号，所以． 11．设，且，求证：． 【解析】证明：令， 则 . 若证，即证，也即. ①当某个变量等于0时，不妨设，即，则，不等式成立. ②当三个变量均不为零时，即，则， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 即，当且仅当时，等号成立. 所以，即，当且仅当时，等号成立． 所以，当且仅当时，等号成立． 故成立. 综上，当，且时，. 12．为正实数，，求的最小值． 【解析】由可得, 变形得, 所以 , 当且仅当,,时等号成立． 13．若正数，，，满足，求的最小值. 【解析】由正数，，，满足，得正数，，，均小于， 而， 当且仅当，即时取等号， 因此，当且仅当，即时取等号； 同理，当且仅当，即时取等号； ，当且仅当，即时取等号； ，当且仅当，即时取等号， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以所求的最小值为. 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $