第03讲 三角形的内角与外角【考点梳理+知识总结+9大题型+查缺补漏+课后作业】2026-2027学年人教版八年级数学上册

第03讲：三角形的内角与外角 一、考点梳理 定理：三角形纳角和定理 三角形内角和 证明：三角形纳角和定理证明 表述：三角形内角和定理数学语言表述 三角形中的 线段和角 定义：三角形外角定义 三角形外角 性质：三角形外角性质 证明：三角形外角性质证明 二、知识总结 知识点一、三角形的内角 1.三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的三个内角之和恒等于180°。 2.数学语言表述：在△ABC中，∠A+∠B+∠C-180°。 3.三角形内角和定理的证明： 已知：△ABC的三个内角分别为∠A,∠B,∠C; 求证：∠A+∠B+∠C=180°。 证明：过点A作直线MN,使之与BC边平行（或相交于BC的延长线）。线N,使MN∥ BC. 、、 MN∥BC, ∴LB=∠MAB,∠C=∠NAC, '∠MAB+∠NAC+∠BAC180, ∴∠B+∠C+∠BAC=180°，即∠BAC+∠B+∠C-=180°， 4.直角三角形 (1)有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。 如图所示，在4BC中，∠C=90°，则4BC为直角三角形： (2)有两个内角互余的三角形是直角三角形。 如图所示，在44BC中，∠4+∠B=90°，则△4BC为直角三角形。 A B 知识点二、三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。。 如图所示，在△ABC中，∠4CD是△ABC的一个外角，它的相邻内角是∠4CB,不相邻两内角分 别为∠A、LB. C 2.三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3.三角形外角性质的证明： 己知：如图5，∠4CD是的一个外角。 求证：∠ACD=∠A+B. 证明：方法一：△ABC中，∠A+∠B+∠4CB=180° ∠4CD+∠ACB=180. .∠ACD=∠A+B； 方法二：过点C作CE∥AB,如图， A E B C D .:CE∥AB .∠ACE=∠A,∠DCE=∠B. ∴.∠ACD=∠ACE+LDCE=∠A+∠B」 三、常考的题型 ▣互薄 动弱 讲诊 考点一、三角形内角和定理的证明 款 1.李想同学想知道三角形ABC内角和的度数，下面拼法中正确的是() B B D B 。☒ 2.在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不 能证明“三角形的内角和是180°”的是() E.C. ① 2 ③ ④ A.图①过点C作EF‖AB B.图②作CD⊥AB于点D C.图③过AB上-点D作DF‖AC,DE‖BCD.图④延长AC到点F,过点C作 CE‖AB 3.下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（) 己知：△ABC.求证：∠A+∠B+∠ACB=180°. 证明：如图，过点C作DE‖AB. .DE‖AB(已知)， ∠B=∠太，∠A=∠■（①）. .·∠1+∠2+∠ACB=180°（②）， ∴.∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）. A 2 E B D A.★处填2 B.■处填1 C.①内错角相等，两直线平行 D.②平角定义 4.如图，在△ABC中，试说明：∠A+∠B+∠C=180°. B 5.【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为 180。,现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了. 图 图2 图3 图4 (1)如图1，过△ABC的顶点A作BC的平行线ED,请你证明三角形的内角和为180°. 证明：，BCED, ∴.∠EAB=∠B,∠DAC= （依据是： .∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°（平角的定义） ∴.------+∠BAC+------=180°（等量代换） 即三角形的内角和为180°. 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能. 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢.自行车的示意 图如图2，其中ABCD,请你求∠AEC,∠EAB,∠ECD这三个角的关系： 【学以致用】 (3)如图3是超市购物车，图4是其侧面示意图，己知ABCD,FD⊥CD,测量得知 ∠ABE=70:∠BEF=90,则∠DFE=—· 考点二、三角形内角和定理的直接应用 6.如图，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°，则∠DAE的度数 为() ED A.10° B.15° C.20° D.25° 7.如图，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线.若设∠B=c,∠C=Ba>B,则用a,B 表示∠DAE的关系式为() B D E A.90°-a+β B.a-β C.a-B D.+B 2 2 8.把一副三角板（∠A=∠B=45°，∠D=60°，∠E=30°）按如图所示摆放，若DEBC, 则∠1的度数为() A D E 1 B A.30° B.45° C.60° D.120 9.一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中∠A=45°，∠F=60°，点E在CB的延长线 上，点D在AB上.若DFCE,则∠EDB的度数为 D F B E 10.如图，△ABC中，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，交边BC于点E, ∠BCD=30°，∠ACB=80,求∠AEB的度数. 考点三、直角三角形中锐角互余的应用 11.在△ABC中，不能确定△ABC是直角三角形的是() A.∠A+∠B=∠C B.∠A:∠B:∠C=1:2:3 C.∠A=90°-∠B D.∠A=∠B=∠C 12.如图，直线ab,直线AB⊥AC,若∠1=52°，则∠2=() A不2 C A.52° B.48° C.38° D.30° 13.如图，直线OA与OB相交于点O,点C在直线OA上，CD⊥OB于点D,DE‖OA,若 ∠OCD=55o,则2BDE的度数为() C E B D A.55° B.45° C.35° D.25° 14.将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是() 60° 45° A.15° B.20° C.25 D.30 15.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC,交BC于点E. B D E (I)若∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE,∠AEC的度数； (2)若∠B>∠C,试猜想∠DAE与∠B-∠C有何关系，并证明你的猜想。 >。☒ 考点四、锐角互余判定直角三角形 16.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是() A.∠A=90°-∠B B.∠A+∠B=∠C C.AB:BC:AC=1:2:3 D.AC是BC边上的高 17.下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（) ①∠A+∠B=∠C' ②∠A:∠B:∠C=1:1:2' ③∠A=∠B=1∠ 2<C, ④∠A=2∠B=3∠C A.①②③ B.①②④ c.①③④ D.②③④ 18.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，直线DE与AC,BC分别交于D,E两点.若 ∠DEC=∠A,则△EDC是 19.如图，AB⊥CD,垂足为B,E是线段AD上一点，CE交AB于F,∠A=∠C.求证： △CED是直角三角形. 10 E F B D 20.如图，E是△ABC中AC边上的一点，过点E作ED⊥AB,垂足为D,∠1=∠2.求证： △ABC是直角三角形. D E 2 B >厂1☒ 考点五、三角形内角和+平行线综合 21.如图，直线ab,直角△ABC的顶点A在直线b上，已知∠B=90°，∠C=30°，边AC, BC与直线a分别相交于点D'E'若∠CED=50:则∠1的度数为) E D B A A.30° B.40° C.50° D.60° 22.如图，直线a‖b,将直角三角板ABC按如图所示的方式放置，顶点A,C分别落在直线 a,b上，∠ACB=90°，∠BAC=30°，若∠1=20°，则∠2的度数是() A.30° B.40° C.50° D.60° 23.如图，四边形ABCD中，点G是BC上一点，过点G作（‖AB,GF‖CD,若 ∠A+∠D=123:则∠EGF= G 12☒ 24.己知：如图，EF‖CD,GD‖CA E (1)求证：∠1+∠2=180°： (2)若CD平分∠ACB,DG平分∠CDB,且∠A=35°，求∠ABC的度数. 25.如图，直线分别交直线1和l2于点A、C,且l1‖l2,点F在直线l1上且在点A右侧，过点A 作AE平分∠CAF交l2于点E,过点E作直线FH,交l于点H,在线段HF上取点G,连接CG, 且满足∠GCH=∠AEC. (1)CG与AE是否平行？为什么？ (2)若∠AFE=90°，∠AC=56°，求∠CGE的度数. >T ☒ 13 考点六、三角形内角和+角平分线综合 26.如图，在△ADE中，DB⊥AE于B,AC平分∠EAD交BD于F,交ED于C, ∠AEC=60,∠ADB=20:则∠ACE=（） B A.70° B.75° C.85° D.95° 27.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACB,如果∠A=82°，那么∠BEC= 28.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O. (1)若∠A=70°，求∠BOC的度数； (2)若∠A=m,求∠BOC的度数； (3)若∠BOC=3∠A,求∠A的度数， 14☒ 29.已知，如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，且∠ADE=68°， ∠B=105o: (1)求∠DAE的度数： (2)求∠C的度数. 30.如图，在△ABC中，AD,AE,AF分别是△ABC的高、角平分线、中线. F E D 15 ☒ (I)若△ABF的面积为5，则△ABC的面积； (2)当∠B=30°，∠C=50时，求∠DAE的度数. (3)若AB=10,△ABF的周长比△ACF的周长多2，求AC的长度. 考点七、三角形内角和+折叠问题 31.如图，将直角三角形纸片ABC的直角C沿EF折叠，点C落到纸片内部的点C处.如果 ∠EFC'=47o,那么∠CEF=—。 32.如图，点E,F分别在△ABC的边AB,AC上，将∠A沿EF折叠，使点A恰好落在BC边 上A处，己知∠1+∠2=110°，则∠A的度数为() 16 A E 2 B A.50° B.55° C.60° D.65 33.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得 ∠1=50'∠2=150：则∠A=（） D A.50° B.40° C.30° D.20° 34.如图，小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N,将纸片沿着BN对折一次使得 点A落在A处后，再将纸片沿着BA对折一次，使得点C落在BN上的C处，已知 ∠CMB=68,∠A=18,则原三角形中∠C的度数为() B A.90° B.88 C.87o D.86 35.如图，△ABC是一张纸片，把∠C沿DE折叠，使点C落在点C的位置， 17 B (1)当∠C=45时，求∠1+∠2的度数. (2)若∠C=Q,请直接写出∠1+∠2的度数.（用含a的代数式表示） 考点八、三角形外角的定义及基础性质应用 36.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=50°，∠ACD为 度. B D 37.三角形的外角与和它不相邻的两个内角之间的关系是() A.外角等于和它相邻的内角 B.外角等于和它不相邻的两个内角之和 C.外角小于和它不相邻的任意一个内角 D.外角与和它不相邻的两个内角没有关系 18 38.如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°.求 ∠DAC的度数. A 1 12 34 B D C 39.如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，∠ACD=120°，∠BAC=50°， 120° B E C D (1)求∠B的度数： (2)若AE平分∠BAC,交BC于点E,求∠AEC的度数. 40.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=60°，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线. 求∠DCA的度数. ☒ 19 考点九、三角形内外角性质的综合 41.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,CE平分∠ACB交BD于点E.当∠BAC=a时， ∠CED的度数为() D A.135°-2a B.2a C5+0 D.901a 2 42.如图，CE⊥AF,垂足为E,CE与BF相交于点D,∠F=40°，∠C=30°，则∠DBC 的度数为 20 ☒ D 43.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，把三角形ABC沿BC方向平移得到三角形 DCF,BH平分∠ABC分别交AC、CD、DF于点GEH则下列结论不一定正确的是 A.AD‖BF B.AD=BC C.∠AGH=∠FBH+∠FDC D.∠FBH=∠CDF 44.△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AE为BC边上的高. 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠B=40°，∠C=70°，请求∠DAE的度数： (2)如图2（∠B<∠C),，试说明∠DAE,∠B,∠C的数量关系： 21≤ (3)如图3，延长AC到点F,∠CAE和∠BCF的平分线交于点G,请直接写出∠G的度数. 45.已知点C在线段BD上，点A和点E在线段BD同侧，且∠B=∠D=∠ACE=a. E 图1 图2 图3 (1)若a=90°： ①如图1，∠A=70°，则∠ECD= ②如图2，分别作∠BAC、∠CED的角平分线并交于点P,则∠APE= (2)当点E在线段AD上时，求证：∠BAC=∠DCE.请在图3中完成下列证明过程： 证明：.'∠DCA=∠BAC+∠ 又∠B=∠ACE, >22☒ .∴.∠BAC=∠DCE (3)分别作∠BAC,∠CED的角平分线AF,EG: ①若AF‖EG,则a= ②若直线AF与直线EG交于点P,直接写出∠APE的度数（用含a的代数式表示）. 四、查缺补漏 ▣▣互薄 动弱 讲诊 1.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且 题断 ∠A=45。·∠F=30°.若BCEF:则∠CED的度数是() D A.5° B.10° C.15° D.20° 2.如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在FD的延长线上，点C、F分别为直角顶 23 点，且∠A=60°，∠E=45°，若AB‖CF,则∠CBD的度数是() A.15° B.20° C.25° D.30° 3.如图，在△ABC中，∠B=80°，点D在△ABC内部，且到三边的距离相等，则∠ADC的 度数为() B A.100 B.120 C.130° D.160° 4.在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助 线，其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有() E---- E ①过点C作EF‖AB ②延长AC到点F,过点C作CE‖AB 3 ③作CD⊥AB于点D ④过AB上-点D作DE‖BC,DF‖AC A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图，在三角形纸片ABC中，D,E分别是边AB,AC上的点，将三角形纸片沿DE折叠， 使点A落在BC边上的点F处，若EF⊥AC,∠BDF=68°，则∠A的度数为() A.68° B.72° C.79° D.82° 6.如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，若∠1+∠2=108°，则∠A的度 数为() A D 2 F A.72 B.54° C.36° D.108 7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的度数为5x-35,则x的取值范围为() B 25 ☒ A.X>7 B.7<X<11 C.7<x<25 D.11<x<23 8.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,点E,F分别在边BC,AC上，∠AEF=2∠AFE, ∠ABC的角平分线与∠AEF的角平分线交于点P,若∠FEC=26。:则∠p的度数为（） A.39° B.52 C.65° D.78 9.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D,垂足为点E. D B (1)若AE=2cm,△BCD的周长为20cm,则△ABC的周长为 cm; (2)若CD平分∠ACB,∠A=50°，则∠B的度数为 10.如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,AE平分∠BAC交BC于点E,若 ∠C=3∠B=78,则∠DAE的度数为 B 26 ☒ 11.如图，AB⊥BC于点B,CD⊥BC于点C,点E在线段BC上，且AE⊥DE.AF、DF分 别平分∠BAE和∠CDE,则∠F的度数是 Bh 12.如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线.若∠ACB=80°， ∠BCD=30,则∠AEB的大小是—度， 13.已知点E为△ABC中AB边上一点，连接CE,∠A=10°，∠B=50°，当△BCE为直角 三角形时，则∠ACE的度数是 14.如图，点D在△ABC的边BA延长线上，点E在边BC上，连结DE交AC于点F, ∠C=∠D (1)求证：∠DAC=∠CED: > 27☒ (2)若∠AFD=60°，∠DFC=3∠B,求∠BED的度数. 15.【课本再现】（人教版数学教材七年级下册第25页第14题） (1)如图1，直线DE经过点A,DE‖BC,∠B=44°，∠C=57°.则∠DAB=°，∠EAC= o∠BAC=-o: (2)通过这道题的解答，在不知道∠B,∠C的度数的情况下，你能说明为什么三角形的内角 和是180吗？请写出你的证明过程. D D 图1 图2 【拓展应用】 (3)如图2，已知△ABC,若D点是△ABC外-点.猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD 有怎样的关系？并进行证明. 16.如图1，将一个含30°角的三角尺的斜边紧靠直尺的边缘，过点E作直尺另一边缘的垂线， 垂足为A,交CD于点G 图1 图2 28 (1)求∠AED的度数（注：三角形三个内角的和等于180°）. (2)沿直尺的边缘水平向左推动三角尺，点A的位置同图1，如图2. ①在这个过程中，∠AE-∠AED的值是否保持不变？若不变，请求出这个差；若改变，请 说明理由， ②已知AM平分∠AE,∠MDC=号∠GDE,若∠ABD与∠M互余，求∠AE的度数 17.如图，在△ABC中，AE是△ABC的高，∠B=38°，∠ACB=62°， B DE C 图1 图2 【探究发现】 (1)如图1，若AD是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数； 【迁移拓展】 (2)如图2，延长AC到点F,∠CAE和∠BCF的平分线交于点G,求∠G的度数. 五、课后作业 ▣互薄 动弱 讲诊 题断 29 ☒ 1.如图，AB‖CD,直线EF分别与AB,CD交于点E,F,EG平分∠BEF,交CD于点G. 若∠2=58°，则∠1的度数是() B 2 -D G A.64° B.58° C.54° D.50° 2.如图，三角尺ABC的顶点A,B分别在直线l1,12上，若l112,且BA平分∠CBD,则∠2 的度数是() A 30 1 D B A.20° B.30 C.45° D.60 3.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在AC边上的点E处， 若∠A=21°，则∠BDC等于() E B A.42° B.63 C.66° D.76 4.如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的平分线， 30 反向延长BF和CG交于点H.若∠A=70°，则∠H的度数为() B 70 G A.60° B.55° C.50° D.45° 5.如图，P,C分别为∠AOB两条边上的点，NP⊥OB,P为垂足，且∠MPN=∠CPN. 若AO‖MP,∠AOB=52°，则∠OCP的度数为() M B A.65 B.70°1 C.75° D.76 6.小明在物理课上学习完《判断重力的方向》后，将课本上的实物图（图1）抽象成为几何图 形（图2），对同桌说：“如图，若DC⊥BC,OBDC,且a=24°，则∠AOB的度数为 ()” 0=24° E 图1 图2 31☒ A.104° B.114° C.124° D.156° 7.在△ABC中：（下列所填三角形按角分类） (1)若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则此三角形是 三角形： (2)若∠A-∠B=∠C,则此三角形是 三角形： (3)若∠A=2∠B=3∠C,则此三角形是三角形； (0若之A号<B日<C,则此三角形是 三角形. 8.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的高，点F是两条高线的交点，若 ∠A=70,∠FBC=15:则∠FCB=— D E 9.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠ABC=50°. E D (1)求∠C的度数： (2)若∠BDE=30°，DE‖BC交AB于点E,求证：△BDC是直角三角形. 10.如图，在△ABC中，D,E分别在AB,AC上.已知DE‖BC,CD平分∠ACB,过点E 作∠AED的平分线交AB于点G. >9☒ D (I)求证：CD: 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：，DE‖BC, .∠AED=∠ACB(两直线平行，同位角相 等)，① :CD平分∠ACB'GE平分∠AED ∴∠GBD3∠AED,∠DCB=克∠ACB.② ·∠GED=∠DCB③ .≥‖CD (同位角相等，两直线平行)·④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题 (填写①，②，③或 ④)，说出错误原因并将其改正， (2)过点B作∠ABC的平分线BF交CD于点F,若∠A=52°，∠AED=80°，求∠BFC的度数. 11.已知：如图，BF平分∠ABD,DE平分∠BDC交BF于点E,BF交CD于点F,∠1=∠3. A B E D (I)请说明AB‖CD的理由： (2)若∠2=25°，求∠3的度数； (3)若∠ABD=140°，求证：DE⊥BF. 12.如图(1)已知△ABC的外角∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P,如图(2)已知 △ABC的内角LABC与外角LACD的角平分线相交于点P, 选择其中一个图形猜想∠BPC与∠A的关系并证明你的猜想. 解：我选择的是 猜想结论： 35 ☒ 证明： B 图(1) 图(2) x ☒ 36 第03讲：三角形的内角与外角 一、考点梳理 二、知识总结 知识点一、三角形的内角 1.三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的三个内角之和恒等于180°。 2.数学语言表述：在△ABC中，。 3.三角形内角和定理的证明： 已知：△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C； 求证：∠A+∠B+∠C=180°。 证明：过点A作直线MN，使之与BC边平行（或相交于BC的延长线）。线MN，使MNBC． ∵MNBC, ∴∠B=∠MAB,∠C=∠NAC,   ∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°,   ∴∠B+∠C+∠BAC=180°,  即∠BAC+∠B+∠C=180°． 4.直角三角形 （1）有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。 如图所示，在中，，则为直角三角形； （2）有两个内角互余的三角形是直角三角形。 如图所示，在中，，则为直角三角形 。 知识点二、三角形的外角 1.定义;三角形的一边与另一边的延长线组成的角。。 如图所示，在△ABC中，是的一个外角，它的相邻内角是，不相邻两内角分别为、.         2.三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3.三角形外角性质的证明：  已知：如图5，是的一个外角。 求证：． 证明：方法一：中，， ∵， ∴； 方法二：过点C作，如图，   ∵   ∴，，    ∴． 三、常考的题型 考点一、三角形内角和定理的证明 1．李想同学想知道三角形内角和的度数，下面拼法中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】将三角形三个内角拼在一起，若顶点重合、相邻边重合且组成平角，则验证了内角和为． 【详解】解：验证三角形内角和，需将三个内角拼在一起组成平角， ∵平角等于， ∴ 正确的拼法应使三个角的顶点重合，相邻边重合，且三个角之和构成平角， A选项拼法中角未紧密拼接，错误，该选项不符合题意； B选项拼法中边未重合，错误，该选项不符合题意； C选项拼法中角未构成平角，错误，该选项不符合题意； D选项拼法中三个角顶点重合，相邻边重合，构成平角，正确，该选项符合题意． 2．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的证明 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键． 作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：A、由， 得，． 由， 得． 故A不符合题意； B、由于D， 得， 无法证得三角形内角和是． 故B符合题意； C、由， 得，，． 由， 得，， 那么． 由， 得． 故C不符合题意， D、由， 得，． 由， 得． 故D不符合题意； 故选：B． 3．下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ） 已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）．    A．★处填2 B．■处填1 C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义 【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的证明 【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可． 【详解】证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴1，2（两直线平行，内错角相等）． ∵（平角定义）， ∴（等量代换）．    故选D 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． 4．如图，在中，试说明：． 【答案】解：过点作， 则，， 因为， 所以． 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】过点作，则，，根据平角的定义即可得出结论． 【详解】略 5．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为． 证明：∵， ∴，______（依据是：______） ∵（平角的定义） ∴（等量代换） 即三角形的内角和为． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图，其中，请你求，，这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图是超市购物车，图是其侧面示意图，已知，，测量得知，，则______． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；； (2) (3) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形内角和定理的证明 【分析】（1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得，，等量代换即可得，，这三个角的关系； （3）作，，由平行线的性质可得，，据此计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换） 即； （3）解：如图，作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 作，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 考点二、三角形内角和定理的直接应用 6．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数为（    ） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】在三角形ABC中，由∠B与∠C的度数求出∠BAC的度数，根据AE为角平分线求出∠BAE的度数，由∠BAD﹣∠B即可求出∠DAE的度数． 【详解】解：∵∠B＝30°，∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°， 又∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠BAC＝50°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°， 则∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝10°， 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的概念等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解本题的关键． 7．如图，，分别是的高和角平分线．若设，，则用，表示的关系式为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，由高的定义得到，则，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 8．把一副三角板（，，）按如图所示摆放，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，由平行线的性质可得，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 9．一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，点在的延长线上，点在上．若，则的度数为______． 【答案】/15度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查平行线的性质，求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数，关键是由平行线的性质推出． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 10．如图，中，是边上的高，是的平分线，交边于点，，求的度数． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】根据直角三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的性质得出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 考点三、直角三角形中锐角互余的应用 11．在中，不能确定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的分类、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】利用三角形内角和，结合各选项的角度关系推导内角度数，判断是否存在直角． 【详解】解：已知三角形内角和为， A.∵，∴，即，解得，∴能判定是直角三角形； B. 设，，，则，即，解得，∴，∴能判定是直角三角形； C. ∵，∴，∴，∴能判定是直角三角形； D. ∵，∴，即，解得，∴，，∴不能判定是直角三角形． 12．如图，直线，直线，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、两直线平行同位角相等、根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】利用直角三角形两锐角互余和两直线平行同位角相等求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 13．如图，直线与相交于点，点在直线上，于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据垂直的定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余可以求出，根据两直线平行，同位角相等即可求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，， ， ， ， ． 14．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余 【详解】解：如图， 根据三角板的度数可知：，， ． 15．如图，在中，于点D，平分，交于点E． (1)若，，求，的度数； (2)若，试猜想与有何关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)猜想：； 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即此时在左侧， ∴ ． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）先根据三角形内角和定理得出，再根据角平分线定义求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，根据三角形外角性质求出； （2）根据角平分线定义，结合三角形内角和定理得出，根据直角三角形两锐角互余得出，，最后根据角度间关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 考点四、锐角互余判定直角三角形 16．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、与三角形的高有关的计算问题、三角形内角和定理的应用、锐角互余的三角形是直角三角形 【详解】解：对于选项A：由可得，根据三角形内角和定理可得，则是直角三角形，故A不符合题意； 对于选项B：∵， 又∵， ∴，即， ∴是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C：∵， 设 ∴， ∴、、无法构成三角形，故C符合题意； 对于选项D：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意． 17．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） ， ，   ，   ． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各条件进行分析判断即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴不能判定为直角三角形． ∴ 能判定的条件是． 故选：A． 18．如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是______________． 【答案】直角三角形 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A进而可得出结论. 【详解】解: 在Rt△ABC 中， ∵∠B＝90°, ∴∠A+∠C=90°, ∵∠DEC＝∠A, ∴∠DEC+∠C=90°, ∴∠EDC=90°, ∴△EDC 是直角三角形, 故答案为 直角三角形. 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形，是基础知识要熟练掌握. 19．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】 证明： ， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【知识点】三角形内角和定理的应用、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】略 20．如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 【答案】 证明：在中， ， ． ， ． 是直角三角形． 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形 【详解】根据已知条件证明，再由有两个角互余的三角形为直角三角形，即可判定是直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，利用两锐角互余的三角形为直角三角形是证明此题的关键． 考点五、三角形内角和+平行线综合 21．如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 22．如图，直线，将直角三角板按如图所示的方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等、根据平行线的性质求角的度数、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．先求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，根据平角的定义即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵直线， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 23．如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则___________°． 【答案】57 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 24．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ， ∵， ， ； (2) 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（ 1）根据平行线的性质得到，，即可证明结论； （2 ）根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义得到，进而求出的度数，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 平分， ， ， 平分， ， ． 25．如图，直线分别交直线和于点、，且，点在直线上且在点右侧，过点作平分交于点，过点作直线，交于点，在线段上取点，连接，且满足． (1)与是否平行？为什么？ (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由： 因为， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由题意易得，，则有，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后根据三角形内角和及平行线的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：因为，平分， 所以． 又因为， 所以． 因为， 所以． 考点六、三角形内角和+角平分线综合 26．如图，在中，于平分交于F，交于C，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据得出，由可得出的度数，由平分可得出的度数，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 27．如图，在中，平分，平分，如果，那么______°． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出． 【详解】 ， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 28．如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出，然后结合角平分线的定义得到，然后利用三角形内角和定理求解； （2）同（1）求解即可； （3）结合（2）中的结论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：由（2）得，， ∵， ∴， 解得． 29．已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答； （2）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答． 【详解】（1）解：是的高， ． ． （2）解∶是的角平分线． ． ． 30．如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为，则的面积______； (2)当，时，求的度数． (3)若，的周长比的周长多，求的长度． 【答案】(1)10 (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、根据三角形中线求面积、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据是的中线，的面积为，即可求出的面积； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质以及三角形的高进行求解即可； （3）根据是的中线，得到，由的周长比的周长多，推出，即可求解． 【详解】（1）解： 是的中线，的面积为， ； （2）解： ，， ， 平分， ， 是的高， ， ， ； （3）解： 是的中线， ， 的周长比的周长多， ， 则， ， ． 考点七、三角形内角和+折叠问题 31．如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么________． 【答案】43 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用、折叠问题 【分析】由折叠的性质得出，再由三角形内角和定理得出． 【详解】解：由折叠的性质可知：， ∵， ∴． 32．如图，点，分别在的边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上处，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】根据可以求出，根据折叠的性质可以求出，利用三角形的内角和定理即可求出． 【详解】解：， ， 由折叠可知，， ， 在中， ． 33．如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】根据四边形内角和求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 34．如图，小明从一张三角形纸片的边上选取一点N，将纸片沿着对折一次使得点A落在处后，再将纸片沿着对折一次，使得点C落在上的处，已知，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】根据折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可得，进而可得原三角形的的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知，则， ，，, 即， 解得． 35．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点八、三角形外角的定义及基础性质应用 36．如图，在中，，，为________度． 【答案】110 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【详解】解：． 37．三角形的外角与和它不相邻的两个内角之间的关系是（     ） A．外角等于和它相邻的内角 B．外角等于和它不相邻的两个内角之和 C．外角小于和它不相邻的任意一个内角 D．外角与和它不相邻的两个内角没有关系 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【详解】解：由三角形的外角性质可知，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 38．如图，在中，D是上一点，，，．求的度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），设，  结合，将、用x表示出来；在中，利用内角和定理列出关于x的方程，求出x；最后在内，同样根据内角和定理求出的度数． 【详解】解：设，则． ∵， ∴， ∴． 39．如图，在中，点在的延长线上，，． (1)求的度数； (2)若平分，交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义 【分析】（1）利用三角形外角等于不相邻两内角和，变形求出的度数； （2）先由角平分线求出，再用三角形外角性质求出． 【详解】（1）解：是的外角， ， ，， ． （2）解：∵平分，且， ， 据（1）可知， 又点在上， ． 40．如图，在中，，，是的外角的平分线．求的度数． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】先由外角的定义求得的度数，再由角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵平分， ∴． 考点九、三角形内外角性质的综合 41．如图，在中，平分，平分交于点．当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，由平分，平分，则，，通过三角形内角和定理可得，最后通过三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 42．如图，，垂足为，与相交于点，，，则的度数为______． 【答案】/100度 【知识点】垂线的定义理解、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了垂直定义，三角形的内角和定理，三角形外角性质，由，则，再通过三角形内角和定理可得，最后由三角形外角性质即可求解，熟记性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 43．如图，在直角三角形中，，把三角形沿方向平移得到三角形平分分别交于点、、．则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，根据平移的性质即可判断A，B正确，根据角平分线的定义以及三角形的外角的性质，即可判断C选项，根据D选项以及三角形内角和定理得出，结合题意即可求解． 【详解】解：∵把三角形沿方向平移得到三角形 ∴，，故A、B正确，不符合题意； ∵平分 ∴ ∴，故C正确，不符合题意； 当时，， 则 又∵， ∴ ∴，而不一定成立，故D不一定正确，符合题意； 故选：D． 44．中，为的平分线，为边上的高． (1)如图1，若，，请求的度数； (2)如图2（），试说明，，的数量关系； (3)如图3，延长到点，和的平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求的度数，进而求解即可得出结论； （2）根据（1）的推理方法可求解，，的数量关系； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：∵和的角平分线交于点G， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 45．已知点C在线段上，点A和点E在线段同侧，且． (1)若： ①如图1，，则__________； ②如图2，分别作、的角平分线并交于点P，则__________； (2)当点E在线段上时，求证：．请在图3中完成下列证明过程： 证明：__________，（______________________________） 又， ． (3)分别作，的角平分线，： ①若，则__________； ②若直线与直线交于点P，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (3)①；② 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）①根据三角形的内角和计算； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和解题即可； （2）利用三角形的外角的性质解题； （3）①用（2）的方法，同理可得，结合角平分线的定义得到，，根据平行线的性质推出，列方程计算即可； ②根据角平分线的定义和三角形的内角和可得到， ，结合计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②如图，由①知， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ； （2）略 （3）解：①如图，同理可得， ∵， ∴； 由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②如图， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ． 四、查缺补漏 1．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在BC边上，且，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选： 2．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在的延长线上，点、分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题、两直线平行同旁内角互补、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题关键．由两直线平行，同旁内角互补，可得，再结合三角形外角的性质，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ，， ，， ， ， 故选：A． 3．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的性质定理的逆定理，三角形的内角和，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由点在内部，且到三边的距离相等得平分，平分，进而求得，再根据三角形内角和定理求得，即可得解． 【详解】解：点在内部，且到三边的距离相等， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 故选：C． 4．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（    ）    ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③作于点D ④过上一点D作， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的证明 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：①．由，则，．由，得． ②．由，则，．由，得． ③．由于，则，无法证得三角形内角和是． ④．由，得，．由，得，，那么．由，得． ∴能证明的内角和是的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 5．如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】由垂线的定义和平角的定义得到，，再由折叠的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴． 6．如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】根据题意，得，，结合平角的定义，列式计算解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，折叠的意义，平角的定义，熟练掌握折叠的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7．如图，中，，的度数为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形的内角，解不等式组，根据题意得，然后解不等式组即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得： 故选：． 8．如图，在中，，点E，F分别在边上，，的角平分线与的角平分线交于点P，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据题意可知，设，表示出，根据角平分线的定义，可得的度数，根据列方程，即可求出的度数． 【详解】解：∵，平分， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，在中，的垂直平分线交于点D，垂足为点E． （1）若的周长为，则的周长为____________； （2）若平分，则的度数为____________． 【答案】 24 /30度 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，．根据三角形的周长公式，可得答案； （2）依据线段垂直平分线的性质，即可得到，再根据角平分线的定义，即可得出的度数，根据三角形内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：（1）是的垂直平分线， ∴，． ， ∴， 故答案为：24； （2）垂直平分， 平分， 故答案为：． 10．如图，在中，，垂足为D，平分交于点E，若，则的度数为______． 【答案】/26度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解题的关键是求出、、的度数． 先根据求出，再用三角形内角和定理求出，接着由角平分线得，根据直角三角形性质求，最后通过计算． 【详解】解： ， ． ． 平分， ． ， ， 在中，， ， 故答案为：． 11．如图，于点，于点，点在线段上，且．、分别平分和，则的度数是___________． 【答案】/45度 【知识点】角平分线的有关计算、平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用及角平分线的定义，熟知相关知识点，正确添加辅助线是正确解答此题的关键． 过点作，根据平行公理的推论证明，根据平行线的性质证明，，根据于点，于点，点在线段上，推出，即可求解． 【详解】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、分别平分和， ，， ， ， ，， ． 12．如图，在中，是边上的高，是的平分线.若，，则的大小是_____度. 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、直角三角形的性质，首先根据直角三角形两锐角互余，可以求出，根据三角形内角和定理可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据三角形外角的性质可以求出． 【详解】解：， ， ， ， 在中，， ， 是的平分线， ， ． 故答案为： ． 13．已知点E为中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是________． 【答案】或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和，直角三角形的两个锐角互余，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 分情况讨论：当或当时，根据三角形内角和，和直角三角形的两个锐角互余分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，为直角三角形, 此时， 当时，为直角三角形, 此时 ∵ ∴， 故答案为：或． 14．如图，点在的边延长线上，点在边上，连结交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴； (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质． （1）利用三角形的外角性质，可得出，，再结合，即可证出； （2）由得出，再由，可求出及的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出，的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 15．【课本再现】（人教版数学教材七年级下册第25页第14题） （1）如图1，直线经过点A，．则 ， ， ． （2）通过这道题的解答，在不知道的度数的情况下，你能说明为什么三角形的内角和是吗？请写出你的证明过程． 【拓展应用】 （3）如图2，已知，若D点是外一点．猜想有怎样的关系？并进行证明． 【答案】（1）44；57；79； （2）证明：， ，， ， ，即三角形内角和为； （3）， 证明：由（2）三角形内角和为，即， ， ． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的证明 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和的证明，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得到，，由平角的定义可求得， （2）结合（1）可得出结论； （3）由（2）得三角形内角和为，即可得出结论． 【详解】（1）解： ， ； ； 直线过点A， ， ， ； （2）略 （3）略 16．如图，将一个含角的三角尺的斜边紧靠直尺的边缘，过点作直尺另一边缘的垂线，垂足为，交于点． (1)求的度数（注：三角形三个内角的和等于）． (2)沿直尺的边缘水平向左推动三角尺，点A的位置同图1，如图2． ①在这个过程中，的值是否保持不变？若不变，请求出这个差；若改变，请说明理由． ②已知平分， ，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2)不变， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）已知 得，由 推出，再结合已知，利用三角形内角和为，求出度数． （2）①要判断是否变化，过点作，利用平行线的性质，将和转化为与相关的角，推导差值是否为定值．②先根据①的结论表示出，再利用角平分线、平行线性质，用表示出，结合与互余列方程求解． 本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等 ），灵活运用角的转化与方程思想是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． （2）解：①不变． 如图，过点作， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ②由①得，． ∵平分， ∴ ． ∵ ， ∴． 如图，过点作， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ． ∵与互余， ∴， ∴ ， ∴． 17．如图，在中，AE是的高，，， 【探究发现】 （1）如图1，若AD是的平分线，求的度数； 【迁移拓展】 （2）如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】（1）12°；（2）45° 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求得度数，进而求解即可得出结论； （2）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【详解】解：（1），，， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ， ； （2）和的角平分线交于点G， ，， ，， ， 即， 是的高， ， ． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线，掌握相关性质以及定义是解题的关键． 五、课后作业 1．如图，，直线分别与，交于点，，平分，交于点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【详解】解：∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴ 2．如图，三角尺的顶点，分别在直线，上，若，且平分，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，再根据平行线的性质可得的度数，最后利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】解：平分，， ， 如图，， ， ， ． 3．如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：在中，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴． 故选：C． 4．如图，和是的外角，和分别是和的平分线，反向延长和交于点．若，则的度数为（   ） A．60° B．55° C．50° D．45° 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和与角平分线．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线有关计算，是解题的关键． 根据三角形的外角性质得，根据角平分线定义和对顶角性质得再根据三角形的内角定理即可得到． 【详解】解：∵和是的外角， ∴， ∴． ∵和分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，P，C分别为两条边上的点，，P为垂足，且．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线性质的应用；根据平行线得到，结合题意得出，再根据三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．小明在物理课上学习完《判断重力的方向》后，将课本上的实物图（图1）抽象成为几何图形（图2），对同桌说：“如图，若，且，则的度数为（   ）” A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．延长交于F，由题意得，可得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：延长交于F，如图所示： 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．在中：（下列所填三角形按角分类） （1）若，则此三角形是______三角形； （2）若，则此三角形是______三角形； （3）若，则此三角形是______三角形； （4）若，则此三角形是______三角形． 【答案】 直角 直角 钝角 直角 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和，三角形的分类，熟练掌握三角形内角和180度是解题的关键．依次求出每个三角形最大的角，然后即可判断． 【详解】解：（1） ，， 此三角形是直角三角形； 故答案为：直角； （2） ，， ， ， 此三角形是直角三角形； 故答案为：直角； （3） ，， ， ， 此三角形是钝角三角形； 故答案为：钝角； （4） ，， ， ， ， 此三角形是直角三角形； 故答案为：直角； 8．如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，，则______° 【答案】55 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．先根据三角形内角和定理求得，根据求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， 故答案为：55． 9．如图，在中，，． (1)求的度数； (2)若交于点，求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2) 证明：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴是直角三角形． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，直角三角形的判定，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理进行求解即可； （2）根据平行线的性质，求出，三角形的内角和定理得到，即可得证． 【详解】（1）解：在中，，， ∴； （2）略 10．如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点． (1)求证：； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)④；改正： ∵ ∴ ∴ ∴（内错角相等，两直线平行）． (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行线的判定判断即可； （2）首先由平行得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线得到，，进而求解即可． 【详解】（1）∵和不是同位角， ∴由无法证明出 ∴第④步有问题，改正略； （2）∵， ∴ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴． 11．已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1) 证明：平分， ． ， ， ： (2) (3) 证明：由得， ， 平分平分， ， ， ． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，由内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可求解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合角平分线的定义得到，，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：平分，， ， ， ； （3）略 12．如图（1）已知的外角与的平分线相交于点P，如图（2）已知的内角与外角的角平分线相交于点P． 选择其中一个图形猜想与的关系并证明你的猜想． 解：我选择的是_________，猜想结论：_________． 证明： 【答案】图（1），结论：或图（2）， 结论：． 证明： ，分别是的内角与外角的角平分线， ，． 是的外角， ． ， ． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义和三角形的外角的性质．熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角的性质是解题的关键． （1）图（1）中，根据三角形的内角和定理、角平分线定义和三角形的外角的性质进行推导，得； （2）图（2）中，根据角平分线定义和三角形的外角的性质，可以得到． 【详解】解：图（1），结论：． 证明如下： ，， ． ，分别是外角，的角平分线， ． 即：； 图（2），结论：． 证明：略 学科网（北京）股份有限公司 $