27.2 第2课时 反比例函数的图象和性质的应用 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦反比例函数图象和性质的应用，涵盖解析式求解、点与图象关系判断、k的几何意义及函数值比较等核心知识点。通过自主预习的预学思考与自学检测，搭建从待定系数法、k的意义等旧知到新知应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料以合作探究的分层题型设计为亮点，包含k的几何意义、一次函数与反比例函数综合等题型，结合方法归纳交流，培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）和模型意识（数学语言）。自主预习到课堂检测的闭环设计，助力学生自主构建知识，提升应用能力，符合新课标核心素养要求。

27.2 第2课时 反比例函数的图象和性质的应用 素养目标 1.能根据函数图象上的点的坐标求函数解析式,并能判断一个点是否在反比例函数图象上. 2.能根据反比例函数的图象和性质判断自变量或函数值的大小关系,体会数形结合思想的应用. 3.知道反比例函数的比例系数k的意义,并能应用其解决有关问题. 重点 利用反比例函数的图象和性质解决问题. 【自主预习】 预学思考 知识点一 判断点是否在反比例函数图象上 阅读课本本课时“例1”的内容,补全下列新知要点: 1.求反比例函数的解析式可将函数图象上的点的坐标代入解析式,这种方法叫作 法.  2.判断一个点是否在反比例函数y=(k≠0)的图象上时,只需验证这个点的横、纵坐标的乘积是否等于 .  知识点二 根据反比例函数的图象和性质判断大小 阅读课本本课时“例2”的内容,补全下列新知要点: 1.反比例函数y=(k>0)图象每一支上点的 横坐标越大,相应的函数值越 .  2.反比例函数y=(k<0)图象每一支上点的横坐标越大,相应的函数值越 .  自学检测 1.下列各点在反比例函数y=-图象上的是 ( ) A.(3,-5)　　　　 B.(3,5) C.(-5,-3)　　　　 D.(5,3) 2.已知A(-3,y1),B(-1,y2)是反比例函数y=图象上的两个点,则y1 y2.(用“>”“<”或“=”填空)  【合作探究】 题型精讲 题型1 反比例函数的图象和性质 例1　反比例函数y=的图象如图所示. (1)Pn(x,y)(n=1,2,…)是第一象限内图象上的点,且x,y都是整数.求出所有的点Pn(x,y). (2)若M(m,y1),N(-3,y2)是函数y=图象上的两点,且y1>y2,求实数m的取值范围. 题型2 k的几何意义 例2　如图,点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,且点A的横坐标为6,过点A作AB垂直于x轴,垂足为B,连接OA,S△AOB=9. (1)求AB的长. (2)求k的值. 变式训练　 如图,A是反比例函数y=图象上一点,过点A作y轴的垂线,垂足为B,连接AO并延长交反比例函数图象于点C,连接BC,若S△ABC=6,则k的值为 .  题型3 一次函数与反比例函数综合 例3　如图,一次函数y1=kx+b的图象分别与x轴、y轴交于点A和点B,与反比例函数y2=的图象交于点C和点D,其中点A的坐标为(-2,0),点C的坐标为(1,3). (1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式. (2)求点D的坐标,并直接写出当y1>y2时,x的取值范围. 【方法归纳交流】一次函数与反比例函数综合常见问题及解答方法: 1.求交点坐标:联立一次函数与反比例函数的解析式,解方程组得到交点的横、纵坐标. 2.比较函数值大小:结合函数图象,以交点为分界点,分区间判断一次函数与反比例函数图象的上下位置关系. 3.求图形面积:利用交点坐标、与坐标轴的交点坐标,结合割补法计算三角形、四边形等图形的面积. 课堂检测 1.若点A(x1,-1),B(x2,5),C(x3,7)都在反比例函数y=-的图象上,则x1,x2,x3的大小关系为 ( ) A.x2<x3<x1　　　　 B.x3<x2<x1 C.x1<x2<x3　　　　 D.x1<x3<x2 2.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点B在y轴正半轴上,菱形OABC的面积为24,若反比例函数y=(x<0)的图象经过点C,则k的值为 .  参考答案 【自主预习】 预学思考 知识点一 1.待定系数 2.k 知识点二 1.小　2.大 自学检测 1.A　2.> 【合作探究】 题型精讲 题型1 例1 解:(1)∵Pn(x,y)是第一象限内图象上的点,且x,y都是整数. ∴x只能取1,2,3,6. 当x=1时,y=6;当x=2时,y=3;当x=3时,y=2;当x=6时,y=1. ∴所有的点分别为P1(1,6),P2(2,3),P3(3,2),P4(6,1). (2)当M(m,y1)在第一象限时,均有y1>y2,此时m>0, 当M(m,y1)在第三象限时,当m<-3时有y1>y2, ∴实数m的取值范围为m>0或m<-3. 题型2 例2 解:(1)∵点A的横坐标为6,AB⊥x轴, ∴OB=6. ∵S△AOB=9, ∴×6AB=9, ∴AB=3. (2)∵S△AOB=|k|=9, ∴|k|=18. ∵反比例函数y=(x>0)的图象在第四象限, ∴k=-18. 变式训练 6 题型3 例3 解:(1)由题意可知m=1×3=3, ∴反比例函数的解析式为y2=. ∵一次函数y1=kx+b的图象过点A,C,点A的坐标为(-2,0),点C的坐标为(1,3), ∴ 解得 ∴一次函数的解析式为y1=x+2. (2)由(1)得反比例函数的解析式为y2=,一次函数的解析式为y1=x+2, 令x+2=, 解得x1=1,x2=-3, ∴D(-3,-1), ∴当y1>y2时,x的取值范围是-3<x<0或x>1. 课堂检测 1.A　2.-12 学科网（北京）股份有限公司 $