精品解析：山东济宁市 济宁学院附属中学等校2025-2026学年第二学期期末考试九年级数学试题

2025—2026学年第二学期期末测评 初三数学试题 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≤- B. x≥- C. x<- D. x>- 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选B． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 2. 下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将每组线段按长度从小到大排序，验证最小与最大线段的乘积是否等于中间两条线段的乘积，相等则该组线段成比例，逐项判断即可． 【详解】解：A、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． B、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． C、排序得，，，， ，， ，该组线段成比例． D、排序得，，，， ，， ，该组线段不成比例． 3. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，求不等式的解集，掌握反比例函数图象经过的象限确定反比例系数的符号是解题的关键． 根据反比例函数的图象分布在第二、四象限，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得，． 故选：D ． 4. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，进行解答即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的判别式为：， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程根的情况是解本题的关键．一元二次方程根的情况与判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5. 如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例可求出，再由线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出，，的值后比较大小. 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 7. 如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 8. 一次函数与反比例函数，其中，，均为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质、反比例函数的图像和性质，首先假设一次函数的图像是正确的，根据一次函数图像确定、的取值范围，根据、的取值范围判断反比例函数图像是否正确． 【详解】解：A选项：一次函数的图像是随的增大而减小， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 反比例函数在第二、四象限， 故A选项错误； B选项：一次函数的图像是随的增大而减小， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 反比例函数在第二、四象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图像是随的增大而增大， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的负半轴， ， ， 反比例函数在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图像是随的增大而增大， ， 一次函数的图像与轴的交点在轴的正半轴， ， 又， 一次函数的图像不成立， 故D选项错误． 故选：B． 9. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是的黄金分割点求出，求出，，再得出答案即可． 【详解】解：是的黄金分割点， ， ，， ，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键． 10. 如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行的性质判定，求出线段比判断①；根据两边对应成比例且夹角相等判断②；利用相似三角形周长比等于相似比判断③；通过面积比例关系计算判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①错误； 在和中，， ∵，， ∴， ∴与不相似，故②错误； ∵，且相似比为， ∴，故③正确； ∵，， ∴，即为中点， 设，则， ∴， ∴， ∵，且相似比为， ∴， ∴ ， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有③④，共2个． 第II卷（非选择题共70分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系，设、，其中，代入所求分式化简计算即可． 【详解】解： 可设，，其中 将，代入得： ． 12. 一元二次方程的两根为，，则的值是__________． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据韦达定理进行求解即可． 【详解】解：由韦达定理可知． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】设，则可得到点B的纵坐标为，点B的横坐标为，据此求出的长，结合梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， ∵点B在双曲线上， ∴点B的横坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴． 14. 如图，在中，，，正方形的顶点D、G分别在、上，顶点E，F，在内，，．则点F到的距离_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点M，交于点N，延长交于点H，通过证明，可得，可证，可证，然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案． 【详解】解：过点A作于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 15. 如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接、、……，记三角形①的直角顶点为，记三角形②的直角顶点为，记三角形③的直角顶点为，记三角形④的直角顶点为，……， 由反比例函数系数的几何意义可知，……的面积都等于， 又∵点，，……，，它们的横坐标依次增加，且点横坐标为， ∴， ， ， ， …… ∴，,……， ∴ . 三、解答题（本大题共8小题，共55分） 16. 计算： （1）． （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 17. 在如图所示的方格中，每个小正方形的边长都是1，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）在图中标出位似中心的位置（请保留画图痕迹）； （2）以点为位似中心，在直线的左侧画出的另一个位似，使它与的位似比为，并直接写出与的面积之比是_____． 【答案】 （1）点P即为所求： （2）． 【解析】 【分析】（1）直接利用位似图形的性质连接对应点得出位似中心的位置； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）如图所示：△OA2B2，即为所求，△OA2B2与△OAB的面积之比是：4：1． 故答案为：. 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题的关键． 18. 很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． （1）当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？ （2）明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？ 【答案】（1）0.5米 （2）25度 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式为，再把代入求解即可； （2）把代入，求得，再作差即可求解． 【小问1详解】 解：设近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）反比例函数解析式为， 由图可得，当时，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 答：当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是0.5米． 【小问2详解】 解：当时，， ∴（度）， 答：明明的眼镜度数下降了25度． 19. 如图，在四边形中，，，． （1）与相似吗？请说明理由． （2）如果，求的长． 【答案】（1） 相似，理由如下： ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后根据相似三角形的判定即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质可得，由此即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）已证：， ， ， ， 解得或（不符题意，舍去）， 故的长为6． 20. 集装箱作为国际贸易中最主要的运输工具之一，因其方便快捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球货运领域．而集装箱搬运车则是为了更方便、更高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设计的机械设备．如图是该集装箱搬运车的简化示意图，测得，矩形为底盘，长和宽分别为和，，，，点、、在同一水平面上，求集装箱顶部到地面的高度． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点 H，则四边形是矩形，可得，，，再根据勾股定理可得，再证明，根据相似三角形的性质列方程可得，最后根据即可解答． 【详解】解： 如图：延长交于点 H，则四边形是矩形， ∴ ，，， 在中，  又∵， ∴， ∴， ，即 ， ，                                                ． 21. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； （2）如图2，在中，，，是的完美分割线，且是等腰三角形，，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， 不是等腰三角形， 平分， ， ， 是等腰三角形， ，， ， 是的完美分割线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，分别证明为等腰三角形，，即可得出结论； （2）根据，得到，设，解方程求出，根据相似三角形的性质定理列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的完美分割线， ∴， ， ，， 设，则， ， 解得：， ， ， ， ， ，，， ． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于，两点，为常数． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式 的解集为 ； （3）点为轴上一点，若的面积为，求出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 （2）或 （3）点或 【解析】 【分析】（1）利用点坐标确定反比例函数解析式，进而求出点坐标，再结合待定系数法求出一次函数解析式； （2）通过观察图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方的区间，直接写出不等式的解集； （3）通过求出直线与轴的交点，将动点的坐标设为利用割补法表示出的面积并建立方程求解，从而确定点的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入之中得， 反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数，得， 点的坐标为， 将点，代入之中得， 解得， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如下图可知：或 【小问3详解】 解：设直线与轴交于点，连接、，则点 设点 ∵ ∴ 解得：或 ∴点或． 23. 综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，则与的数量关系为____________． （2）迁移探究 如图2，在中，，，点，分别在边，上，且，在证明“”的过程中，亮亮给出了如下的思路： 过点作交的延长线于点，然后利用三角形全等和相似进行求解 ①请你根据亮亮的思路补全图形（无需尺规作图）； ②求证：． （3）拓展应用 如图3，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点，当为的三等分点时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） 证明：过点C作交的延长线于点F，如图， ， ∴， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，得到，即可利用证明，得到结论 （2）过点C作交的延长线于点F，利用证明，进一步证明，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【小问1详解】 解：如图，在正方形中，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O， ∵， 则， ， 又， ， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ∴， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 故的长为或． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末测评 初三数学试题 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≤- B. x≥- C. x<- D. x>- 2. 下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 5. 如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为( ) A. B. C. D. 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与反比例函数，其中，，均为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　） A. B. C. D. 9. 在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的比值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，相交于点，点在上，且，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第II卷（非选择题共70分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若，则的值是______． 12. 一元二次方程的两根为，，则的值是__________． 13. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为_____． 14. 如图，在中，，，正方形的顶点D、G分别在、上，顶点E，F，在内，，．则点F到的距离_______． 15. 如图，已知反比例函数的图象上有一组点、、、，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①、②、③、…”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，…，则_________ 三、解答题（本大题共8小题，共55分） 16. 计算： （1）． （2）解方程：． 17. 在如图所示的方格中，每个小正方形的边长都是1，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）在图中标出位似中心的位置（请保留画图痕迹）； （2）以点为位似中心，在直线的左侧画出的另一个位似，使它与的位似比为，并直接写出与的面积之比是_____． 18. 很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，其函数图象如图所示． （1）当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是多少米？ （2）明明原来佩戴275度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.4米，则明明的眼镜度数下降了多少度？ 19. 如图，在四边形中，，，． （1）与相似吗？请说明理由． （2）如果，求的长． 20. 集装箱作为国际贸易中最主要的运输工具之一，因其方便快捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球货运领域．而集装箱搬运车则是为了更方便、更高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设计的机械设备．如图是该集装箱搬运车的简化示意图，测得，矩形为底盘，长和宽分别为和，，，，点、、在同一水平面上，求集装箱顶部到地面的高度． 21. 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； （2）如图2，在中，，，是的完美分割线，且是等腰三角形，，求的长． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于，两点，为常数． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式 的解集为 ； （3）点为轴上一点，若的面积为，求出点的坐标． 23. 综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 如图1，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，且，则与的数量关系为____________． （2）迁移探究 如图2，在中，，，点，分别在边，上，且，在证明“”的过程中，亮亮给出了如下的思路： 过点作交的延长线于点，然后利用三角形全等和相似进行求解 ①请你根据亮亮的思路补全图形（无需尺规作图）； ②求证：． （3）拓展应用 如图3，在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点，当为的三等分点时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $