精品解析：广东省湛江市赤坎区金沙湾学校2024-2025学年九年级上学期期中素养检查数学试题

2024-2025学年九年级第一学期期中素养检查 数学试卷 说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的学校、班级、座位号、姓名；答题用2B铅笔填涂答题卡（选择题）、黑色签字笔答其它题． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项依次是（　　） A. 3，8，5 B. 3，，5 C. ，， D. ，8， 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式，直接确定对称轴即可. 本题考查了抛物线顶点式确定对称轴，熟练掌握顶点式是解题的关键. 【详解】解：抛物线的解析式为， 故抛物线对称轴为直线. 故选：D. 3. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的概念，将代入方程求解，即可解题． 【详解】解：一元二次方程有一个根为， 将代入方程得：， 解得：， 故选：D． 4. 如图，P为圆O外一点，为的切线，A为切点，交于点B，，则线段的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质，含角的直角三角形的性质解答即可． 本题考查了圆的性质，切线的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的切线，A为切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键． 根据右减上加的平移原则计算即可． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为． 故选：B． 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 7. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得，利用勾股定理解答即可． 本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据旋转的性质，得，， 故， 故． 故选：D． 8. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比较抛物线上各点纵坐标的大小． 利用开口方向及点到对称轴的距离判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点为，开口向上， ∴点离对称轴越远，纵坐标越大． 计算各点横坐标到对称轴的距离： 时，距离为， 时，距离为， 时，距离为， 距离由大到小为， ∴对应纵坐标． 故选A． 9. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答． 【详解】连接OB， ∵点B是的中点， ∴∠AOB＝∠AOC＝60°， 由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 10. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象与系数的关系可得a，b，c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象知，，且抛物线与x轴的两个交点坐标分别为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； ，故②不符合题意； ，故③符合题意； ，故④不符合题意； 当时，或，故⑤不符合题意； 从而正确的有①③， 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数的系数与图象的关系，利用二次函数的图象判断式子的正负，正确理解二次函数图象得到系数的关系是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的半径为，若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是______． 【答案】相交 【解析】 【分析】根据圆心O到直线l的距离小于半径即可判定直线l与的位置关系为相交． 【详解】解：∵圆心O到直线l的距离是，的半径为， 又∵， ∴直线l与相交． 故答案为：相交． 【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 12. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是______ 【答案】2 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴， ∴， 则． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 13. 如图，点A、B、C三点在上，点D为弦的中点，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理及推论和勾股定理，连接，设，根据的长计算出的长，根据点D为弦的中点，O为圆心得到，从而求出的长，在中利用勾股定理求出r的值，即可求出的长． 【详解】解：连接，如图， 设，则， ∵点D为弦的中点，O为圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，得，解得， ∴， 故答案为∶． 14. 二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图像如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】求关于x的不等式的解集，实质上就是根据图像找出函数的值小于或等于 的值时x的取值范围，由两个函数图像的交点及图像的位置，可求范围． 【详解】解：依题意得求关于x的不等式的解集， 实质上就是根据图像找出函数的值小于或等于的值时x的取值范围， 由两个函数图像的交点及图像的位置可以得到此时x的取值范围是． 故答案为：． 15. 如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得出，证出，得出点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径一条弧，连接OC交圆O于P，此时PC最小，，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形ABCD是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示： 连接OC交圆O于P，此时PC最小， ， ， 由勾股定理得：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 17. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）试作出以点为旋转中心，沿逆时针方向旋转后的图形； （2）以原点为对称中心，画出与关于原点对称的，且 的坐标为多少？ 【答案】 解：（1）如图所示，△即为所求； （2）如图所示，△即为所求，的坐标为． 【解析】 【分析】（1）以点为旋转中心，作出点、沿逆时针方向旋转后的对应点，再顺次连接可得； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征作出点、点和点，然后描点即可△． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 18. 如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上， （1）求证：平分； （2）若，求旋转角的度数． 【答案】（1） 证明：如图： 由旋转得：，， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得：，，然后利用等边对等角可得，从而可得，即可解答； （2）设与交于点，根据旋转的性质可得：，，，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设与交于点， 由旋转得：，，， ， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， 解得：， 旋转角的度数为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分． （1）写出的最高点坐标，并求a，c的值； （2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 【答案】（1）的最高点坐标为，，； （2）符合条件的n的整数值为4和5． 【解析】 【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值； （2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴的最高点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为，令，则； 【小问2详解】 解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴点A的坐标范围为， 当经过时，， 解得； 当经过时，， 解得； ∴ ∴符合条件的n的整数值为4和5． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 20. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 21. 如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的直径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径； ∴直线是的切线； （2）的直径长为20 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）利用角平分线的定义、等边对等角等可得出，利用平行线的性质判定可得出，利用平行线的性质可得出，然后利用切线的判定即可得证； （2）作于点I，由垂径定理得，再证明四边形是矩形，得，则，由勾股定理得，求得，即可求的直径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于点I， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的直径长为20． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 已知和都是等腰直角三角形． （1）如图1：连，求证：； （2）若将绕点顺时针旋转， ①如图2，当点恰好在边上时，若，请求出线段的长； ②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 证明：和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，结合图形正确判断全等三角形是解题的关键． （1）先证，再根据证明即可； （2）①连接，同（1）可证，推出，，进而可证，再用勾股定理解即可； ②分“点N在线段上”和“点M在线段上”两种情况，画出图形，结合前面的结论，分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，连接， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ． ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ， ； ②分两种情况，当点N在线段上时，连接，过点O作于点H， 同（1）可得， 和都是等腰直角三角形，，， ，， ， ， ， ； 当点M在线段上时，连接，过点O作于点H， 同①可证， ， 和都是等腰直角三角形，，， ，， ， ， ， ． 综上可知，的长为或． 23. 如图1，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）判断的形状并说明理由； （3）如图2，N是AC下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求面积S与n的函数关系式及S的最大值； （4）在抛物线上是否存在一点N，使得，若存在，请直接写出点N的坐标若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）是直角三角形，理由如下： ∵ ∴顶点． 如答图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，过C作于点F， ∵，，，， ∴，，，，，，． ∴， ， ， ∴． ∴是直角三角形，且． （3），最大值为；（4）存在．点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出顶点，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，过C作于点F，根据勾股定理判断即可； （3）根据待定系数法求出直线AC的表达式，过点N作轴于点G，交直线AC于点M，过点C作于点H，根据求解即可； （4）当N在A点左侧和N在B点右侧分类讨论即可； 【详解】解：（1）∵， ∴，． ∵抛物线经过点A，C， ∴， 解得 ∴抛物线的表达式是． （2） 略 （3）设直线的表达式为，将，代入， 得，解得． ∴直线的表达式为． 如答图2，过点N作轴于点G，交直线AC于点M，过点C作于点H． ∵点N的横坐标为n， ∴点，点． ∴． ∴， ， ∵． ∴当时，的最大值是． （4）存在． 当点N在A点左侧时，为钝角， 当点N在A、B两点之间时，点N与点C关于对称， ∴N点的坐标为； 当点N在B点右侧时，作一条直线l过A点，平行于BC， BC的表达式为， ∴设l为， 代入， ∴， ∴l的表达式为， 联立， 解得：N点的坐标为或（舍去）； ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解、勾股定理、一元二次方程计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级第一学期期中素养检查 数学试卷 说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的学校、班级、座位号、姓名；答题用2B铅笔填涂答题卡（选择题）、黑色签字笔答其它题． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项依次是（　　） A. 3，8，5 B. 3，，5 C. ，， D. ，8， 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 如图，P为圆O外一点，为的切线，A为切点，交于点B，，则线段的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 8 5. 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．若点A，D，E在同一条直线上，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 抛物线过三点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的半径为，若圆心O到直线l的距离是，则直线l与的位置关系是______． 12. 若点与点关于原点成中心对称，则的值是______ 13. 如图，点A、B、C三点在上，点D为弦的中点，，，则______． 14. 二次函数y=ax2+bx+c和一次函数y=mx+n的图像如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n时，x的取值范围是_____． 15. 如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，再连接PC，若，则PC长的最小值为_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：． 17. 如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）试作出以点为旋转中心，沿逆时针方向旋转后的图形； （2）以原点为对称中心，画出与关于原点对称的，且 的坐标为多少？ 18. 如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上， （1）求证：平分； （2）若，求旋转角的度数． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分． （1）写出的最高点坐标，并求a，c的值； （2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 20. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足且，求的值． 21. 如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的直径． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 已知和都是等腰直角三角形． （1）如图1：连，求证：； （2）若将绕点顺时针旋转， ①如图2，当点恰好在边上时，若，请求出线段的长； ②当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长． 23. 如图1，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）判断的形状并说明理由； （3）如图2，N是AC下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n，求面积S与n的函数关系式及S的最大值； （4）在抛物线上是否存在一点N，使得，若存在，请直接写出点N的坐标若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $