专题2.2 立方根（5大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题2.2 立方根 知识点1 立方根的定义与表示 　　1. 定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根，也叫做三次方根。 　　2. 表示：数a的立方根记作，读作“三次根号a”。根指数3不能省略。 　　3. 性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。任意一个数都有唯一一个立方根。 知识点2 开立方 　　1. 定义：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，a叫做被开方数。 　　2. 互逆关系：开立方与立方互为逆运算，可以用立方运算检验开立方的结果。 　　3. 重要公式：；。 　　4. 拓展结论：，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。 知识点3 平方根与立方根的对比 项目 平方根 立方根 被开方数范围 被开方数，只对非负数开平方 被开方数a为任意实数 性质 正数有两个平方根互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数；唯一 表示 正数a的平方根为 a的立方根为 联系 0的平方根和立方根都是0；两者都是开方运算，与对应的乘方互为逆运算 知识点4 开平方与开立方的对比 项目 开平方 开立方 运算符号 （根指数2省略） （根指数3不能省略） 被开方数 只能是非负数 任意实数 结果个数 正数有两个平方根；负数没有平方根 任意数只有一个立方根 知识点5 立方根的实际应用 　　1. 已知正方体体积求棱长：棱长等于体积的立方根；棱长一定是正数。 　　2. 已知容积、体积、半径等相关量，利用体积公式建立等式，再通过开立方求解。 　　3. 实际问题结果必须符合现实意义，棱长、半径等长度取正值。 【基础必考题型】 【题型1】立方根概念的理解与判断 1.核心知识点 　　立方根的定义；正数、0、负数立方根的正负判断；立方根的唯一性。 2.解题方法技巧 　　①任意一个数都有唯一的立方根，正正、负负、零仍为零； 　　②立方根等于本身的数有0、1、-1； ③互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。 【例题1】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（     ） A．算术平方根等于本身的数只有0 B．平方根等于本身的数是0和1 C．立方根等于本身的数是0和 D．负数没有立方根 【答案】C 【分析】根据平方根、立方根的定义依次验证4个选项． 【详解】解：A、算术平方根等于本身的数是0和1，故A项不符合题意； B、平方根等于本身的数只有0，故 B项不符合题意； C、立方根等于本身的数是0和，故C项符合题意； D、负数有立方根，故D项不符合题意． 故答案为C． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·内蒙古·期末）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 【答案】D 【详解】解：∵负数有立方根，例如，∴A选项错误； ∵负数有立方根，但负数没有平方根，∴ B选项错误； ∵任意数都只有一个立方根，∴ C选项错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，因此不为的数的立方根与被开方数同号，∴ D选项正确． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·山东临沂·期中）下列选项正确的是（    ） A．8的立方根是 B． C． D．立方根等于本身的数只有1和0 【答案】C 【分析】根据立方根的定义分别判断即可．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 【详解】解：A. 8的立方根是，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. 立方根等于本身的数只有和0，故该选项不正确，不符合题意． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·重庆·阶段检测）一个数的立方根等于它的平方根，则这个数是（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】根据负数没有平方根先排除错误选项，再验证剩余数是否满足条件即可得到答案． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴排除含的选项， ∵的平方根是，的立方根是，， ∴不满足条件，排除， ∵的平方根是，的立方根也是，满足立方根等于它的平方根， ∴这个数是，故选项符合题意． 【题型2】求一个数的立方根 1.核心知识点 　　立方根定义；带分数、小数、幂的变形；先化简再开立方。 2.解题方法技巧 　　①将带分数化为假分数、小数化为分数； 　　②找一个数x使，直接写出立方根； ③对这类先求平方根，再求其立方根，勿漏符号。 【例题2】.（26-27八年级上·江苏·期中）计算：______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【变式题2-1】.（2026·江苏常州·中考真题）的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据立方根的定义求解即可，任意一个数都有立方根，正数立方根是正值、负数的立方根是负值、的立方根是本身． 【详解】解：∵， ∴的立方根是． 【变式题2-2】.（26-27八年级上·北京·开学考试）（1）的平方根是________， （2）的立方根是________． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的定义计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的平方根是； （2）∵， ∴的立方根是． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)125； (2)； (3)0.729． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：125的立方根是； （2）解：的立方根是； （3）解：0.729的立方根是． 【题型3】已知立方根求原数 1.核心知识点 　　由立方根反求原数；两边同时立方；互为相反数的立方根关系。 2.解题方法技巧 　　①若，则； 　　②若与互为相反数，则A+B=0； ③代入原式，注意符号与负号的处理。 【例题3】.（24-25七年级下·湖南湘西·期中）若，则______． 【答案】9 【分析】根据立方根的定义求出的值，再代入计算即可. 【详解】解：∵ , ∴， ∴. 【变式题3-1】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，依据其呈现的运算关系，则的值为______________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义列方程求出的值，进而可求的值． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】 【分析】利用立方根、平方根以及算术平方根的定义求解． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得； ∵的算术平方根是4， ∴， 解得； ∴，其平方根为． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·北京大兴·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的值． 【答案】9 【分析】根据立方根、算术平方根的定义先求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是， ∴， 解得：， ∴ ． 【题型4】立方根与数轴、绝对值综合化简 1.核心知识点 　　数轴上点判断字母正负；结合与化简。 2.解题方法技巧 　　①由数轴位置确定各字母大小与正负； 　　②化绝对值，直接去根号； 　　③去绝对值注意符号，合并同类项得最简结果。 【例题4】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴判断式子正负，求立方根，求绝对值，求算术平方根． 由数轴可知，，得到，，，进而计算即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【变式题4-1】.（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根． （2）如果实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根、代数式求值、数轴等： （1）根据平方根、算术平方根的定义求出a，b的值，进而求出的值，再求立方根即可； （2）根据数轴得出，，进而得出，再化简计算即可． 【详解】解：（1） 的平方根是，的算术平方根是4， ，， ，， ， 的立方根为：． （2）由数轴知，，， ， ． 【变式题4-2】.（24-25八年级上·重庆万州·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，算术平方根，立方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 由数轴得，则，可化为，再进行整式的加减即可． 【详解】解：由数轴得， ∴ ∴ ， 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·重庆·阶段检测）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】 【分析】根据题意得到，即，，再化简即可． 【详解】解：由数轴可知， 所以，， 原式 ． 【培优高频题型】 【题型5】利用立方根定义解方程 1.核心知识点 　　把方程化为或的形式，直接开立方求解；立方根唯一。 2.解题方法技巧 　　①先变形为某式立方等于常数； 　　②把(ax+b)看作整体，直接开立方得； ③开立方只有一个解，无需讨论正负，再解一元一次方程。 【例题5】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）方程的解是______． 【答案】 【分析】根据立方根的定义求解可得． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 【变式题5-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）求下列方程中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根的定义求未知数的值． （1）利用立方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ； （2）解：， ∴， ∴， 解得：． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·上海宝山·期末）方程的解是________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴方程的解是， 故答案为：． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江苏南京·期中）求下列各方程中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟知二者的定义是解题的关键； （1）先将原方程变形为，再利用平方根的定义求解即可； （2）利用立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：由可得：， ∴， ∴； （2）解：由可得：， ∴． 【题型6】平方根与立方根的综合应用 1.核心知识点 　　平方根、立方根定义联用；由条件列出方程，求出未知数后再求值。 2.解题方法技巧 　　①根据“x的平方根是”得，“x的立方根是b”得； 　　②列方程组求出各未知数； ③代入所求代数式，再求其平方根或算术平方根，勿漏号。 【例题6】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知正数有一个平方根是，的立方根是，求的值． 【答案】 【分析】先根据平方根和立方根的定义求出与，再计算即可． 【详解】解：∵正数有一个平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·陕西商洛·期中）已知正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为．分别求出，，的值． 【答案】，， 【分析】根据正数的两个不相等的平方根互为相反数，可求出的值，再根据立方根的定义求出的值即可解答． 【详解】解：正数的两个不相等的平方根分别是和， ， 解得， ， ． 的立方根为， ， 解得． 故，，． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知和是某正数的两个不同的平方根，的立方根为2． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)a的值为1，b的值为5 (2)3 【分析】（1）根据“一个正数的两个平方根互为相反数”得，根据立方根的定义得，继而得到关于的二元一次方程组，求解后可得答案； （2）根据（1）的结论可得的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：和是某正数m的两个不同的平方根，的立方根为2， ， 解得：， a的值为1，b的值为5． （2）解：根据（1）知， 则， 9的算术平方根为3， 的算术平方根为3． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·陕西延安·期末）已知的平方根是，的立方根为． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)； (2)． 【分析】由题意列方程组，然后解方程组即可；　　 把，，代入得，然后通过算术平方根定义即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为， ∴， 解得； （2）解：由知，， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 【题型7】立方根的实际生活应用 1.核心知识点 　　正方体、长方体体积求棱长；容器改造、体积变化问题；实际问题建模。 2.解题方法技巧 　　①根据体积公式设未知数列方程； 　　②开立方求棱长、半径等长度； ③对比改造前后的量作差，结果符合实际取正值。 【例题7】.（25-26七年级下·陕西榆林·期中）一个正方体容器棱长为，盛满水倒入另一个大正方体容器，连续次恰好装满，求大正方体棱长．（容器壁厚度忽略不计） 【答案】 大正方体的棱长为． 【分析】计算小正方体的容积，可得大正方体的容积，即为大正方体的体积，求立方根，即可得大正方体的棱长． 【详解】解：， ∴大正方体的棱长为． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·云南昆明·期中）一个快递包装盒是体积为0.064立方米的正方体纸箱．快递员送货时，装快递用的篮子是长方体形状，篮子的长为50厘米，宽为38厘米，高为45厘米．这个正方体纸箱能否完全放入篮子中？为什么？ 【答案】不能，理由见解析 【分析】设正方体纸箱的棱长为x米，利用正方体的体积求出，然后比较求解即可． 【详解】解：不能，理由如下： 设正方体纸箱的棱长为x米． 则， 解得，． ∴正方体纸箱的棱长为0.4米，即40厘米． ∵篮子的最短边长为38厘米，， ∴这个正方体纸箱不能完全放入篮子中． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间t（h）可以用下面的公式来估计；，其中是雷雨区域的直径． (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)如果一场雷雨持续的时间t符合，那么这场雷雨区域的直径是多少？ 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径是 【分析】本题考查了求函数的自变量的值或函数值，算术平方根和立方根，根据题意，直接把数值代入函数表达式即可解答． 【详解】（1）解：当时，由， 得（负值舍去）． 答：这场雷雨大约能持续． （2）解：当时，， ∴． 答：这场雷雨区域的直径是． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）在数学实践活动课上，数学老师给实践小组布置了一个任务：设计一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的倍．求实践小组需要设计的正方体的棱长． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，根据正方体体积计算公式求出棱长为的正方体体积，进而可求出设计的正方体的体积，再根据正方体体积计算公式可得答案． 【详解】解：由题意得，设计的正方体的体积为， ∴设计的正方体的棱长为． 【压轴素养题型】 【题型8】立方根的规律探究 1.核心知识点 　　观察被开方数与立方根小数点的移动规律；规律探究与代数推理。 2.解题方法技巧 　　①被开方数小数点每移动三位，立方根小数点相应移动一位； 　　②注意被开方数与立方根小数点移动方向相同； ③根据已知近似值推算，注意数量级、符号与小数点位置。 【例题8】.（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）观察给出的表格数据得结论； （2）利用（1）的结论，可得结果； （3）先猜测立方根与被开方数间的关系，利用猜测的关系可得结论． 【详解】（1）解：通过观察可以发现当被开方数扩大倍时，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵， ∴，； （3）解：如果把算术平方根换成立方根，发现当被开方数扩大倍时，它的立方根扩大倍； ∵ ，， ∴，． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【答案】(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可； （2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （2）略 【变式题8-2】.（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【答案】(1)两 (2) (3)；； 【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据的整数次幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比相邻整数的立方确定高位数字，即可求出结果． 【详解】（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 【题型9】华罗庚快速求立方根探究 1.核心知识点 　　数学文化探究；按位数、个位、十位逐步确定整数立方根；逆向推理。 2.解题方法技巧 　　①由与夹逼确定立方根的位数； 　　②观察个位数字立方的尾数，确定个位数字； 　　③划去后三位，用相邻立方数夹逼确定十位数字，综合得结果。 【例题9】.（25-26七年级下·山东日照·期中）人教版七年级数学下册第59页《数学活动2》讲述我国著名数学家华罗庚的故事，同时揭示了数学中求立方根的奥秘．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是________，由此求得________； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①________，②________． 【答案】(1)①两；②9；③3，39 (2)①；② 【分析】（1）①由可知是两位数； ②由可知的个位上的数是9； ③由可知的十位上的数是3，进而得出； （2）①的立方根是负数，由可知是两位数；由可知的个位上的数是8；由可知的十位上的数是4；进而得出，即可求出的值； ②由于，仿照①的步骤求出即可求解． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数； ②的个位上的数是9，而， 的个位上的数是9； ③，，， 的十位上的数是3， 又 的个位上的数是9， ； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵110592的个位上的数是2，而， ∴个位上的数是8， ∵划去后面的三位得到数，而，， ， 十位上的数为4， ∴， ∴； ②∵， ，，， ， 是两位数， ∵个位上的数是，而， 个位数是1， ∵划去后面的三位得到数，而， ∴， 十位数为8， ∴， ∴． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·湖北武汉·期中）阅读理解  我国著名数学家华罗庚善于利用数字规律快速巧算.他心算的思路如下： ①先判断位数：由，，确定是一个两位数； ②再确定个位：由59319的个位上的数是9，确定的个位上的数是9； ③最后确定十位：划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位上的数是3； 综上，得． 迁移应用 的立方数如下表： 底数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察上表规律可知：底数的个位上的数是3时，立方数的个位上的数是7 (1)若底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是______，当底数的个位上的数是_____时，立方数的个位上的数是6； (2)用上述方法求，它是_____位数，个位上的数是_____，十位上的数是_____，所以______； (3)直接写出与的值． 【答案】(1)5，6 (2)两，2，7，72 (3)；． 【分析】（1）根据表格数据即可解答； （2）仿照题干中方法求解即可； （3）根据，，再仿照题干中方法求解和即可． 【详解】（1）解：由表格数据得，底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是，当底数的个位上的数是时，立方数的个位上的数是6； （2）解：∵，， ∴是一个两位数； ∵373248的个位上的数是8， ∴的个位上的数是2； ∵划去后面的三位248得到373，而，且， ∴的十位上的数是7， ∴； （3）解：∵，，，且， ∴是一个两位数； ∵的个位上的数是7， ∴的个位上的数是3； ∵划去后面的三位得到，而，且， ∴的十位上的数是8， ∴， ∵， ∴； ∵，，，且， ∴是一个两位数， ∵的末位上的数是6， ∴的个位上的数是6， ∵划去后面的三位得到，而，且， ∴的十位上的数是2， ∴， ∵， ∴． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·贵州遵义·期中）跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，又∵， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数91125，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是______位数； ②它的立方根的个位数字是______； ③91125的立方根是______． (2)求140608的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】(1)①两；②5；③45； (2)52． 【分析】（1）仿照题干中提供的解题思路解答即可； （2）根据题干中的解题思路解答即可． 【详解】（1）解：①，， 又， ， 的立方根是两位数； ②， 的立方根的个位数是； ③划去的后三位数，得到， ， ， 的立方根的十位数是， ； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴能确定的立方根是个两位数． 140608的个位数是8， ∵， ∴能确定的立方根的个位数是2． 划去后面的三位608，得到数140， 而， 则． ∴， 由此确定140608的立方根的十位数是5，因此140608的立方根是52． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·重庆秀山·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)求； ①由，，可以确定是 位数； ②由的个位上的数字是，可以确定的个位上的数字是 ； ③如果划去后面的三位得到数，而，，可以确定的十位上的数字是 ；由此求得 ． (2)已知438976也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 【答案】(1)①两；②9；③2， (2) 【分析】（1）①由知，，可知是两位数； ②只有数字9的立方的个位数是9，可知个位上的数字是9； ③由知，十位上的数字是2，可知； （2）仿照（1）计算即可． 【详解】（1）解：∵①， ， ∴是两位数； ②∵的个位上的数字是9，只有数字9的立方的个位数是9， 个位上的数字是9； ③， 十位上的数字是2， ； （2）解：∵， ， 是两位数； ∵的个位上的数字是6，只有数字6的立方的个位数是6， 个位上的数字是6； 划去438976后面的三位976得到数438， ， 十位上的数字是7， ． 易错点 　　1、混淆平方根与立方根，误认为负数没有立方根，或误认为一个数有两个立方根。 　　2、求的立方根时，忘记先算，直接对64开立方。 　　3、写立方根时漏掉根指数3，把写成。 　　4、利用时符号处理错误，漏负号或乱移符号。 　　5、实际应用题未结合现实条件取舍，直接照搬开立方结果。 　　6、规律探究题小数点移动方向、位数判断错误。 重点 　　1、掌握立方根的定义、表示方法，能准确求一个数的立方根，理解立方根的唯一性。 　　2、掌握开立方与立方的互逆关系，会利用立方根定义解简单方程。 　　3、掌握、及。 　　4、会区分平方根与立方根的区别与联系。 　　5、能利用立方根解决正方体体积、容器改造等实际问题。 难点 　　1、平方根与立方根综合应用，联立条件求未知数再求值。 　　2、立方根与数轴、绝对值综合化简代数式。 　　3、规律探究、数学文化（华罗庚）及跨学科情境题，把问题抽象为立方根模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A，，，A错误； 对于B，，，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，，，D错误． 2．的相反数为（     ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【详解】解：，的相反数为， 即的相反数为． 3．下列说法正确的是（     ） A．9的平方根是3 B．的立方根是5 C．25的平方根是 D． 【答案】C 【分析】根据平方根，算术平方根，及立方根的概念解答即可． 【详解】解：A选项：∵，∴9的平方根是，A错误； B选项：∵，，∴的立方根不是5，B错误； C选项：∵，∴25的平方根是，C正确； D选项：∵，∴D错误． 二、填空题 4．王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________． 【答案】 【分析】原铁块总体积减去余料体积等于三个小正方体的体积和，据此列方程求解即可得到小正方体的棱长． 【详解】解：设制作成的每一个小正方体铁块的棱长为， 根据题意，得 ， 整理得 ， 解得， 因此制作成的每一个小正方体铁块的棱长为． 5．若m是64的平方根，则m的立方根是______；若的立方根为4，则的平方根为______． 【答案】 【分析】先根据平方根的定义得到的值，再计算的立方根；再根据立方根的定义求出的值，代入计算得到的结果，最后求它的平方根． 【详解】解：∵是的平方根， ∴； 当时，， 当时，， ∴的立方根是； ∵ 的立方根为， ∴， 解得， 将代入得， ∵的平方根是， ∴的平方根为． 6．若实数x，y满足，则的立方根为 __． 【答案】4 【分析】根据算术平方根有意义的条件求出，从而即可得出，求出的值，再根据立方根的定义计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴的立方根，即． 三、解答题 7．求下列各式中x的值： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ， . 8．把48个棱长为的正方体铸成一个长、宽、高的比为的长方体，求这个长方体的表面积． 【答案】． 【详解】解：依题意设长方体的长、宽、高分别为、、． 列方程： , 解得：， 所以长方体的长、宽、高分别为、、， 长方体的表面积：． 9．探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 【答案】(1)①两；②3或7；③43或47；43 (2)见解析 【分析】（1）根据所提供的方法进行计算即可；（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可． （1）①因为要确定算术平方根的位数，所以利用平方数的位数规律，通过对比已知的整十数、整百数的平方与1849的大小关系来判断． ②因为一个数的平方的个位数字由原数的个位数字决定，所以根据1849的个位数字，结合平方的个位特征来确定算术平方根的个位数字． ③因为要确定算术平方根的十位数字，所以划去后两位得到的数，对比相邻整数的平方，再结合给定的判断方法缩小范围，最终确定算术平方根． （2）因为求立方根的思路与求算术平方根类似，所以先利用立方数的位数规律确定立方根的位数；再根据立方数的个位数字特征确定立方根的个位数字；最后划去后三位得到的数，对比相邻整数的立方，结合类似的判断方法缩小范围确定十位数字，进而得到立方根． 【详解】（1）解：①∵，，且， ∴， ∴是两位数； ②∵1849的个位上的数是9，一个数平方后的数个位上为9的只有3和7， ∴的个位上的数是3或7； ③划去1849后面的两位49得到数18，而，， ∴十位上的数是4， ∴1849的算术平方根可能是43或47； ∵十位上的数是4，若个位上的数是7，需进位，，而， ∴个位上的数是3， ∴． （2）解： ，， 103823的立方根是两位数； 103823个位上的数字是3， 103823的立方根个位上的数字是7； 如果划去103823后面的三位“823”得到数103，而，， 由此可确定103823的立方根十位上的数字是4， 那么103823的立方根是47． 10．类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； (2)若，则____________； (3)求的值：． 【答案】(1)① ，；② (2) (3)或 【分析】本题类比已学的二次方根、三次方根、四次方根的定义，探究五次方根的相关知识，整体解题思路为：先根据已知定义类比得到五次方根的概念，再结合非负数的性质、一元方程的求解方法，利用乘方与开方互逆运算计算各小题的结果． 【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作． ②∵， ∴32的五次方根为2． （2）解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 立方根 知识点1 立方根的定义与表示 　　1. 定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根，也叫做三次方根。 　　2. 表示：数a的立方根记作，读作“三次根号a”。根指数3不能省略。 　　3. 性质：正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。任意一个数都有唯一一个立方根。 知识点2 开立方 　　1. 定义：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，a叫做被开方数。 　　2. 互逆关系：开立方与立方互为逆运算，可以用立方运算检验开立方的结果。 　　3. 重要公式：；。 　　4. 拓展结论：，即互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。 知识点3 平方根与立方根的对比 项目 平方根 立方根 被开方数范围 被开方数，只对非负数开平方 被开方数a为任意实数 性质 正数有两个平方根互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数；唯一 表示 正数a的平方根为 a的立方根为 联系 0的平方根和立方根都是0；两者都是开方运算，与对应的乘方互为逆运算 知识点4 开平方与开立方的对比 项目 开平方 开立方 运算符号 （根指数2省略） （根指数3不能省略） 被开方数 只能是非负数 任意实数 结果个数 正数有两个平方根；负数没有平方根 任意数只有一个立方根 知识点5 立方根的实际应用 　　1. 已知正方体体积求棱长：棱长等于体积的立方根；棱长一定是正数。 　　2. 已知容积、体积、半径等相关量，利用体积公式建立等式，再通过开立方求解。 　　3. 实际问题结果必须符合现实意义，棱长、半径等长度取正值。 【基础必考题型】 【题型1】立方根概念的理解与判断 1.核心知识点 　　立方根的定义；正数、0、负数立方根的正负判断；立方根的唯一性。 2.解题方法技巧 　　①任意一个数都有唯一的立方根，正正、负负、零仍为零； 　　②立方根等于本身的数有0、1、-1； ③互为相反数的两个数的立方根也互为相反数。 【例题1】.（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（     ） A．算术平方根等于本身的数只有0 B．平方根等于本身的数是0和1 C．立方根等于本身的数是0和 D．负数没有立方根 【变式题1-1】.（25-26七年级下·内蒙古·期末）下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 【变式题1-2】.（25-26七年级下·山东临沂·期中）下列选项正确的是（    ） A．8的立方根是 B． C． D．立方根等于本身的数只有1和0 【变式题1-3】.（25-26七年级下·重庆·阶段检测）一个数的立方根等于它的平方根，则这个数是（   ） A． B． C． D．， 【题型2】求一个数的立方根 1.核心知识点 　　立方根定义；带分数、小数、幂的变形；先化简再开立方。 2.解题方法技巧 　　①将带分数化为假分数、小数化为分数； 　　②找一个数x使，直接写出立方根； ③对这类先求平方根，再求其立方根，勿漏符号。 【例题2】.（26-27八年级上·江苏·期中）计算：______． 【变式题2-1】.（2026·江苏常州·中考真题）的立方根是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（26-27八年级上·北京·开学考试）（1）的平方根是________， （2）的立方根是________． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)125； (2)； (3)0.729． 【题型3】已知立方根求原数 1.核心知识点 　　由立方根反求原数；两边同时立方；互为相反数的立方根关系。 2.解题方法技巧 　　①若，则； 　　②若与互为相反数，则A+B=0； ③代入原式，注意符号与负号的处理。 【例题3】.（24-25七年级下·湖南湘西·期中）若，则______． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，依据其呈现的运算关系，则的值为______________． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的平方根． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·北京大兴·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的值． 【题型4】立方根与数轴、绝对值综合化简 1.核心知识点 　　数轴上点判断字母正负；结合与化简。 2.解题方法技巧 　　①由数轴位置确定各字母大小与正负； 　　②化绝对值，直接去根号； 　　③去绝对值注意符号，合并同类项得最简结果。 【例题4】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______． 【变式题4-1】.（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根． （2）如果实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：． 【变式题4-2】.（24-25八年级上·重庆万州·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为________． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·重庆·阶段检测）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简______． 【培优高频题型】 【题型5】利用立方根定义解方程 1.核心知识点 　　把方程化为或的形式，直接开立方求解；立方根唯一。 2.解题方法技巧 　　①先变形为某式立方等于常数； 　　②把(ax+b)看作整体，直接开立方得； ③开立方只有一个解，无需讨论正负，再解一元一次方程。 【例题5】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）方程的解是______． 【变式题5-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）求下列方程中x的值： (1)； (2) 【变式题5-2】.（24-25八年级下·上海宝山·期末）方程的解是________． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·江苏南京·期中）求下列各方程中的值： (1)； (2)． 【题型6】平方根与立方根的综合应用 1.核心知识点 　　平方根、立方根定义联用；由条件列出方程，求出未知数后再求值。 2.解题方法技巧 　　①根据“x的平方根是”得，“x的立方根是b”得； 　　②列方程组求出各未知数； ③代入所求代数式，再求其平方根或算术平方根，勿漏号。 【例题6】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知正数有一个平方根是，的立方根是，求的值． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·陕西商洛·期中）已知正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为．分别求出，，的值． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知和是某正数的两个不同的平方根，的立方根为2． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·陕西延安·期末）已知的平方根是，的立方根为． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 【题型7】立方根的实际生活应用 1.核心知识点 　　正方体、长方体体积求棱长；容器改造、体积变化问题；实际问题建模。 2.解题方法技巧 　　①根据体积公式设未知数列方程； 　　②开立方求棱长、半径等长度； ③对比改造前后的量作差，结果符合实际取正值。 【例题7】.（25-26七年级下·陕西榆林·期中）一个正方体容器棱长为，盛满水倒入另一个大正方体容器，连续次恰好装满，求大正方体棱长．（容器壁厚度忽略不计） 【变式题7-1】.（25-26七年级下·云南昆明·期中）一个快递包装盒是体积为0.064立方米的正方体纸箱．快递员送货时，装快递用的篮子是长方体形状，篮子的长为50厘米，宽为38厘米，高为45厘米．这个正方体纸箱能否完全放入篮子中？为什么？ 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间t（h）可以用下面的公式来估计；，其中是雷雨区域的直径． (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)如果一场雷雨持续的时间t符合，那么这场雷雨区域的直径是多少？ 【变式题7-3】.（25-26八年级上·陕西汉中·阶段检测）在数学实践活动课上，数学老师给实践小组布置了一个任务：设计一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的倍．求实践小组需要设计的正方体的棱长． 【压轴素养题型】 【题型8】立方根的规律探究 1.核心知识点 　　观察被开方数与立方根小数点的移动规律；规律探究与代数推理。 2.解题方法技巧 　　①被开方数小数点每移动三位，立方根小数点相应移动一位； 　　②注意被开方数与立方根小数点移动方向相同； ③根据已知近似值推算，注意数量级、符号与小数点位置。 【例题8】.（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【题型9】华罗庚快速求立方根探究 1.核心知识点 　　数学文化探究；按位数、个位、十位逐步确定整数立方根；逆向推理。 2.解题方法技巧 　　①由与夹逼确定立方根的位数； 　　②观察个位数字立方的尾数，确定个位数字； 　　③划去后三位，用相邻立方数夹逼确定十位数字，综合得结果。 【例题9】.（25-26七年级下·山东日照·期中）人教版七年级数学下册第59页《数学活动2》讲述我国著名数学家华罗庚的故事，同时揭示了数学中求立方根的奥秘．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是________位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是________； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，可以确定的十位上的数是________，由此求得________； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①________，②________． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·湖北武汉·期中）阅读理解  我国著名数学家华罗庚善于利用数字规律快速巧算.他心算的思路如下： ①先判断位数：由，，确定是一个两位数； ②再确定个位：由59319的个位上的数是9，确定的个位上的数是9； ③最后确定十位：划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此确定的十位上的数是3； 综上，得． 迁移应用 的立方数如下表： 底数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察上表规律可知：底数的个位上的数是3时，立方数的个位上的数是7 (1)若底数的个位上的数是5，则立方数的个位上的数是______，当底数的个位上的数是_____时，立方数的个位上的数是6； (2)用上述方法求，它是_____位数，个位上的数是_____，十位上的数是_____，所以______； (3)直接写出与的值． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·贵州遵义·期中）跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，又∵， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． (1)现在换一个数91125，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是______位数； ②它的立方根的个位数字是______； ③91125的立方根是______． (2)求140608的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【变式题9-3】.（25-26七年级下·重庆秀山·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？ 下面是小超的探究过程，请补充完整： (1)求； ①由，，可以确定是 位数； ②由的个位上的数字是，可以确定的个位上的数字是 ； ③如果划去后面的三位得到数，而，，可以确定的十位上的数字是 ；由此求得 ． (2)已知438976也是一个整数的立方，用类似的方法可以求的值． 易错点 　　1、混淆平方根与立方根，误认为负数没有立方根，或误认为一个数有两个立方根。 　　2、求的立方根时，忘记先算，直接对64开立方。 　　3、写立方根时漏掉根指数3，把写成。 　　4、利用时符号处理错误，漏负号或乱移符号。 　　5、实际应用题未结合现实条件取舍，直接照搬开立方结果。 　　6、规律探究题小数点移动方向、位数判断错误。 重点 　　1、掌握立方根的定义、表示方法，能准确求一个数的立方根，理解立方根的唯一性。 　　2、掌握开立方与立方的互逆关系，会利用立方根定义解简单方程。 　　3、掌握、及。 　　4、会区分平方根与立方根的区别与联系。 　　5、能利用立方根解决正方体体积、容器改造等实际问题。 难点 　　1、平方根与立方根综合应用，联立条件求未知数再求值。 　　2、立方根与数轴、绝对值综合化简代数式。 　　3、规律探究、数学文化（华罗庚）及跨学科情境题，把问题抽象为立方根模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．的相反数为（     ） A． B． C．7 D． 3．下列说法正确的是（     ） A．9的平方根是3 B．的立方根是5 C．25的平方根是 D． 二、填空题 4．王师傅有一个体积为的铁块原料，他将这个铁块熔化并重新锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为．则制作成的每一个小正方体铁块的棱长为_________． 5．若m是64的平方根，则m的立方根是______；若的立方根为4，则的平方根为______． 6．若实数x，y满足，则的立方根为 __． 三、解答题 7．求下列各式中x的值： (1) (2) (3) (4) 8．把48个棱长为的正方体铸成一个长、宽、高的比为的长方体，求这个长方体的表面积． 9．探究某些数的算术平方根、立方根： (1)探究算术平方根：下面是探究1849的算术平方根的过程，请将运算过程补充完整： ①由，可以确定是______位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，那么1849的算术平方根可能是____________；因为，而，所以1849的算术平方根=____________． (2)请根据上述研究思路求103823的立方根，并写出完整的推理过程． 10．类比探究： 小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若____________，则叫的五次方根，记作____________； ②32的五次方根为____________； (2)若，则____________； (3)求的值：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $