云南省昆明市云南师范大学附属中学呈贡学校2027届高三上学期高考适应性月考（二）数学试卷

云南师大附中呈贡学校高芳适应性月芳卷（二） 数学参考答案 一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求的. 题号 1 2 5 6 答案 D B B D A 【解析】 1.由不等式x2-5x-6≤0，可得(x-6(x+1)≤0，解得-1≤x≤6，所以A={-1,0,1,2,3, 45,6},因为B={3},所以CB={-1,0,1,2,4,5,6,故选D 2.由题a 5.sm.x 由aL方，即ai=0,得到y5c sinx=0, 2 osx-1 即tanx=√3，结合选项实数x的可能值为亚，故选C. 3.点P1,1)到圆心(4,5)的距离为5，则4≤PQ≤6，故选C. 4.由x+3y=5,可得(x+1)+3y=6,利用基本不等式可得6=(x+1)+3y≥2√(x+1)3y= 2√3(x+1)y,两边平方可得9≥3(x+1)y,当且仅当x+1=3y时“=”成立，即(x+1)y≤3， 故选B, 5.正四棱锥下底面为正方形，用平行于底面的平面截出的截面为正方形，剩下的几何体为正 四棱台.可得上截面的边长为2，侧面为四个全等的等腰梯形，侧面高为√22+22=2√5， 则侧面积S为S=4× =32√2，故选C. 6.由题意，设E(0,3),E(0,-3),P8,-3),则1EE=2c=6,1PE1=10,1PF|=8,则 2a=|PE-|PE|=2,则e=C=3,故选B. a 7.(2-x)4的二项展开式的通项公式为T+=(-1)C424x,r=0,1,23,4,其展开式有5项， 当r=1,3时，即第2,4项系数为负，其余项系数为正，且各项系数绝对值不相等.进行 等可能随机排列后，系数为负数的项不相邻的概率为AA=?,故选D. 数学参考答案·第1页（共11页） ■■口■■■口■■口■■■■ 8.n=5n-n),所以原不等式可以写为：5x5-ln)<(-5)(+句. 因为2<<6,50-血)<53(6+0=(-)1+65h5-5+6 6 5hx-为+ ',x-5n玉-。为-5n6，令f)=x-5mx→ ,对于 2<x<:<m,恒有f(:)>f(x),这意味着函数f(x)在区间(2，m上必须是单调递减的 函数.的=1-5+6--5x+6_-2-》,令fW≤0，即c-2-)0,解 x2 x2 得2≤x≤3，所以f(x)在区间[2,3]上单调递减，在(3，+)上单调递增.区间(2，m)必须 完全包含在f()的单调递减区间[2,3]内，即：(2，m[2,3],m≤3，同时已知 m>:>:>2,所以m>2.又因为m>Z,所以m只能取3，满足条件的整数m=3,故 选A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AD ABD AC 【解析】 ).由题相邻对称轴和对称中心分别为骨（昏0小，则7-西4仔引可得 o=2,故A正确；对称中心在f(x)上，则有sn 亚+p=0,考虑到pe0,四，可得p=号 、3 =m2到，教。循误：由=m2x到·x(任买）：令 1=2x+5∈，1四，因为y=simt在t∈匹， (66 不是单调递减函数，故C错误； 36’6 +≥，有+2k2x+ sim2x+3)21 ≤江+2，kEZ,可得没+≤+，kEZ 36 4 故D正确，故选AD. 数学参考答案·第2页（共11页） ■■口■■■口■■■■■ 10.对于A,a9=34q-2a,因为a≠0，两边同除以a得：(q-1(q-2)=0,己知q≠1， 所以q=2,故A正确；对于B,由=q得±=g=4,所以数列{@}是公比为 a. q 4的等比数列，故B正确：对于C,若a>0,则Sn≥a,等比数列的前n项和公式 为：3，-0-g2）-40-22-42-》,因为≥N,所以2≥2，则2-11若4>0， 1-q1-2 则Sn=a(2”-1)≥a,1=4·当n=1时等号成立，故C错误；对于D,设 gh <1,故D选项正确，故选ABD. 2a 11.由题意直线AB交x轴于点P,若P与抛物线焦点重合，则AB≥2p=2,故A选项正确： 由题意A、B、C、D为抛物线y2=2x上四个点可知，y ya ye,yn两两不等.设抛 物线y2=2x上任意两点 其中ya≠yc·当ya+yc≠0时，直线 AC的斜率k=y-ye 2 ,令y=0, ya yc ya+yc 2一，则直线AC方程为y-a= ya+》c( 2 22 则直线AC与x轴的交点M横坐标x,=-L,特别地，当y4十。=0时，此时直线AC 2 垂直于x轴，xM=-必也成立，点M的横坐标，=-心(*)，故B选项错误； 2 2 直线AB与直线CD交x轴于点P,则由(*)式可得点P横坐标o=-=-cD, 2 2 可得yy=yp，故C选项正确；由yyB=yyo,可知 y_c,则 ypyal APy,-xel yAyc yAyn SABDP ,-yal yByp_ycyD ya-yp 数学参考答案·第3页（共11页） lyally-yel OM, 如图1，当 OM≠1时， ypllya -ypl ON ON S△ACE OM 不成立，故D选项错误，故选AC. SABDP ON M N 图1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 (0,-1]U(2,+0) 27 20 【解析】 12. 函数f)要有意义，则：+1≥0，即 x+10x-2≥0， x-21 x-2≠0 所以函数f()的定义域为 (-0,-1]U(2,+m) 4+2d=7 13.法1：在等差数列{an}中，由S=35,S10=120,得到 9d-12解得4=3，d=2, 故a13=27. 法2：由S=35,S1。-S,=85,故S,S。-S,S15-S10成等差数列，且公差为85-35=50， S15-S0=S10-S,+50=85+50=135=41+42+a3+44+45,413=27. 题可得X的可能取值为，23，，i,n,PX=)=,1m,ieN·Y的可 取值为1,2,3，，j,,X,1≤≤，j∈N,先列举 Pr=》=X=0+P0x=2+Px=0-片+ w=)习x-++Px=0-日t甘 2 数学参考答案·第4页（共11页） 从质w=n+六+月 则E(Y)=P(Y=1)+2PY=2)+3P(Y=3)+P(Y=)+.+nP(Y=m) ++g片+0*本*母* =片+a+2×分2+到*+0+2+3*+x月 注意到1+2+3++n-nn+1)n+1 2n 4 44 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)①共有（红黄白）、（红黄黄）、（红白白）、（黄黄白）、（黄白白）、（白 白白)6种组合： …(2分) ②设事件M为取到三种颜色球， 由题得共有（红、黄1、黄2）、（红、黄1、白1）、（红、黄1、白2）、（红、黄1、 白3)、（红、黄2、白1）、（红、黄2、白2）、（红、黄2、白3）、（红、白1、 白2)、（红、白2、白3）、（红、白1、白3）、（黄1、黄2、白1）、（黄1、黄2、 白2)、（黄1、黄2、白3）、（黄1、白1、白2）、（黄1、白1、白3）、（黄1、 白2、白3)、（黄2、白1、白2）、（黄2、白1、白3）、（黄2、白2、白3）、 (白1、白2、白3)20种， 取到三种颜色共6种， 由古典概型得PM)=6=马· …(5分) (2)箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个， 设事件A表示没取到黄球，事件A表示三次都没取到黄球， …(6分) 有放回抽取，每次取到非黄球的概率为P(A)。弓 42 三次都没取到黄球的概率：P(A)= 8 1-27 ……………（8分) 数学参考答案·第5页（共11页） ■■口■■■口■■■■■ 设事件B表示至少取到一次红球，事件B表示三次都取到白球， P(B,)= …(10分) 三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：P(81A)=P4B2 P(A) P(AB)=P(A)-P(B)= 8137 278216 37 P(81A)= P(4B)_216=37 P(4)864' 27 在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是 …(13分) 64 16.(本小题满分15分) (1)证明：因为点E在以AD为直径的半圆上， 故DE⊥AE; 又因PA⊥底面ABCD,DEC平面ABCD,有PAL DE. 「DE⊥AE,DE⊥PA 因为{AE∩PA=A,则DE⊥平面PAE. …(6分) AE,PAC平面PAE (2)解：由(1)得AE⊥DE,PE⊥DE,可得二面角P-DE-A的夹角为∠PEA, …(8分) 有AE=√3，DE=1,如图2，以A为原点，AB、AD、AP 42 分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. A0..0D0.20.P0,0..E72 √33 0 B(30,0),C(N3,2,0), 图2 PD=(0,2,-1),BC=(0,2,0),PB=(W3,0,-1): …(10分) 设平面PDE和平面PBC的法向量分别为元，m,则有' .DE= 0,则元=(-1，V5,23): .PD= 数学参考答案·第6页（共11页） ■■▣■■■▣■■▣■■■ 同理可得 mBC=0,则i=1,0,√5)， …(14分) m.PB=0 故平面PBC与平面PDE所成夹角的余弦值co6=i,m_5 …(15分) 1元‖m8 17.(本小题满分15分) 解：(1)当F为椭圆的左焦点时，易知不满足题意； ……（2分) 当F为椭圆的右焦点时，由题，可得a=2,a-c=1,求得b2=3, 故椭圆C的方程为 x2.y2 =1. ……（4分) 43 (2)由(1)可知，b2=3,所以圆的方程为x2+y=3, …（5分) 设直线1的方程为y=-√3x+m,因为直线与圆相切，如图3所示， 图3 则圆心到直线l的距离d= m -5，解得m=2W5, …(7分) V(-32+1P2 椭圆上顶点A(0,√5)，分两种情况讨论： ①当加25时，直线的方常为y=一5+26，代入解树方种手号-1， 化简得5x-16x+12=0,解得x=2或x= 5 43 则当x=2时，y=0,当x=时，y= 由于片<y2,所以P(2,0),Q 则k=0-55 45-5 3 2-0 2 90 6 此时及w+人o:25 3 ………………………………………………(11分) ②当m=-25时，直线1的方程为y=-5x-2V5,代入椭圆方程+上-1， 4 3 数学参考答案·第7页（共11页） 化简得5x2+16x+12=0,解得x=-2或x=3 6 4W3 2时，y=0,当x=时， 5 由于y<⅓，所以P6.43 5- 5 ,Q(-2,0), 则k= -5-0 2 -2-02 ,此时kp+k0=25. 标所远，当m=25时，点n+w-2,当m-25时，k+6知=25 …(15分) 18.（本小题满分17分) (1)证明：由正弦定理可知a b =2,…(2分) sin A sin B sin C 利用二倍角公式，可得c=1-1-2sm, …(3分) 则有ac=4sin2B=(2sinB)2=b2. …(5分) 由余弦定理和基本不等式可得 cosB=a2+c2-b_+c-c≥2c-ac=}(当且仅当a=c=b时等号成立)， 2ac 2ac 2ac 2 则可证∠B为锐角. ……(8分) (2)解：因为5= )acsin B=33，由1)所得simB年 …(10分) 4 2 c=B,代入可得份=33，即b=5,则由正弦定理可得snB= 2 …(12分) 因为∠B为锐角，故∠B= 3 由余弦定理可得cosB=+c2-B_a+02-2ac-Ba+c-361 2ac 2ac 2b2 ……(5分) 则(a+c2=4b2,由a+c=2b=2√3，故△ABC的周长为33.…(17分) 数学参考答案·第8页（共11页） ■■口■■■口■■口■■■■ 19.（本小题满分17分) （1D解：cosh2)-2sinh)=e+e2 er-e-)2 e+e2r+e2-2 2 2 2 -e+e2-(e2+e2)+2-1. …（4分) (2)解：法一：泰勒展开： G证明当≥0时，sinhx+coshx=e,e_+e+e -=e*≥1+x+ 2 段m()=e-1-x2≥0，所以m()=e-x-1(x≥0 记n(x)=m'(x)=e-x-1(x≥0)，则n'(x)=e-1≥0， 所以m(x)在[O,+n)上单调递增， 所以m'(x)≥m'(0)=0,所以m(x)在[0，+o)上单调递增， 所以m)2m0)=0,所以当≥0时，e+x+x之恒成立：(6分) e-ar1+x+）a2, 要使sinhx+coshx≥ar2+x+1在x∈[0，+o)上恒成立，即只需e-ax≥x+1恒成立， 只需1+片小ax2七20即，解得a分 1 放当a=号时，。台到++分-=1+(e0恒成立 2 …(7分) 若a>号时，设g60=e-a--162≥0， 则g(0)=0,g'(x)=e-2ax-1. 记h(x)=g'(x)=e*-2ax-1(x≥0)，则h'(x)=e-2a, 因为a>行所以h2a>0, 令()=e*-2a=0,则x=n2a, 当xe[0,ln2a)时，h()<0, 当x∈(n2a,+o)时，h'(x)>0, 所以g'(x)=e-2ax-1在[0，ln2a)上单调递减，在(n2a,+o)上单调递增， 数学参考答案·第9页（共11页） ■■口■■■口■■■■■ 所以当x∈(0，n2a)时，g'(x)<g'(O)=0,g(x)在[0，ln2a)上单调递减， 即x∈(0，ln2a)时，g(x)<g(0)=0, 当≥0时，e-ar≥x+1恒成立矛盾，所以当a2时，不满足题 综上，实数a的最大值为} …(10分) 法二：分离参数+洛必达： 当x≥0时，sinhx+coshx≥ax2+x+1恒成立， 即e-ax≥1+x(x≥0)恒成立. …(5分) 当x=0时，不等式显然成立， 可得当x>0时，a≤e--l恒成立. …(6分) 设c0=c>0:则6--e2 设H(x)=(x-2)e*+x+2(x>0),则H'(x)=(x-1)e+1(x>0), [H'(x]'=xe>0,所以H'(x)在(0，+o)上单调递增， 所以H'(x)>(0-1)e°+1=0，所以H()在(0，+o)上单调递增， 所以H(x)>(0-2)e°+0+2=0， 所以G'()>0,所以G(x)在(0，+o)上单调递增. …(8分) 由洛必达法则可知受60)受母 e-1 e1 x→0 x-0 2=四22 所以G()>,所以a≤，所以实数a的最大值为 …(10分) (3)证明：设F()=e+e-x2-2,则F(x)为偶函数， 讨论当x≥0时，F'(x)=e-e-2x,且F'(0)=0, F"(x)=e+e-2,F"(0)=0, F"(x)=e-e≥0(x>0),故F"(x)=e+e-2在[0，+o)上单调递增， 所以F"(x)≥F"(O)=0, 故F'(x)=e-e"-2x在[0，+o)上单调递增， (13分) 所以F'(x)≥F'(0)=0, 数学参考答案·第10页（共11页） ■■口■■■口■■口■■■■ 故F(x)=e+e-x2-2在[0，+o)上单调递增，F(x)≥F(0)=0. 又因为F()为偶函数，故F(x)≥0对于x≥R恒成立， 即e+e≥x2+2对于x≥R恒成立， cosh)cosht:)=ee 2 2 4 ≥+5)》+2+G-52+2 4 -2+2+4_+发+1（当且仅当x时等号成立），…（15分) 4 2 co9)cosh(cos9)≥sm8+cos0+1(当且仅当in9=cos0,时等号成立)， 2 coshsin 0,,)coco0》≥im8+cos01+1(当且仅当snA=cos01时等号成立)， 2 coshn8,)coco9)≥sin0,+cos8+1(当且仅当sin0.=cosg时等号成立)， 2 由题设：8,8，，0∈0. 其中n≥2，n∈N,上述等号不可能同时取到， 故cosh(sin8)cosh(cos日，+-)= cosh(sin)cosh(cose)+cosh(sin )cosh(cos)+..+cosh(sine)cosh(cos)> sin2g+cos0.+sim'g+cos0+.+sim28+cos8+n 2 2 2 sincocssin+cos 2 …(17分) 数学参考答案·第11页（共11页）云南师大附中呈贡学校高考适应性月考卷（二） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效· 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项符合题目要求 1.设集合A=|xEZx2-5x-6≤0}，B={3},则CB= A.{2 B.{-1,0,1 C.10,2} D.{-1,0,1,2,4,5,6} 2.已知向量a= m孕叫经儿，-ca,w引，若都L,则实载：的可能信为 2 A君 B平 D 3.已知点P(1,1),点Q是圆(x-4)2+(y-5)2=1上任意一点，则|PQ|的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.7 4.已知正实数x,y满足x+3y=5,则(x+1)y的最大值是 A.2 B.3 C.4 D.5 5.用平行于底面的平面截高为3的正四棱锥，该棱锥底面边长为6，截面面积为4，则 截去一个小四棱锥后剩下几何体的侧面积为 A.32 B.72 C.322 D.32√2+40 6.已知双曲线的两个焦点分别为(0,3)，(0，-3)，点(8，-3)在该双曲线上，则该双 曲线的离心率为 A.2 B.3 C.4 D.3 7.将(2-x)4的二项展开式的各项等可能随机排列，则系数为负数的项不相邻的概率为 A c号 5x12 8.若2<，<，<m,me乙，不等式m气 <(x1-x2)(x1x2+6)恒成立，则m= A.3 B.4 C.5 D.6 数学·第1页（共4页） ■■口■■■口■■口■■■■ 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9已知函数代)=n(urt+p)(w>0,0<m)的一条对称轴为x=2,与其相邻的一个对 称中心为行，0， 则下列选项正确的是 苓 A.0=2 B=sa+引 C九)在区间（任，上单调递减 D.不等式代)≥分的解集为2+m,平+比]，ke2 10.已知在正项等比数列{an}中，Sn为an}的前n项和，a=3a2-2a1,且公比q≠1，则 A.g=2 B.{a}是公比为4的等比数列 D.数列 的前n项和T,<2a 1 C.S>a AS S+1 11.在平面内，0为坐标原点，抛物线y2=2x上有A、B、C、D四个点，A、B、C、D的 纵坐标分别为y、yg、yc、yD,直线AB与直线CD交x轴于点P,直线AC交x轴于 点M,直线BD交x轴于点N,以下说法正确的有 A.若P与抛物线焦点重合，则AB≥2 B.点M的横坐标y=c 4 C.Y为定值 YcyD D.当点M和点N不重合时， SAACP OM SABDP ON 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数fx)= x+1 x-2的定义域为 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S,=35,S1o=120,则a13= 14.从1,2,3，…，n这n个数中随机抽取一个数记为X,再从1,2，…，X这X个数 中随机抽取一个数记为y,已知Y的数学期望B()=孕，则n的值为 23 数学·第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 18. 15.(本小题满分13分) 箱子里有1个红球，2个黄球，3个白球，所有小球仅颜色存在差别. (1)无放回地取三次，每次取一个球，求： ①取出的三个球共有多少种不同的颜色组合； ②取出的是三种不同颜色球的概率， (2)有放回地取三次，每次取一个球，在三次都没取到黄球的条件下，求至少取到 一次红球的概率 19 16.（本小题满分15分) 如图，底面由矩形ABCD与以AD为直径的半圆拼接而成，已知PA⊥底面ABCD,且 BC=2PA=2,AB=√3.点E为半圆弧AD上的动点（不与A,D两点重合). (1)证明：DE⊥平面PAE; (2)若二面角P-DE-A的夹角为30°，求平面PBC与平面PDE所成夹角的余弦值， 17.(本小题满分15分) 已知椭圆C: 。=1(>b>0),A为椭圆C的上顶点，F为椭圆C的焦点，B为椭 圆C的右顶点，且AF=2,BF=1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)斜率为-√3的直线1与圆x2+y2=b2相切，直线1交椭圆C于P(x1,y1), Q(x2,y2)(y1<y2)两点，求kP+4Q: 数学·第3页（共4页） ■■口■■■口■■口■■■ 18.（本小题满分17分) 在△ABC中，角A,B,C对应的边a,6,c满足2ac=1-cos2B,且△ABC外接圆的半 径为1. (1)证明：∠B为锐角； (2)若△ABC的面积为3，求△MBC的周长 3V3 19.(本小题满分17分) 达·芬奇不仅是意大利的著名画家，还是数学家、物理学家和机械工程师.他在创 作《抱银貂的女人》时曾思考过一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下 自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题” 颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；它的桥梁结构为拱形结构，这是悬链线在 建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗 伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把 悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门， 约170年后，约翰·伯努利给出了悬链线的函数表达式p()=acosh三，其中a为悬 e*te 链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh(x)= 2，x∈R,相应 典，双曲正弦函数的函数表达式为sh(©。，。，xER (1)求cosh(2x)-2sinh2(x)的值； (2)若sinhx+coshx≥ax2+x+1在xe[0,+oo)上恒成立，求实数a的最大值； (3)设，8，，0.∈0，》，其中n≥2，neN,证明： co(sim)cosh(co0 数学·第4页（共4页）