精品解析：云南省部分校2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合，不等式，函数，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列，立体几何，解析几何，计数原理与概率统计． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若复数是纯虚数，则的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或 3. 若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（ ）种． A. B. C. D. 5. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. 24 B. 18 C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的体积为，其母线与底面所成的角是，则该圆锥的侧面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知，且.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量服从正态分布，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 随的变化而变化 10. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 直线是曲线的一条对称轴 11. 已知等差数列的前项和为，前项积为.若，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数是______ 13. 已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________． 14. 甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别是，，，且 （1）求角； （2）若的面积为，，求边上的高． 16. 随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多．商家销售商品，既要满足顾客需要，又要为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系．为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格．某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据： 售价x（元/件） 3 4 5 6 7 日销量y（件） 69 57 54 40 30 （1）由上表数据知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； （2）试问商家将每件售价定为多少元时，可使其获得的日利润最大？（结果保留整数） 附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．参考数据：． 17. 为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍． （1）根据题中信息，完成下面列联表； 单位：人 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 女 合计 （2）根据（1）中的列联表，依据的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18. 如图，在四棱柱中，四边形ABCD是菱形，，，，，点E是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值． 19. 某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图. （1）试估计这1000个脐橙的果径的中位数； （2）在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望； （3）以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合，不等式，函数，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列，立体几何，解析几何，计数原理与概率统计． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A 2. 已知，若复数是纯虚数，则的值为（ ） A. B. C. 或1 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义列式求解. 【详解】由复数是纯虚数，得，解得. 故选：B. 3. 若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为点为抛物线上一点， 所以，解得. 因为抛物线的准线为， 所以点P到其焦点的距离为． 4. 有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（ ）种． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式即得. 【详解】第一步，从除组长、甲、乙外的9人中选出2人，有种； 第二步，甲、乙和选出的2人排在前排，共种； 第三步，后排7人全排列，有种， 由分步乘法计数原理可得共有种. 故选：D 5. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A. 24 B. 18 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，读出向量的坐标，再利用坐标运算求数量积. 【详解】以三个向量的公共起点为原点建立如图所示的直角坐标系， 则，，， 则，， 则 故选：D 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角公式化简原式，结合所在象限计算，进而求得，再使用正弦和差公式进行求解即可. 【详解】由得， 又，所以，， 所以 7. 已知圆锥的体积为，其母线与底面所成的角是，则该圆锥的侧面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由母线与底面所成的角是可得，结合锥体体积公式列方程求，，再由圆锥侧面积公式求结论. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h， 由母线与底面所成角是知，， 所以体积，故， 化简可得， 所以，，， 所以圆锥的侧面积为． 故选：C． 8. 已知，且.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列式求解即可. 【详解】由是减函数，得， 又时，在上单调递减， 所以要函数在上单调递减， 则有且，所以. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量服从正态分布，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 随的变化而变化 【答案】AB 【解析】 【详解】已知随机变量服从正态分布，所以随机变量的均值为， 对于A选项，，故A选项正确. 对于B选项，根据正态分布的对称性， 而，故B选项正确. 对于C选项，因为，所以，故C选项错误. 对于D选项，，与无关，故D选项错误. 10. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 直线是曲线的一条对称轴 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意，，由，则，故． 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，将的图象向右平移个单位可以得到函数 ，故B正确； 对于C，当时，，而函数在上单调递减，故C错误； 对于D，，时，, 所以是其对称轴，故D正确． 11. 已知等差数列的前项和为，前项积为.若，，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】由等差数列通项公式基本量的计算可判断A，由A结合二次函数可判断B，由通项公式可判断C,D. 【详解】设的公差为，由，，得，， A错误； 因为，对称轴为：， 所以时，取得最小值，B错误； 由知，，，，都小于0，，，，都大于0， 所以的最小值为，C正确； 由知，，，都小于0， ，，，都大于0， 中，，，，都小于0，其他的都大于0，显然最小，D正确. 故选：CD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项公式为 令，解得， 所以的系数为． 13. 已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】求出样本数据的平均数的表达式，再利用“1”的妙用结合基本不等式即可求得答案. 【详解】因为数据的平均数为，数据的平均数为， 所以， 所以样本数据的平均数为， 又正数满足， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故样本数据的平均数的最小值为5． 14. 甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得甲比赛四局、五局、六局和七局获胜的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，若比赛四局，则甲赢的概率为； 若比赛五局，甲第五局赢，可得甲赢的概率为； 若比赛六局，甲第六局赢，可得甲赢的概率为； 若比赛七局，甲第七局赢，可得甲赢的概率为， 所以甲赢的概率为， 所以甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别是，，，且 （1）求角； （2）若的面积为，，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件及正弦定理可得，再结合角的范围可得； （2）结合（1）中及面积可得，再由余弦定理可得，再由面积可得所求边上的高. 【小问1详解】 由正弦定理及， 得， 因为，所以，，所以. 又，所以． 【小问2详解】 由（1）知，又因为的面积为，， 所以，解得. 由余弦定理，所以. 设边上的高为，则，解得，即边上的高为． 16. 随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多．商家销售商品，既要满足顾客需要，又要为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系．为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格．某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据： 售价x（元/件） 3 4 5 6 7 日销量y（件） 69 57 54 40 30 （1）由上表数据知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； （2）试问商家将每件售价定为多少元时，可使其获得的日利润最大？（结果保留整数） 附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．参考数据：． 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【小问1详解】 由表知，，， ，又， 所以， 所以关于的经验回归方程为； 【小问2详解】 设商家的日利润为元， 则， 该二次函数的对称轴方程为， 所以当售价定为每件6元时，商家可获得的日利润最大． 17. 为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍． （1）根据题中信息，完成下面列联表； 单位：人 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 女 合计 （2）根据（1）中的列联表，依据的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 30 70 100 女 40 60 100 合计 70 130 200 （2）认为观众对该档节目的喜爱情况与性别无关 【解析】 【分析】（1）利用分类统计，即可得到二阶列联表； （2）利用独立性检验的计算步骤即可求解. 【小问1详解】 设喜爱该档节目的男性观众数为x，则喜爱该档节目的女性观众数为，不喜爱该档节目的女性观众数为， 则，得． 故列联表完成如下． 单位：人 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 30 70 100 女 40 60 100 合计 70 130 200 【小问2详解】零假设为：观众对该档节目的喜爱情况与性别无关． 根据（1）中列联表的数据，计算得到． 根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为观众对该档节目的喜爱情况与性别无关． 18. 如图，在四棱柱中，四边形ABCD是菱形，，，，，点E是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先应用线面垂直判定定理得出平面，再得出平面ABCD，最后应用面面垂直判定定理证明； （2）建系，先求出平面的法向量，再应用面面角余弦公式求解，最后应用同角三角函数关系计算求解. 【小问1详解】 取BC的中点O，连接DO，，如图所示． 因为四边形ABCD是菱形，，故是等边三角形，所以，， 又，，，平面，故平面， 又平面， 故，，故，故， 又，DO，平面ABCD，所以平面ABCD， 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 以O为坐标原点，OD，OB，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 所以，，，，，， 故，，， 设平面EDB的法向量为， 所以，即得， 令，解得，，所以． 设平面的法向量为， 所以，即得， 令，解得，，所以． 所以， 所以， 即二面角的正弦值为． 19. 某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图. （1）试估计这1000个脐橙的果径的中位数； （2）在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望； （3）以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？ 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . （3），30 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图求中位数的方法即可得解； （2）根据题意，分析得一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个，从而得到的所有可能取值，再利用超几何分布的分布列即可得解； （3）利用二项分布得到，再利用作商法判断出当时，最大，从而得解. 【小问1详解】 果径的频率为， 果径的频率为. 故果径的中位数在，不妨设为， 则，解得， 所以估计这1000个脐橙的果径的中位数为. 【小问2详解】 果径的频率之比为， 所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个， 故随机变量的所有可能取值为， 则，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 期望. 【小问3详解】 依题意知，这批果实中一级果的概率， 每个果实相互独立，则， 则， 令，解得， 故当时，， 即； 当时，， 即， 所以，即一级果的个数最有可能为30个. 【点睛】方法点睛：求二项分布中的最大值，一般有作差法与作商法，构建不等式组两种方法，但从解题便捷的角度，作商法会更容易点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $