云南省部分校2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：集合，不等式，函数，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列，立体几何，解析几何，计数原理与概率统计． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知，若复数是纯虚数，则的值为 A． B． C．或1 D．或 3．若点为抛物线上一点，则点到其焦点的距离为 A．2 B．4 C．6 D．8 4．某兴趣小组的12位同学一起拍照留念，要求排成前5位、后7位的两排，且组长甲站在前排正中间，两位组员乙、丙站前排，则所有的排法有 A．种 B．种 C．种 D．种 5．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 A． B． C． D． 6．已知，且，则 A． B． C． D． 7．已知圆锥的体积为，其母线与底面所成的角是，则该圆锥的侧面积为 A． B． C． D． 8．已知，且，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机变量服从正态分布，且，则下列说法正确的是 A． B． C． D．随的变化而变化 10．已知函数为奇函数，则 A．的最小正周期为 B．将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 C．在区间上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴 11．已知等差数列的前项和为，前项积为．若，，则 A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，的系数是________． 13．已知数据，，…，的平均数为，数据，，…，的平均数为，其中正数，满足，则样本数据，，…，的平均数的最小值为________． 14．甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛结束）．若甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件下，比赛进行了七局的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在中，内角，，的对边分别是，，，且． （1）求角； （2）若的面积为4，，求边上的高． 16．（本小题满分15分） 随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多．商家销售商品，既要满足顾客需要，又要为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系．为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格．某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据： 售价x（元/件） 3 4 5 6 7 日销量y（件） 69 57 54 40 30 （1）由上表数据知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； （2）试问商家将每件售价定为多少元时，可使其获得的日利润最大？（结果保留整数） 附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．参考数据：． 17．（本小题满分15分） 为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍． （1）根据题中信息，完成下面列联表（单位：人）； 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 女 合计 （2）根据（1）中的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？ 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18．（本小题满分17分） 如图，在四棱柱中，四边形是菱形，，，，，点是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值． 19．（本小题满分17分） 某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果．某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计这1000个脐橙的果径的中位数； （2）在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望； （3）以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年秋季学期第一次月考·高三数学 参考答案、提示及评分细则 1．A 2．B 3．C 4．D 5．B 6．D 7．C 8．C 9．AB 10．ABD 11．CD 12． 13．5 14． 15．解：（1）由正弦定理及，得， 2分 因为，，所以，，所以． 4分 又，所以． 6分 （2）因为的面积为4，，所以，解得． 8分 由余弦定理，得，所以． 11分 设边上的高为，则，解得，即边上的高为． 13分 16．解；（1）由表知，，， 2分 ，又， 5分 所以， 7分 所以关于的经验回归方程为； 8分 （2）设商家的日利润为元， 则， 12分 该二次函数的对称轴方程为， 所以当售价定为每件6元时，商家可获得的日利润最大． 15分 17．解：（1）设喜爱该档节目的男性观众数为，则喜爱该档节目的女性观众数为，不喜爱该档节目的女性观众数为，则，得． 2分 故列联表完成如下（单位：人）： 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 30 70 100 女 40 60 100 合计 70 130 200 7分 （2）零假设为：观众对该档节目的喜爱情况与性别无关． 根据（1）中列联表的数据，计算得到 ． 12分 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为观众对该档节目的喜爱情况与性别无关． 15分 18．（1）证明：取的中点，连接，，如图所示． 因为四边形是菱形，，故是等边三角形， 所以，， 1分 又，，，平面，故平面， 3分 又平面， 4分 故，，故，故， 又，，平面，所以平面， 6分 又平面，所以平面平面． 8分 （2）解：以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．所以，，，，，，故，，， 设平面的法向量为，所以，，令，解得，，所以． 11分 设平面的法向量为，所以，，令，解得，，所以． 13分 所以， 15分 所以，即二面角的正弦值为． 17分 19．解：（1）果径的频率为， 果径的频率为， 故果径的中位数在，不妨设为，则， 解得中位数． 4分 （2）果径，，的频率之比为，所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个， 5分 故随机变量，1，2，3， ， 6分 ， 7分 ， 8分 ， 9分 所以的分布列为 0 1 2 3 期望． 10分 （3）这批果实中一级果的概率，每个果实相互独立，则， 11分 则，题目即求为何值时，最大， 12分 令，解得， 15分 故当时，，即，当时，，即，所以， 即一级果的个数为30时，最大． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $