2.1 直线的倾斜角与斜率课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“直线的倾斜角与斜率”，系统梳理定义、公式及平行垂直判定，衔接初中函数图像与高中解析几何，通过基础概念、例题解析到综合应用，结合思维导图构建知识支架。 其亮点在于融入数形结合思想与分层训练，以方向向量求斜率、光线反射等例题培养数学眼光与思维，高考对接练习提升应用能力，助力学生深化理解，教师可实现一体化教学。

高二数学●2024人教A版选择性必修一 第二章 直线和圆的方程 2.1 直线的倾斜角与斜率 本节理解直线倾斜角与斜率的定义，掌握斜率的计算公式，理清倾斜角和斜率之间的对应关系，会由两点求斜率，运用数形结合思想解析直线的几何特征 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括107张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 图解课标要点 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 直线的倾斜角 1 直线的方向 在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为 这条直线的方向.因此，这些直线的区别是它们的方向不同. 这些直线相对于轴的倾斜程度不同，也就是它们与 轴所成的角不同.因此，我 们可以利用这样的角来表示这些直线的方向. 4 2 倾斜角的概念 当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线 向上的方向之间所成 的角 （轴绕与交点按逆时针旋转到与重合时所转的最小正角） 叫做直线 的倾 斜角.（从形的角度刻画了直线的倾斜程度） . . . . . . 5 知识剖析 1.倾斜角定义中的三个条件： 轴正向；②直线向上的方向；③小于平 角的非负角. 2.确定直线位置的几何要素：①直线上的两点；②直线上的一个定点以及它的 倾斜角（方向）. 3.在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的 直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角 不相等．因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也 就表示了直线的方向. 6 3 倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 .因此，直线的倾斜角 的取值范围为 （注意不等于 ）,具体如下. 倾斜角 直线 平行（重合） 于 轴 ___________________ 由左向右上升 ____________________________ 垂直于 轴 _____________________ 由左向右下降 _______________________ . . 7 辨析比较 各种角的范围 角 取值范围 直线的倾斜角 向量的夹角 异面直线所成角 直线与直线所成角 （包含平行） 直线和平面所成角 二面角的平面角 平面与平面的夹角 （不大于 ） 8 学思用·典例详解 例1-1 如图2.1-5，直线 的倾斜角为______. 图2.1-5 【解析】由倾斜角的定义，可知轴正向与直线 向上的方向之间所成的角为 ，所以直线的倾斜角为 . 9 例1-2 [多选题]下列结论中错误的是( ) BCD A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为 C.倾斜角为 的直线只有一条，即 轴 D.直线都是一次函数的图象 【解析】任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为 的直线 有无数条，它们都垂直于轴（垂直于 轴的直线就不是函数的图象）， 且不是一次函数的图象. 因此A结论正确，B，C，D结论错误. . . 10 例1-3 如果过原点的直线绕坐标原点按顺时针旋转 得到直线，且直线 的倾斜 角为 ，那么直线 的倾斜角为( ) B A. B. C. D. 【解析】将直线绕坐标原点按逆时针旋转 得到直线 ，所以 ，所以直线的倾斜角为 . 11 知识点2 直线的斜率 1 斜率的概念 我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率（从数的角 度刻画直线的倾斜程度）.斜率常用小写字母表示,即 . . . 12 2 斜率与倾斜角的关系 （结合正切函数 的性质记忆） 的大小 斜率的范围 0 不存在 斜率的增减性 随 的增大而增大 随 的增大而增大 注意 下面特殊角的正切值要熟记： 倾斜角 斜率 0 1 13 特别提醒 1.每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为 的直线没有斜率. 2.由正切函数的单调性知，倾斜角不同的直线，其斜率也不同.因此，我们可以 用斜率表示倾斜角不等于 的直线相对于 轴的倾斜程度，进而表示直线的方向. 3.当倾斜角不是 时，倾斜角的正切值就是斜率，此时斜率和倾斜角可以相 互转化（一一对应）.因此，确定一条不垂直于 轴的直线，只要知道直线上的一个 点和直线的斜率即可. 14 教材深挖 教材第53页【?】：当直线的倾斜角由 逐渐增大到 时，其斜率如 何变化?为什么？ 正切函数在,上的图象如图2.1-1，由图象可以看出，倾斜角为 的 直线是一个分界，直线斜率与倾斜角间的关系如下表. 倾斜角 0 斜率 0 ，且随着 的增大而增大 不存在 ,且随着 的增大而增大 我们也可以结合图2.1-2进行记忆. 15 学思用·典例详解 例2-4 [教材改编P55 T1，T2]对下面直线的倾斜角与斜率进行互化： （1） ； 【解析】直线的斜率 . （2） ； 【解析】直线与 轴垂直，因此直线无斜率. （3） ； 【解析】设直线的倾斜角为 , ，令，得 ， 所以直线的倾斜角为 . 16 （4） . 【解析】设直线的倾斜角为 , ，令，得 ，所以直 线的倾斜角为 . 17 例2-5 (2026·江苏省昆山市月考)若直线的倾斜角 满足，且 ，则其 斜率 满足( ) C A. B. C.或 D.或 【解析】因为，且 ， 所以或 ， 所以或 . 18 例2-6 [多选题](2026·江西省赣州市厚德外国语学校月考)如图 2.1-6,直线，， 的 斜率分别为,,,倾斜角分别为,, ,则下列选项正确的是( ) AD A. B. C. D. 【解析】由题图可知 （ 由左向右下降，倾斜角为钝角）， 根据正切函数的性质可知，,所以 . . . 19 知识点3 过两点的直线的斜率公式 1 公式 图2.1-3 经过两点, （注意横坐标不 相等）的直线的斜率公式为 （【直观理解】如图 2.1-3所示） . 特别提醒 （1）当 时，公式右边无意义，直线的斜 率不存在,倾斜角为 ，此时公式不适用.在研究直线的斜 率问题时，一定要注意讨论斜率的存在与不存在两种情况. （2）斜率公式中的值与,两点在该直线上的位置无关，即在直线 上任取不 同的两点, ，斜率均不变. . . . . 20 （3）斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换，即 . （4）若,，则此时斜率，直线的倾斜角 ，直线与 轴 平行或重合. 21 2 直线斜率与方向向量的关系 如图2.1-3，直线上的向量 以及与它平行的非零向量都是直线的方向向 量.显然，直线的方向向量不唯一，其中， 就是直线的一个 方向向量. 当直线与轴不垂直时，，此时向量也是直线 的方向 向量，且它的坐标为，即,其中是直线 的斜率.因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则 . 图2.1-3 22 学思用·典例详解 例3-7 ［教材改编P54例1]求过两点， 的直线的斜率，并判断其倾 斜角是锐角还是钝角. 【解析】直线的斜率，由可知，直线 的倾斜角为钝 角.（钝角的正切值为负） 23 例3-8 ［教材改编P55 T5]过， 两点的直线的一个方向向量为 ，则 ____;该直线的倾斜角为_____. 【解析】 由直线的方向向量为，得直线的斜率为 ， 所以直线的倾斜角为 , 所以，解得 . 由题意得.又直线的一个方向向量为 ，所 以，所以，解得 .又该直线的斜率 为,所以该直线的倾斜角为 . 24 知识点4 两条直线平行和垂直的判定 1 两条直线平行的判定 （1）倾斜角的关系：若两条直线, （若无特殊说明，均指两条不重合的直线） 的倾斜角分别为，，则 . （2）斜率的关系： ①（特殊情况）若两条直线,都没有斜率，即两直线的倾斜角都为 时， . ②对于斜率分别为,的两条直线,，有 .（前提条件是两 条直线的斜率都存在） . . . . 25 前提条件 （倾斜角总是相等的.） （倾斜角总是相等的.） 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 注意 若直线,重合，此时仍有 或斜率不存在.用斜率证明三点共线时， 常常用到这个结论. . . . . 26 2 两条直线垂直的判定 （1）倾斜角的关系：若两条直线,的倾斜角分别为, ，则 . （2）斜率的关系： ①（特殊情况）若两条直线，中直线没有斜率，直线 的斜率为0，即直线 的倾斜角为 ，直线的倾斜角为 时，.（此种情况一条直线平行于 轴， 另一条直线垂直于 轴） ②如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 ;反之， 如果两条直线的斜率之积等于，那么它们互相垂直.即 （前提条件是两条直线的斜率都存在）. . . 27 前提条件 , , 对应关系 与 中的一条直线斜率不存在，另 一条直线斜率为零，则 与的斜率都存在，分别为 , ,则 图示 特别提醒 当直线时，有或其中一条直线垂直于 轴，另一条直线垂 直于轴；而若,则一定有 . 28 学思用·典例详解 例4-9 [教材改编P58 T5，T6]判断下列不同的直线与 的位置关系. （1）经过点,,经过点， ； 【解析】直线的斜率,直线的斜率,,且, 纵坐标不相等,,,不共线， . （2）的斜率为1,经过点, ； 【解析】直线的斜率,直线的斜率 , , . 29 （3）经过点,,经过点， ； 【解析】 点, 的横坐标相同， 的倾斜角为 ，即 轴. 点, 的纵坐标相同， 直线的倾斜角为 ，即轴.故 . （4）经过点,,经过点， . 【解析】与都与 轴垂直， . 30 例4-10 ［教材改编P58 T4]已知，， 三点，这三点 是否在同一条直线上？为什么？ 【解析】 因为，，所以，与 共 线且有公共点，所以,, 三点共线. 直线的斜率，直线的斜率， ，且有 公共点，所以,, 三点共线. 31 例4-11 [易错题]已知直线的斜率为,且，求直线 的斜率. 【解析】当时，设直线的斜率为，由得， , ； 当时，与轴平行或重合，则与 轴平行或重合， 直线 的斜率不存在. 故直线的斜率为 或不存在. 32 知识点5 两直线的夹角公式 图2.1-4 规定两条相交直线所成的锐角或直角 为两条直线的夹角，如果两条直线平行或 重合，规定它们的夹角为 .因此，两条 直线的夹角 的取值范围是 . （1）倾斜角表示： 如图2.1-4（1）（2），若两条直线 ，的倾斜角分别为， ，则两条直 线的夹角 33 （2）方向向量表示: 当两直线的斜率都存在时，设直线，的斜率分别为，，则直线， 的 方向向量分别为， ，根据向量的夹角公式，可求得两直线夹 角的余弦公式为 ， . （3）斜率表示: 当两直线的斜率都存在，且两直线互不垂直时，设直线，的斜率分别为 ， ，根据三角函数公式，可求得两直线夹角的正切公式为 . 证明：因为两条直线的夹角 所以 . 34 学思用·典例详解 例5-12 已知两直线的斜率分别为1和 ，则两直线的夹角的余弦值为_ ___. 【解析】设两直线的夹角为 ， 根据题意，两条直线的方向向量分别为， ， 则， . 35 设两直线的斜率分别为, , 由且得,， ， ， 所以 ， 所以 ， 即 ， 解得 （负值已舍去）. 36 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 求直线的倾斜角 1 直线旋转求倾斜角 例13 [多选题]设直线过原点，其倾斜角为 ,将直线 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 ，得到直线，则直线 的倾斜角可能为( ) AC A. B. C. D. 【解析】根据题意，由于倾斜角的范围是 ， 当 时，直线的倾斜角为 （逆时针方向旋转，角度增加）， 当 时（此时 ，不满足倾斜角的范围，因此要再减 去，直线的倾斜角为 . . . . . 37 2 根据斜率求倾斜角 例14 (2026· 河南省信阳市滨城高级中学月考)设直线的斜率为,且 ,则 直线的倾斜角 的取值范围是_____________. , 【解析】由,得,又 ,利用正切函数的性质得倾 斜角 的取值范围是（易错误地得出, .事实上，当 时, ;当时，,从而得, ）. . . 38 易错警示 直线的倾斜角并非总随着直线斜率的增大而增大，即倾斜角随斜率的增 大而增大是有限制条件的，当（或 时，倾斜角随斜率的增大而增大.倾斜 角中 是一个分界，斜率中0是一个分界. 39 3 根据两直线垂直求倾斜角 例15 已知直线,的倾斜角分别为,，且，试用表示 . 图2.1-7 【解析】 （1）当 时， 的倾 斜角 （如图2.1-7（1））； （2）当 时， 的倾斜角 （如图2.1-7（2））. 故直线的倾斜角 40 由直线夹角公式得， , , , , , 41 （1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与 轴正向之 间所成的角，同时应明确倾斜角的范围： . （2）根据直线的斜率求倾斜角时，注意利用 进行求解，在求取值范围时， 注意结合正切函数的性质求解. （3）由两直线垂直求倾斜角时，可通过作图，数形结合求解，注意分类讨论做到不 重不漏. 42 【学会了吗丨变式题】 1.(2026·湖南省A佳教育联盟期中)已知直线过点， ，则直 线 的倾斜角的取值范围为( ) B A. B. C. D. 【解析】直线的斜率 ， 设直线的倾斜角为 ，，所以 （斜率为正值，倾斜角一定为锐 角）， 所以倾斜角的取值范围为 . . . 43 题型2 求直线的斜率 1 根据倾斜角或斜率求斜率 图2.1-8 例16 如图2.1-8，直线的倾斜角 ，直线 ，求 和 的斜率． 【解析】由于直线的倾斜角 ， 故直线的斜率为 . 的倾斜角 , 的斜率 . 直线， 直线的斜率为 . 44 例17 (2026·湖北省十堰市东风高级中学月考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2， 则该正方形的一条边所在直线的斜率为_______________________.（写出一个即可） ，（任写一个即可） 图2.1-9 【解析】 如图2.1-9所示，在正方形中，设对角线 所在直线的斜率为2，建立平面直角坐标系. 设对角线所在直线的倾斜角为 ，则 ， 由正方形的性质可知，直线的倾斜角为 ，直线 的倾斜 角为 ，所以 ， . （【另解】也可由得 ） 45 设正方形的边所在的直线的斜率为 , 因为正方形的对角线与四边的夹角都为 ，正方形的一条对角线所在直线的斜率 为2， 所以由两直线夹角的正切公式得，即，解得 或 . 46 2 利用过两点的直线的斜率公式求斜率 例18 已知坐标平面内的三个顶点的坐标分别是,， ,讨 论直线,, 的斜率情况. 【解析】, . ,两点的横坐标相等， 直线 的斜率不存在. 易错警示 当两点的横坐标相等时， 的分母为0，公式没有意义，则斜率 不存在. 47 3 根据直线的方向向量求斜率 例19 (2026·广东省中山市段考)若直线的倾斜角为，方向向量为 ，则 实数 的值是( ) A A. B. C. D. 【解析】 直线的方向向量是 ， 直线的斜率为 ， 又直线的倾斜角 ， 斜率，解得 . 48 求直线斜率的方法 （1）定义法.已知直线的倾斜角为 ，且 ，则该直线的斜率 . （2）公式法.已知直线上任意两点的坐标, 求直线的斜率时，首先应 检验两点的横坐标是否相等，若相等，则斜率不存在；若不相等,则直线的斜率 . （3）向量法.已知直线的方向向量为，则直线的斜率 . 49 【学会了吗丨变式题】 2.［教材改编P58 T3（2）](2026·福建省厦门集美中学月考)已知， 两点所在直线的倾斜角为，则实数 的值为( ) D A. B. C. D.5 【解析】，两点所在直线的倾斜角为 ， ，解得 ． 50 3.在平面直角坐标系内，正三角形的边所在直线的斜率是0，则边， 所 在直线的斜率之和为( ) B A. B.0 C. D. 【解析】由题意知，的另外两边所在直线的倾斜角分别为 ， ，所以 直线的斜率之和为 . 51 题型3 两条直线平行关系的判定及应用 1 两条直线平行关系的判定 例20 ［教材改编P58 T5]根据下列给定的条件,判断直线与直线 是否平行. （1）经过点,,经过点， ; 【解析】,,即,所以与 不平行. （2）平行于轴,经过点 , ; 【解析】由题意,知恰好与轴重合,所以 . 52 （3）经过点,,经过点， . 【解析】由题意,知, , 即,所以与 平行或重合. 需进一步研究,,, 四点是否共线， 因为,所以,,, 四点共线. 所以与 重合. 53 判定两不同直线平行的思路 （1）利用直线的斜率判断： （2）利用直线的方向向量判断：求出两直线的方向向量，通过判断两向量是否共线， 得到两直线是否平行. 54 2 由两直线的平行关系求参数 例21 ［教材改编P57练习T2（1）]已知点 , ,, ,若 ,求 的值. 【解析】 当时（切勿遗漏斜率不存在的情况）,直线 的斜率不存在， 而直线的斜率存在,与 不平行,不合题意; 当时,直线的斜率不存在，而直线的斜率存在,与 不平行,不合题意; . . . . 55 当,且时,, . 因为,所以 , 即,解得或 . 经检验（求得值后要注意检验,排除重合的情况），当或时，直线 , 不重合. 综上， 的值为0或1. . . 56 , , 因为，所以 ， 所以，即,所以或 , 经检验，当或时，直线,不重合，所以或 . 57 由两直线平行求参数的思路 方法1：利用斜率的坐标公式表示出斜率,令斜率相等求解.但在解题过程中要注意对 参数的讨论,不要遗漏直线与 轴垂直的特殊情况.同时,求得值后要注意检验,排除重合 的情况. 方法2：利用两直线的方向向量共线求解，同样，求值后注意检验重合的情况. 58 【学会了吗丨变式题】 4.(2026·安徽省合肥市期中)已知直线经过，两点，直线 的方向向 量为，若，则 ( ) A A.1或 B.2 C.2或 D.1 【解析】 当直线的斜率不存在，即时，直线的斜率 ， 显然不平行，故 ， 则直线的斜率为，直线的斜率为 ， 因为，所以，即 ， 整理得，解得 或1.故选A. 59 因为直线经过， 两点， 所以直线的方向向量为 , 又直线的方向向量为，且，所以 ， 则,即，解得 或1.故选A. 60 3 两条直线的平行关系在平面几何中的应用 例22 已知的三个顶点的坐标分别是,,,求顶点 的坐标. 思路点拨 从平行四边形的性质且着手,设出点 的坐标,由斜率相 等,列方程组即可求解;也可以根据向量知识，由 求解. 【解析】 设点的坐标为,由题意,得, ，则有 , . 所以解得 所以点的坐标为 . 61 设点的坐标为,则, . 因为,所以解得 所以点的坐标为 . 62 题型4 两条直线垂直关系的判定及应用 1 两条直线垂直关系的判定 例23 ［教材改编P58 T6]判断直线与 是否垂直. （1）的斜率为,经过点, ; 【解析】设直线,的斜率分别为,,则,,因为 , 所以 . （2）经过点,,经过点， ； 【解析】由点,的横坐标相等,得的倾斜角为 ,则轴，设直线 的斜率为 ,则,则轴.故 . 63 （3）经过点,,经过点, . 【解析】 直线的斜率，直线的斜率 ，因 为，所以 . 直线的方向向量,直线的方向向量 , 因为，所以，所以 . 64 判断两条直线是否垂直的方法 （1）利用直线的斜率判断：在两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积 是否等于 即可.特别地，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，这两 条直线也垂直. （2）利用直线的方向向量判断：设直线的方向向量为，直线的方向向量为 ， 则 . 65 2 由两条直线的垂直关系求参数 例24 ［教材改编P57练习T2（2）]已知点,, , ,若直线，则 的值为_______. 1或 【解析】 ,两点纵坐标不相等，与轴不平行.,与 轴不垂直，,即 . 当与 轴垂直（在利用直线的斜率间的关系判断垂直或平行时，首先要考虑直线 的斜率是否存在）时，,解得 , 而当时，点,的纵坐标均为，则轴，此时 ,满足题意. . . 66 当与 轴不垂直时，由斜率公式知， , . , , 即，解得 . 综上，的值为1或 . （向量法） 直线的方向向量,直线 的方向向量 ，由得，，解得 . 67 解决由垂直关系求参数问题的思路 由两条直线垂直求参数的值,一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率,令斜 率之积为求解,但在解题过程中要注意讨论直线与 轴垂直的情况,此时一条直线的 斜率为零,另一条直线的斜率不存在.对于斜率不存在的直线,可令直线上两点的横坐 标相等,即可求解. 68 【学会了吗丨变式题】 5.已知经过点和点的直线与经过点和点的直线 互相垂直，则实数 的值为______. 1或0 【解析】的斜率 . 当时，的斜率 ， 因为，所以，即，解得 . 当时（判断直线的斜率是否存在,进行分类讨论），， ， ，，这时直线与轴重合，直线与轴重合，显然 . 综上可知，实数 的值为1或0. . . . . 69 3 两直线的垂直关系在平面几何中的应用 例25 ［教材改编P58 T10]已知点,,,,证明四边形 为矩形. 思路点拨 要证明四边形为矩形，首先要计算,,, ,再结合两条直 线平行、垂直的判定求解即可.也可由, 进行证明. 70 【解析】 由题意，可得,, , , , , 又,,,四点不共线，, ， 四边形 为平行四边形. 又, 直线与垂直，即 四边形 为矩形. ,,,, , 且,， 四边形 为矩形. 71 【学会了吗丨变式题】 6.(2026·湖南省永州市月考)已知的顶点为，， ，若 为直角三角形，求实数 的值． 【答案】若为直角（的直角不确定，需分类讨论），则 ， ，即，解得 ； 若为直角，则，，即，解得 ； 若为直角，则，，即，解得 ． 综上可知，实数的值为或3或 ． . . 72 题型5 直线的倾斜角与斜率的综合应用 1 三点共线问题 例26 (2026·广东省佛山市顺德区月考)若，， 三点共线，则 实数 的值为( ) D A. B.2 C. D.3 73 【解析】 因为 ， 所以直线，直线 的斜率存在， 因为，，三点共线，所以 ， 即，即，解得 ． 直线的方向向量为，直线的方向向量为 ， 因为，，三点共线，所以 ， 所以解得 ． 74 利用斜率解决三点共线问题的方法 斜率法 若两直线，的斜率相等，则，，三点共线；反过来，若，， 三 点共线，则直线，的斜率相等（斜率存在时）或直线， 的斜率都不存在. 向量法 利用任意两点确定的直线的方向向量共线求解. 75 2 光线反射问题 例27 一束光线从点射入，经轴反射后，通过点，求入射点 的坐标． 【解析】 如图2.1-10，设点 .由光 的反射原理知，反射角等于入射角，则 ,所 以反射光线所在直线的倾斜角 与入射光线所 在直线的倾斜角 互补，因此 ,即,解得.所以点 的坐标为 . . . 76 由题意可将轴看作镜面，易知点关于轴的对称点为 . 由光学知识知，延长，则点应在反射光线所在的直线上，即,, 三点共线， 如图2.1-11.设点，从而有,即，解得.所以点 的坐标 为 . 77 直线的倾斜角、斜率常应用于光的反射问题中.在光的反射问题中，反射角等于入射 角，但反射光线所在直线的斜率并不等于入射光线所在直线的斜率.当镜面水平放置 时，上述斜率互为相反数. 78 3 利用数形结合思想解决倾斜角与斜率的相关问题 母题 致经典·结构化试题 母题探源 “动起来”的直线斜率 求一个定点与一个（在某曲线上的）动点的连线的斜率的取值范围一直是一个热点 题型，具有极高的数形结合研究价值.因为当直线在被允许的范围内活动时，其倾斜 角是连续变化的，但斜率的变化并不一定连续，所以探讨直线“跨区”运动时，倾斜 角与斜率的变化这一问题很有必要！ 79 例28 [教材改编P58 T8](2026·天津市塘沽第一中学月考)已知直线过点 ，且 与以,为端点的线段相交，则直线的斜率 的取值范围为 _______________________. 80 图2.1-12 【解析】作出直线， ，如图2.1-12所示， 则， . 当直线绕点从直线逆时针转到与轴平行的直线轴的位置时，直线 的斜率从5开始增大，并趋向于 ，即 . 当直线从直线逆时针转到直线的位置时，直线的斜率从 开始增大，并趋 向于，且在位置时达到，即 , . 所以直线的斜率的取值范围为 . 81 易错警示 本题易得出错解.忽略直线的倾斜角从锐角跨过 变为钝角， 此时直线的斜率不是连续变化，而是从正无穷跳跃到了负无穷. 82 子题 情境转化 已知直线过定点，且与以， 为端点的线段有交点，则直 线的斜率 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 图2.1-13 【解析】, 在平面直角坐标系中画 出直线,,如图 2.1-13所示.由图可知,直线绕点从 逆时针旋 转到的过程中,斜率始终存在,且逐渐增大.故直线的斜率 的取值 范围是 . 83 【学会了吗丨变式题】 7.已知点和点，经过点作直线,若直线与射线 有公共点， 则直线 的斜率的取值范围是( ) A A. B. C. D. 图D 2.1-1 【解析】如图D 2.1-1，已知点，， ，则 ,，若经过点的直线 与射线有公共点，则直线的斜率的取值范围是 （不能取到3，当的斜率为3时， ）．故选A． . . 84 题型6 代数式 的几何意义——斜率模型 如果代数式结构为或可化归为 的形式，则可借助直线斜率的几何意义，通过数 形结合，转化为斜率公式，用几何方法来研究代数问题. 85 1 比较大小 例29 已知，且，则 ，， 的大小关系是 ( ) B A. B. C. D. 观察发现被比较的代数式具有相同结构特征，且由题设知 ,所以 ,这是典型的过两点的直线斜率公式模型，故考虑利用斜率的几何意义， 通过数形结合得出结果. 86 【解析】由于,则,所以,,分别表示点 即原点与点,, 连线的斜率，作出函数 的图象，如图2.1-14所示.由于函数在 上单调递增且图 象上凸，则由知,即 . 图2.1-14 87 2 求代数式的取值范围 例30 已知点在函数的图象上，当 时，求: （1） 的取值范围; 【解析】由题意可知点在线段 上移动. 记点,则可看作过点与点 的直线的斜率. 又,，所以的取值范围为 （由于 ,则线段上存在点与 点连线的斜率不存在）. . . 88 （2） 的取值范围. 【解析】（将分子提取2后才符合斜率模型的结构）,记点 ，则 可看作过点与点 的直线的斜率. 又, , 所以的取值范围为 . 【解析】因为点在函数的图象上,且,记点, . . . 89 名师点评 斜率模型即 的形式，将目标式化归为此结构式是利用直线的斜率求解 的关键.此外,问题也可以从函数的角度解答，如本题第（2）小问 .由知 ，所 以,故 . 90 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：20分钟 1.(2026·安徽省滁州市定远县月考)若直线的一个方向向量为,则直线 的 倾斜角为( ) D A. B. C. D. 【解析】设直线的倾斜角为 ，则 ， 又,所以 . 91 2.(2026·辽宁省朝阳市期中)已知直线的倾斜角为 ，若直线与 垂直，则直线 的斜率为( ) D A. B. C. D. 【解析】 直线的倾斜角为 ，直线与垂直， 直线 的倾斜角为 ,则该直线的斜率为 ． 92 3.(2026·广东省惠州市第一中学段考)直线经过两点,，直线 的倾斜 角是直线的倾斜角的2倍，则 的斜率为( ) D A. B. C.1 D. 【解析】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，又因为直线 的 倾斜角是直线的倾斜角的2倍，所以直线的倾斜角为，所以 的斜率为 ，故选D. 93 4.(2026·山东省淄博实验中学期中)过两点, 的直 线的倾斜角为 ，则 的值为( ) C A.或 B. C. D.1 【解析】因为直线的倾斜角为 ，所以直线的斜率为1，可得 解得 . 5.若三点，，共线，则实数 的值为___. 4 【解析】由题意可得，, . 94 6.(2026·四川省成都市期中)直线,的斜率，是关于的方程 的两根.若,则____;若,则 ___. 2 【解析】由题意知，直线，的斜率,是关于的方程 的两 根, . 若，则,得 ; 若，则，，得 . 95 7.(2026·陕西省西安市质检)当为何值时，过点， 的直线满 足下列条件： （1）倾斜角为 ； 【答案】显然,由,解得或 . （2）与过点， 的直线垂直； 【答案】显然，由，且，得,解得 或 . （3）与过点， 的直线平行． 【答案】显然，令，解得或 ,经检验，此时两 直线不重合，所以或 . 96 B 综合练丨高考模拟 建议时间：35分钟 图2.1-1 8.新情境 斜拉桥 (2026·安徽省淮北市月考)斜拉桥是桥 梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有 拉索的合力方向与中央索塔一致，如图2.1-1（1）.图 2.1-1（2）是一座斜拉索大桥的平面图，共有10对永久 D A. B. C. D. 拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距 约为,拉索下端相邻两个锚的间距均为 .最短拉索的锚 ，满足,,若以为原点，直线为 轴建立坐标系，则 最长拉索所在直线的斜率为( ) 97 【解析】,即点 ，由对称性 知，又，即点 ，所 以，（也可根据对称性求 ），即最长 拉索所在直线的斜率为 ．故选D． . . 98 9.若,, ，则( ) B A. B. C. D. 图D 2.1-1 【解析】，它表示过函数图象上的点 与点的直线的斜率，如图D 2.1-1,令, , ,由图知，即 . 99 10.[多选题](2026·河北省石家庄市精英中学月考)过点作直线,若直线 与连接 ， 两点的线段总有公共点,则( ) AD A.直线的斜率的取值范围为-, B.直线的斜率的取值范围为 C.直线的倾斜角的取值范围为， D.直线的倾斜角的取值范围为 100 【解析】设直线的斜率为,倾斜角为 , , , ， 因为直线经过点，且与线段 总有公共点, 所以 ， 因为 ,所以.故选 . 101 11.光线从点出发射入轴上的点,再经轴反射后过点 ,则入射光线所在 直线的斜率为_ ___. 【解析】作点关于轴的对称点,设入射点,则,, 三点共线, ， . 102 12.已知实数,满足，则 的最大值为___，最小值为 __. 图D 2.1-2 【解析】如图D 2.1-2所示，由 的几何意义可知，它 表示经过定点与曲线段上任一点 的直线的斜率 ，由图可知.由已知可得， ， ，， . 故的最大值为8，最小值为 . 103 13.某矩形花园内需要铺两条笔直的小路，已知, ，其中 一条小路定为，另一条小路过点，问在线段上是否能找到一点 ，使得两条 小路所在直线与 相互垂直？ 图D 2.1-3 【答案】如图D 2.1-3所示，以点为坐标原点，, 所在 直线分别为轴、 轴建立平面直角坐标系. 由, ， 可得,,.设点 ，因为 ，且直线, 的斜率均存在，所以 ，所以 ，解得 .故可 以在线段上找到一点,即时，两条小路所在直线与 相互垂直. 104 C 培优练丨能力提升 14.如图2.1-2，已知直线，点是,之间的定点，点到， 的距离分别为3 和2，点是上的一动点，作,且与交于点，则 面积的最小值为 ___. 6 图2.1-2 105 图D 2.1-4 【解析】 以为坐标原点，平行于的直线为 轴， 垂直于的直线为 轴，建立如图D 2.1-4所示的平面直角坐 标系，设, . , , , 即,, . 的面积 （当且仅当 时取等号）. 故 面积的最小值为6. 106 图D 2.1-5 如图D 2.1-5，过点分别作,的垂线，交， 分别 于点,，设 ,则 . 在中，,,同理可求 . 的面积 ,当 ，即 时， 取得最小值6. 107 $