2.4 一元二次方程的应用 小节整合练2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2.4 一元二次方程的应用 小节整合练2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为20米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块96平方米的长方形菜地作为实践基地．如图所示，设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 4．某食品厂生产一种饮料，平均每天销售箱，每箱盈利元．为了减少库存，食品厂决定降价销售．如果每箱降价1元，则每天可多销售5箱；若每箱降价x元，则可盈利元，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 6．如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 7．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 8．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．这批椽的总运费为24文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 二、填空题 9．一种电脑病毒在局域网中的传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则可列出方程______． 10．下表是某公司1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为，则可列出方程为______． 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10    12 14    11．如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当时，则______．    12．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了55次手，这次会议到会的人数是____人． 13．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是______．    三、解答题 14．李师傅开了一家商店，第1个月开始盈利，第2个月盈利2400元，第4个月盈利4056元，且从第2个月到第4个月，每月盈利的平均增长率都相同． (1)求从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率； (2)按照这个平均增长率，预计第5个月这家商店盈利多少元． 15．如图，某部门举办广场舞比赛，在一块正方形绿地的两侧分别搭建宽度为的临时舞台矩形和矩形（阴影部分）．若舞台中间矩形（空白部分）的面积为，求正方形绿地的边长． 16．如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，，第n行有n个点． (1)请你直接回答15是三角点阵中前几行的点数和？ (2)你能发现78是前几行的点数的和吗？用试验的方法，由上而下地逐行相加其点数，可以得到答案．但是这样寻找答案需要花费较多时间．你能用一元二次方程解决这个问题吗？（提示： ） 17．如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P、Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 18．为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的、两个社区计划共种树78棵，已知社区每天可以种植6棵树，社区每天可以种植12棵树． （1）由于人员调动，要求社区种植天数至少是社区种植天数的倍，当种植结束时，社区至多种植多少天？ （2）、两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问社区最多种植天数基础上，社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中社区最多天数多；社区每为种植棵数下降，种植天数比（1）问中社区最少种植天数多，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B A A D C B 1．【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据传染模型正确列出方程．初始有人患流感，每轮传染中平均一个人传染人，经过两轮传染后总人数为，据此列方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人． 初始患病人数为， 第一轮后患病人数为：， 第二轮新增患病人数为：， 两轮后总患病人数为：． 故选：B． 2．【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 3．【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米， 由题意，得：. 4．【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题利用总盈利=每箱盈利×每天销售量的关系，分别表示出降价后每箱的盈利和每天的销售量，即可列出方程． 【详解】设每箱降价元， 原来每箱盈利元，降价元后，每箱盈利为元， 原来每天售出箱，每降价元可多销售箱，降价元后，每天销售量为箱， ∵要求总盈利为元， ∴依题意可列方程为． 5．【答案】A 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据诗句给出的数量关系找到等量关系，列一元二次方程求解，再结合“而立之年督东吴”的条件对根进行取舍即可得到答案． 【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为，则个位数字为，年龄可表示为． ∵个位平方与寿符， ∴可得方程 整理得， 解得，． 又∵而立之年督东吴，说明年龄超过30岁，时年龄为25岁，不符合题意舍去， ∴，个位数字为，年龄为岁． 6．【答案】D 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】根据翻折的性质可得，由平行线的性质可得，结合射线经过点可推导出 ，从而得到，在 中利用勾股定理建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：连接 四边形是长方形， ，， ． 由翻折的性质可知：， ∵射线经过点，即 三点共线， ， ， ． 由题意得：，， ． 在 中，， ， 解得 ，（舍去）． 点到达终点的时间为 ， ， 符合题意． 7．【答案】C 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】根据双循环赛制得到总比赛场数与球队数量的关系，列方程求解即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为． 根据题意得． 整理得． 解得，． ∵球队数量为正整数，舍去． ∴，即参加小组赛的球队有8支． 8．【答案】B 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系列方程求解，再判断各选项． 【详解】解：设这批椽的数量为株，一株椽的价钱为p文， ∵少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴， 又∵这批椽的价钱为216文， ∴， 将p代入得：，即， 解方程：，， 解得或（舍去）， ∴， ， 总运费为文， ∴A、C、D正确，B错误． 故选：B． 9．【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用． 根据每轮感染中平均一台电脑感染的电脑台数，结合经过两轮感染后被感染的电脑总数，来建立方程。关键在于理解每轮感染后被感染电脑数量的计算方式，即第一轮感染后被感染的电脑数量加上第二轮感染后被感染的电． 【详解】解：第1轮​​：这1台感染x台，新增x台，总被感染数． 第2轮​​：现有的台被感染的电脑，每台感染x台，新增台，总被感染数为． 两轮后的总数是． 题目说两轮后是121台，因此． 故答案为：． 10．【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用， 3月份的收入月份的收入月收入的增长率，由此可解． 【详解】解：由题意知，1月份收入10万元， 则2月份收入万元，3月份收入万元， 则可列方程为：， 故答案为：． 11．【答案】10 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设第层小黑点数为，由题意得：，再用x减去1即可求得n． 【详解】解：设第层小黑点数为， 由题意得： 化简得： 解得：（舍）， ∴， 故答案为：10． 12．【答案】11 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设到会人数为x人，根据握手问题公式，总握手次数为，据此列一元二次方程求解． 【详解】解：设这次会议到会的人数为人，根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 故答案为：11． 13．【答案】30 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求面积 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整体代换是解题的关键． 14．【答案】(1)从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为 (2)预计第5个月这家商店的盈利为5272.8元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题． （1）设每月盈利的平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额 增长率 4月份的盈利额，列出方程求解即可； （2）5月份盈利4月份盈利（1+增长率）． 【详解】（1）解：设从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为x． ， ，， ， ， 答：从第2个月到第4个月每月盈利的平均增长率为； （2）， 答：预计第5个月这家商店的盈利为5272.8元． 15．【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的面积，解一元二次方程，掌握正方形的四边相等是解题的关键，设正方形的边长为，根据正方形的性质可知，再求出矩形的边长，根据矩形的面积列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ， 舞台中间矩形（空白部分）的面积为， ， 解得：（舍）， 正方形绿地的边长． 16．【答案】(1) 是三角点阵中前行的点数和 (2) 是三角点阵中前行的点数和 【知识点】图形类规律探索、数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，图形变化的规律，能根据所给图形，用含的代数式表示出前行点数和是解题的关键． （1）依次求出前几行点数的和，根据发现的规律即可解决问题． （2）由（1）的发现即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，第一行点的个数为：； 前两行点数和是：； 前三行点数和是：； … 所以前行的点数和是 当时， 解得或（舍去）， ∴15 是三角点阵中前行的点数和． （2）解：依题意，， 解得：或（舍去） ∴ 是三角点阵中前行的点数和． 17．【答案】(1)或 (2)能， 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用； （1）根据题意得，，由勾股定理得，据此列出方程求解即可； （2）分类讨论：当时，当时，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得 ，， ， ， 解得，， 故或后，的长度等于． （2）解：能； ， ； 当时， ， ， 整理得， 解得； 当时， ， ， 整理得， ， 此时方程无实数解， 故此种情况不存在； 综上所述：当时，线段能将分成面积的两部分． 18．【答案】（1）A社区至多种植3天；（2）a的值为40 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树，根据B社区种植天数至少是A社区种植天数的倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出的取值范围，取其中的最大值即可得出结论； （2）根据投入的总费用=种植每棵树所需费用×植树棵树，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树， 依题意得：， 解得：x≤18， ∴≤3． 答：A社区至多种植3天； （2）依题意得：500×6×3（1+5a%）+750×12（1-a%）×5[1+（a+30）%]=67500， 整理得：2.25-90a=0， 解得：=0（不合题意，舍去），=40． 答：a的值为40． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $