2.4一元二次方程的应用 新课预习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习围绕一元二次方程应用，通过基础巩固、情境应用、综合探究三层设计，实现从概念理解到建模能力的递进，适配新授课知识内化与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|一元二次方程概念、解法|选择1-2题直接考查定义与配方法，夯实运算能力| |情境应用|增长率、利润、传染等实际问题|选择3-10题、填空11-14题设置生活情境，培养模型意识| |综合探究|几何与方程结合、跨知识应用|解答19-23题融合图形分割、动态问题，发展推理能力与创新意识|

· 2.4 一元二次方程的应用�新课预习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 3．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 4．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 5．2025年安徽省新能源汽车产量、出口量均跃居全国首位．据统计，安徽省2024年新能源汽车产量较2023年增长，2025年较2024年增长．若设这两年安徽省新能源汽车产量的年平均增长率为，则可列出的方程是(   ) A． B． C． D． 6．等腰梯形的面积为，上底比高多，下底比高多，这个梯形的高为（     ） A． B． C． D． 7．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出1件．若该商店每天销售利润为1200元，每件商品降价（     ） A．10元 B．10元或20元 C．16元 D．15元或20元 8．模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 9．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”其大意是：“今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？”设竿长为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为．小美尝试用此方法解关于的方程，构造如图2所示的图形．若图2中大正方形的面积为，则方程的正数解是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．某水泥厂一月份总产量为1000吨，三月份总产量为1640吨，若平均每月的增长率为，则可列方程为__________． 12．一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 13．如图，将面积为1的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为___________． 14．图1是第届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，看上去像一个风车，代表着中国人民的热情与好客．小瑞同学发现，把一个平行四边形分割成5块（如图2），按照图3的样式无缝拼接恰好成一个矩形．若矩形的面积为，，则图2中平行四边形的周长为________． 15．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 三、解答题（共8小题，满分75分） 17．某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． (1)当售价定为54元时，求该商品销售的个数； (2)商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 18．暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱.已知某电影院，2张《牛来》和3张《奥德赛》电影票一共165元，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额想达到1820元，单价应降低多少元? 19．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度? 20．年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 21．解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： (1)该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ (2)若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 22．综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 23．阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想：转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是， ， ； (2)拓展：①已知方程，若设，可将原方程化为关于的方程： ； ②解方程：． (3)应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，沿草坪边沿，走到点处，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点．求的长． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页（共6页） ◎ 第4页（共6页） 第5页（共6页） ◎ 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A B A A B B A 11． 12．31 13． 14． 15．或 16． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程移项后，运用运用直接开平方法求解即可 【详解】解： 方程变形得：， 开方得：， 解得． 17．(1)460个 (2)售价应提高10元 【分析】（1）根据售价涨幅与销售量减少的对应关系，计算实际销售个数； （2）设提价金额为未知数，利用总利润的等量关系列方程，结合兼顾顾客利益的条件选取合适的解． 【详解】（1）解：售价提高金额为（元）， 销售量减少（个） 此时销售个数为（个）； （2）解：设售价应提高元，单个商品利润为元，销售量为个， 由总利润为8000元，得， 整理得， 解得，， ∵要尽量兼顾顾客的利益，即提价幅度尽可能小， ∴； 答：售价应提高10元． 18．(1)《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； (2)单价应降低4元． 【分析】（1）根据题意列方程解答即可； （2）设《牛来》电影票单价应降低元，由销售单价不得低于20元确定，再由《牛来》的日销售额想达到1820元列方程求解即可． 【详解】（1）解：设《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为元和元， 由题意得，解得， 答：《牛来》和《奥德赛》电影票的单价分别为30元和35元； （2）解：设《牛来》电影票单价应降低元，， 销售单价不得低于20元， ， 解得． ． 由题意得， 解得，（舍）， 答：单价应降低4元． 19．上、下边衬的宽分别为；左、右边衬的宽分别为 【分析】由题意设中央的矩形的长和宽分别是和，要使四周的边衬所占面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的，由此列出方程即可求解． 【详解】解：∵封面的长、宽之比为，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画， ∴中央的矩形的长、宽之比也应为， 设中央的矩形的长和宽分别是和， 由题意得， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， 则上、下边衬的宽分别为，左、右边衬的宽分别为． 20．(1) (2)当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 21．(1) (2)购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 【分析】（1）设平均每年增长的百分率为x，根据“该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨．”列出方程，即可求解； （2）设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只，根据“购买母蟹的数量不少于公蟹数量的”列不等式求出m的取值范围，设购买费用为w元，列出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设平均每年增长的百分率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：平均每年增长的百分率为； （2）解：设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只， 根据题意得：， 解得：， 设购买费用为w元，则 ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴m的最大值为9， 当时，w取得最小值，最小值为， 答：购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 22．(1)车道宽度符合标准 (2)每个车位月租金上涨25元 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． （2）解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 23．(1)，1 (2)①② (3)4 【分析】（1）先按照提公因式法因式分解，再按照十字相乘法因式分解，即可求出方程的解． （2）①先按照完全平方公式将转化为，利用，即可求出关于的方程．②利用整体化思想，设，将其方程转化为，根据十字相乘法求出的值，将值代入即可求出的值． （3）设，根据矩形的性质和勾股定理，用分别表达出和，根据题意可知，再结合整体思想设，则和，将二式相减，求出，并将这个值代入中，即可求出的值，即的长． 【详解】（1）解：， ， ， ，，． （2）解：①方程， ， ， 设， ． ②， ， 设， ， ， ，， ， （舍去）， 当时，，则，则， 经检验是原方程的根， ． （3）解：为矩形， ，． 设，则， 在中，， 在中，． 由题意可知，， ， 设，则①， ， ， ② 将得， ， 将代入①中得， 去分母得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， ， ， ． 答案第2页（共6页） 答案第1页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $