23.3.2 特殊角的三角函数值-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 22.5图形与坐标 课后演练 课后演练 第1课时 用坐标确定位置 1.B2.B3.C4.42π5.(9,0)6.(3,4) 1.B2.B3.D4.305.486.16 基础导学 7.(1)图略 (2)图略，A2(一2，一2) 7.能，AB=100米8.树高为4.2m9.2.310.54 11.旗杆AB的高度约为8.4m12.旗杆的高度为16m 1.平面直角坐标系坐标 8.(1)A(-2,0),C(1,2):(2)13. 典例探究 23.2直角三角形的性质 9.(4,4-43、 3) 10.(32,3)(64,0) 【例1】点M的坐标为(-3,0)或（一3,2）. 典例探究 【变式训练1】C 11.(1)点0的坐标为(W2,2一√2)； 【例1】BC1=3.75(m).【变式训练2】2 【例2】学校所在的位置在点O的南偏西（或南偏东）60°的方 (2)AA'=2√2，点A'的坐标为(1+√3,1十√3). 【例2】(1)证明略(2)BD的长度为号 向，距离点O为4. 第22章 《图形的相似》专题复习 【变式训练2】23 【变式训练2】(5,30)(3,300) 【例1】S四边形ABCE=8: 课后演练 课后演练 1.B2.A3.C4.(3,30)5.5 【例2】建筑物的高度为104m 1A2C3.C4B5.10°6,47.号a8证明略 【例3】GH垂直平分EF,理由略 6.(7,0) 【例4】平行四边形OABC关于y轴对称的图形平行四边形 9D1043 11.证明略12.(1)AP的长为2(2)ED=3 7.(1)A(4,6),B(14,4),C(8,12),D(2,14)(2)E,(14,14) OA'B'C的四个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都互为 23.3锐角三角函数 8.(1)码头在操场的正西面，距操场3个单位长度，哨所在码 相反数；这两个平行四边形的对角线的交点坐标也如此 头的东北方向上，距码头4W2个单位长度， 第1课时锐角三角函数的认识 第22章 章未测试 典例探究 (2)操场(0,0)，雷达(3,2)，哨所(1,4)，码头（一3,0），营房 1.D2.B3.C4.C5.A6.C7.D8.C (0,-2),伙房(4，-1). 【例】÷smB=号，cosB=是， ,tanB=4 3-5 9.(5,0)10.(1,3)11.31.5 9.1cm 2 10.袋 11.2712.1213.6 【变式训练】sn∠BCD=snA-青，cos∠BCD=cos 第2课时 图形的变换与坐标 14.(2891,-√3)15.证明略 3 .4 基础导学 16.证明略 5 tanBCD=tanA= 3 1.(x,-y)(-x,-y) 17.图略.(1)横坐标不变，纵坐标减3.(2)纵坐标不变，横坐标 【例2】C【变式训练2】 12 2.(x,y十a)(x,y-a)(x十a,y）(x-a,y） 变为原来的相反数.(3)点A是线段B:A的中点，点C是 课后演练 典例探究 线段B3C3的中点. 【例1】三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都减小了4 18)证明路2与△OBF相似的三角形有△BCR,1D2B3D4C556号1号 5 个单位长度 △BAF,理由略(3)DE=3十√19 【变式训练1】(1，一3) &.sin∠CBD=25 5 sim∠ABD=5 5 第23章 解直角三角形 【例2】梯形OABC关于y轴的轴对称图形各对应顶点的纵 9anB-是10.里 11.32 坐标都未改变，而横坐标都分别互为相反数， 23.1测量 基础导学 12.(1)BD·cos∠HBD=4.(2)AB的长是6. 【变式训练2】(-1,3) 1.成正比 第2课时特殊角的三角函数值 【例3】(1)△ABC各顶点的坐标为：A(0,2),B(一3,1)， 基础导学 C(-2,一1)，△DEF各顶点的坐标为：D(0,-2),E(6,0),F 典例探究 【例1】B'C'=16(m) 【变式训练1】4.8 (4,4).(2)图略，M(3,-1),N(2,1).(3)△ABC△DEF,且 199 2 12.-半3.sin(90°-a)se coSa 【例2】正确，理由略 相似比为7，所以SAc=4SAEr, 典例探究 【变式训练2】旗杆的高度为11.5米. 【变式训练3】（一2.一2） 【例3】C【变式训练1】33 【例】1285(3)号5(2 41 【变式训练1】1)6-3反(23(3)-号 【p】5.【变式训维2】贵【】AC=14 【变式训练3】△ABC的面积为23或号3. 课后演练 1.D2.B3.A4.C5.16.2或37.(1)90°(2)75 8.a2 (2原式=。当a=2n60+m45=5+1 时，原式= 3 9.∠A=30°10.2+√311.30°或150°或90°. 12.(1)BC=16-2√5(2)tanl5°=0.3 13.∠CAC+∠CAA'=30°. 第3课时用计算器求锐角三角函数值 典例探究 【例1】sin16°≈0.2756，cos42°≈0.7431，tan85°≈11.4301， sin72°3825"≈0.9545， 【变式训练1】A 【例2】.(1)∠A≈79.0°.(2)∠A≈30.6°.(3)∠A≈10.7°. 【变式训练2】B【例3】乙先到达B处 【变式训练3】工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m 的圆形门. 课后演练 1.C2.C3.A4.C5.56.90°2.25 8.(1)∠A≈66.42°(2)∠A≈86.82 (3)∠A≈17.99°(4)∠A≈67.99° 9.(1)开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米 (2)开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2 千米 10.(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随 角度的增大而减小 (2)sin88>sin62>sin50°>sin34°>sinl8°； cos88°<cos62°<cos50°<c0s34°<cos18°. (3)= <> 11.(1)13650(平方米).(2)垂钩栈道AD的长约为106米. 42格南针·课堂优化·九年纸上册·数学(HS) 【能力提升】 10.如图，在△ABC中，CA=CB=4,oC=,则 sinB的值为 B 第10题图 第11题图 11如图，在边长相同的小正方形网格中，点A,B, C,D都在这些小正方形的顶点上，AB,CD相交 于点P,侧常的值 ,tan∠APD的值= 【创新探究】 12.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3,D为 AC延长线上一点，AC=3CD,过点D作DH∥ AB,交BC的延长线于点H. (1)求BD·cos∠HBD的值； (2)求∠CBD=∠A,求AB的长. 12 第2课时特殊角的三角函数值 基 础导学 1.特殊角的三角函数值： a 30° 45° 60° sina 12 2 ④ cOSa ⑤ 2 12 tana 3 ⑥ √3 2.在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的 3.锐角三角函数之间的关系：设α是一个锐 角，则 sina=cos(90°-a), coSa tana= 典例探究 考点①特殊角的三角函数 【例1】计算： (1)2 cas45°-7cos60+sin60·6cos30, (2) 2cos30°+2sin60° tan45°-sin30°-2cos60- 2· 第23章解直角三角形 (3)√/(sin30°-1)z+√/tan60°-4tan60°+4； 考点②直角三角形的边角关系 【例2】（扬州中考）在△ABC中，∠C= 90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2= ac,则sinA的值为多少. (4)sin230°+cos230°+tan44°·tan46°. 【变式训练1】计算： 0 (1)(-1)2024+(sin30)-1+ 3 5-2-13 -√18|+83×(-0.125)3； (2)sin45°·cos45°+5sin30°-√3tan60° +2cos30°； 规律与方法：熟练掌握勾股定理和锐角三角 (3)cos30。sinm245×4sin45°-tan45. 函数的定义是解答本题的关键 √2c0s60°+c0s45 【变式训练2】（滨州中考）在Rt△ABC 中，若∠C=90°，AC=5,BC=12,则sinA的值 为 ·123· 指南针·课堂优化·九年纸上册·数学(HS) 考 点③)特殊角的三角函数值的运用 【例3】如图，四边形ABCD中，∠BAD= 60°，∠B=∠D=90°，BC=11,CD=2,求对角线 AC的长. 规律与方法：遇到特殊角构造特殊的直角三 角形 【变式训练3】已知在△ABC中，∠C= 90°，w3tanA-4tanA+√3=0，且BC=2,求 △ABC的面积. 12 课后演练 【基础过关】 1.在△ABC中，(2cosA-√2)2+|1-tanB|=0, 则△ABC一定是 () A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 2.点M(一sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的 坐标是 () 31 B-2 c. n,} 3.将一副三角尺如图所示叠放在一起，则二的 值是 () A. 3 B.23 C.√2 D.√3 30D 0460 MN 第3题图 第4题图 4.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP= 12,点M,N在边OB上，PM=PN,若MN=2, 则OM的长为 () A.3 B.4 C.5 D.6 5.计算：cos245°+tan30°·sin60°= 6.(哈尔滨中考)△ABC是直角三角形，AB= 2√3，∠ABC=30°，则AC的长为 7.(1)△ABC中，∠A,∠B都是锐角，若sinA= 汽osB-号则∠0=一 04 第23章解直角三角形 (2)在△ABC中，如果∠A,∠B满足|tanA- 【能力提升】 1川+(cosB合2=0，那么∠C= 10.如图，在△ABC中，AC⊥BC,∠ABC=30°， 8.计算： 点D是CB延长线上的一点，且BD=BA, √5+1 则tan∠DAC的值为 0 11.在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点 (2)先化简，再求代数式（异0》 D,若AD=2BC,则△ABC的顶角的度数 十的值，其中a=2sin60+tan45 为 12.如图，在△ABC中，∠C-150°，AC=4,tanB =8 (1)求BC的长； (2)利用此图形求tanl5°的值.（精确到0.1. 参考数据：W2≈1.4，W3≈1.7，W5≈2.2) 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上 已知∠BDC=45°，BD=102,AB=20.求 ∠A的度数. 5。 ·125· 格南针·课堂优化·九年纸上册·数学(HS) 【创新探究】 13.如图，已知边长为2的正三角形ABC沿直 线l滚动，当△ABC滚动一周时，到△A1B1 C1的位置.设△ABC滚动240°时，C点的位 置为C',△ABC滚动480°时，A点的位置是 A'.请你利用三角函数中正切的两角和公式 tana+tanB tan(a+m=1-tana.ang求出∠CAC+ ∠CAA'的度数. 12 第3课时用计算器求锐角三角函数值 基础导学 1.利用计算器求任意锐角的三角函数值， 反过来知道某个锐角的三角函数值，可以求出 这个锐角， 2.计算器的使用方法，使用中注意按键的 顺序 3.利用直角三角形的边角关系解决一些实 际问题， 4.一个锐角的正弦值、正切值随着角度的 增大而增大，余弦值、余切值随着角度的增大而 减小. 典例探究 考点1已知角的度数，求锐角三角函数值， 【例1】求sinl6°、cos42°、tan85°、sin7238 25"的值.（精确到0.0001） 规律与方法：用计算器求出三角函数值时，结 果一般有10个数位，如无特别说明，计算结果一般 精确到万分位 【变式训练1】用计算器比较sin27°、 sin37°、sin47的大小关系是 A.sin27°<sin37°<sin47° 26