2026-2027学年人教版九年级上册第一次月考数学试卷

人教版九年级上学期第一次月考数学试卷 考查范围：第二十五章　一元二次方程　　第二十六章　二次函数 满分：120分　　考试时间：120分钟 姓名：____________　　班级：____________　　考号：____________ 注意事项： 1. 本试卷共23题，满分120分，考试时间120分钟。 2. 答卷前，请将姓名、班级、考号填写在试卷规定的位置。 3. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式：抛物线 y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（－b/2a，(4ac－b²)/4a） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x²＋2y＝1　　B．3x＋2＝0　　C．x²＋2x－1＝0　　D．x²＋x³＝0 2．方程x²＝9的解是（　　） A．x＝3　　B．x＝－3　　C．x＝±3　　D．x＝9 3．用配方法解方程x²－4x－1＝0，配方后所得方程是（　　） A．(x－2)²＝5　　B．(x＋2)²＝5　　C．(x－2)²＝3　　D．(x－2)²＝1 4．一元二次方程x²－2x＋3＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根　　B．有两个相等的实数根　　C．没有实数根　　D．无法确定 5．方程x²－5x＋6＝0的解是（　　） A．x₁＝2，x₂＝3　　B．x₁＝1，x₂＝6　　C．x₁＝－2，x₂＝－3　　D．x₁＝2，x₂＝－3 6．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x＋1　　B．y＝x²＋2x＋1　　C．y＝x³＋1　　D．y＝x＋1/x（x≠0） 7．抛物线y＝(x－2)²＋3的顶点坐标是（　　） A．(2，3)　　B．(－2，3)　　C．(2，－3)　　D．(－2，－3) 8．将抛物线y＝x²向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝(x－2)²＋1　　B．y＝(x＋2)²＋1　　C．y＝(x－2)²－1　　D．y＝(x＋2)²－1 9．如图1，二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，则下列结论正确的是（　　） A．a＞0　　B．c＞0　　C．抛物线的对称轴是直线x＝－1　　D．方程ax²＋bx＋c＝0有两个相等的实数根 图1 10．如图2，抛物线y＝ax²＋bx＋c（a≠0）经过点A（－1，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论：①a＜0；②c＞0；③4a＋2b＋c＝0；④b²＞4ac。其中正确的有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 图2 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．方程x(x－2)＝3化成一般形式为____________。 12．若x₁，x₂是一元二次方程x²－3x－2＝0的两个根，则x₁＋x₂＝______，x₁·x₂＝______。 13．抛物线y＝－2x²＋4x＋1的对称轴是直线x＝______。 14．二次函数y＝(x－1)²＋2的最小值是______。 15．如图3，一抛物线形拱桥，以水面AB所在直线为x轴、AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，桥拱最高点C的坐标为（0，4），A、B两点的坐标分别为（－4，0）、（4，0），则该桥拱对应的抛物线的解析式为____________。 图3 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（9分） 用适当的方法解下列方程： （1）x²＋x－6＝0； （2）2x²－4x－1＝0。 17．（9分） 已知关于x的一元二次方程x²－2x＋k＝0（k为常数）。 （1）当k＝5时，判断该方程根的情况； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （3）若该方程的一个根为3，求k的值及方程的另一个根。 18．（10分） 如图4，学校用总长为34m的围栏围成一个矩形劳动实践基地ABCD，其中边AB靠墙（墙长20m），另外三边用围栏围成，要使基地的面积为120m²。 （1）设垂直于墙的边BC＝x m，列出关于x的方程，并求出x的值； （2）结合墙长的限制，判断并说明哪种围法可行，并求出该基地的长和宽。 图4 19．（10分） 如图5，已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象经过点（0，－3）、（1，0）、（3，0）。 （1）求该二次函数的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴。 图5 20．（10分） 已知二次函数y＝x²＋2x－3。 （1）用配方法将解析式化为y＝(x＋h)²＋k的形式； （2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）当0≤x≤4时，求函数的最大值和最小值。 图6 21．（8分） 已知关于x的一元二次方程x²－(m＋2)x＋(2m－1)＝0。 （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为3，求m的值及方程的另一个根。 22．（10分） 某商店经销一种商品，进价为每件40元。经市场调查：当售价为60元/件时，每天可售出100件；售价每提高1元，每天少售出2件。设该商品的售价为x元/件（x≥60）。 （1）求每天的销售量y（件）与x之间的函数关系式； （2）求每天的销售利润w（元）与x之间的函数关系式； （3）当售价定为多少元/件时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 23．（9分） 如图7，抛物线y＝x²－4x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。 （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求△ABC的面积及抛物线的顶点P的坐标； （3）点Q在抛物线的对称轴上，若△APC与△BQC的面积相等，求点Q的坐标。 图7 参考答案与评分标准 命题说明：本卷共23题，满分120分。难度按分值严格配比为7∶2∶1，即基础题84分、中档题24分、难题12分，对应题量约为基础17题、中档4题、难题2题。考查范围为第二十五章一元二次方程、第二十六章二次函数（2024版人教版）。双向细目表如下： 表1　双向细目表 题号 题型 分值 难度 考查知识点 考查能力 1 选择题 3 基础 一元二次方程的概念 判断识别 2 选择题 3 基础 直接开平方法解方程 计算 3 选择题 3 基础 配方法 计算 4 选择题 3 基础 根的判别式 判断 5 选择题 3 基础 因式分解法解方程 计算 6 选择题 3 基础 二次函数的概念 判断识别 7 选择题 3 基础 顶点式与顶点坐标 计算 8 选择题 3 基础 二次函数图象的平移 计算 9 选择题 3 中档 二次函数图象与系数 综合判断 10 选择题 3 难题 二次函数图象多结论判断 综合推理 11 填空题 3 基础 一元二次方程的一般形式 计算 12 填空题 3 基础 根与系数的关系 计算 13 填空题 3 基础 二次函数的对称轴 计算 14 填空题 3 基础 二次函数的最值 计算 15 填空题 3 中档 实际问题与二次函数（拱桥） 建模计算 16 解答题 9 基础 解一元二次方程 计算 17 解答题 9 基础 根的判别式与方程根 综合计算 18 解答题 10 基础 实际问题与一元二次方程（面积） 建模求解 19 解答题 10 基础 待定系数法求解析式 计算 20 解答题 10 基础 配方法、顶点坐标、区间最值 综合计算 21 解答题 8 中档 判别式恒正、方程根的应用 综合推理 22 解答题 10 中档 实际问题与二次函数（利润） 建模与最值 23 解答题 9 难题 二次函数与面积综合 综合探究 合计 — 120 基础84 中档24 难题12 — — 一、选择题（每小题3分） 1．C　【难度：基础】【解析】一元二次方程是含有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程。A中含两个未知数x、y；B中未知数最高次数为1；D中含x³，最高次数为3；只有C符合。故选C。 2．C　【难度：基础】【解析】由x²＝9，直接开平方得x＝±3。故选C。 3．A　【难度：基础】【解析】x²－4x－1＝0，移项得x²－4x＝1，配方得x²－4x＋4＝1＋4，即(x－2)²＝5。故选A。 4．C　【难度：基础】【解析】Δ＝b²－4ac＝(－2)²－4×1×3＝4－12＝－8＜0，所以方程没有实数根。故选C。 5．A　【难度：基础】【解析】x²－5x＋6＝0，因式分解得(x－2)(x－3)＝0，所以x₁＝2，x₂＝3。故选A。 6．B　【难度：基础】【解析】二次函数的解析式应为整式且自变量的最高次数为2。A是一次函数；C中自变量的最高次数为3；D中含1/x，不是整式；只有B符合。故选B。 7．A　【难度：基础】【解析】顶点式y＝a(x－h)²＋k的顶点为（h，k），所以y＝(x－2)²＋3的顶点坐标为（2，3）。故选A。 8．B　【难度：基础】【解析】抛物线y＝x²向上平移1个单位得y＝x²＋1，再向左平移2个单位得y＝(x＋2)²＋1。故选B。 9．A　【难度：中档】【解析】由图知抛物线开口向上，故a＞0，A正确；图象与y轴交于负半轴，故c＜0，B错误；抛物线经过（－1，0）、（3，0），对称轴为直线x＝1，C错误；抛物线与x轴有两个交点，故方程ax²＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，D错误。故选A。 10．C　【难度：难题】【解析】抛物线开口向下，a＜0，①正确；对称轴为x＝1且经过（－1，0），由对称性知抛物线还经过（3，0），与y轴交于正半轴，故c＞0，②正确；4a＋2b＋c是x＝2时的函数值，由图象知x＝2时y＞0，故③错误；抛物线与x轴有两个交点，故b²－4ac＞0，④正确。所以正确的有①②④，共3个。故选C。 二、填空题（每小题3分） 11．x²－2x－3＝0　【难度：基础】【解析】x(x－2)＝3，去括号得x²－2x＝3，移项得x²－2x－3＝0。 12．3，－2　【难度：基础】【解析】由根与系数的关系：x₁＋x₂＝－b/a＝3，x₁·x₂＝c/a＝－2。 13．1　【难度：基础】【解析】对称轴x＝－b/2a＝－4/[2×(－2)]＝1。 14．2　【难度：基础】【解析】y＝(x－1)²＋2中a＝1＞0，开口向上，当x＝1时取得最小值2。 15．y＝－¼x²＋4　【难度：中档】【解析】设抛物线的解析式为y＝ax²＋4（顶点为（0，4），对称轴为y轴）。把B（4，0）代入得16a＋4＝0，解得a＝－¼，所以y＝－¼x²＋4。 三、解答题 16．解：（1）x²＋x－6＝0，因式分解得(x＋3)(x－2)＝0（2分），所以x＋3＝0或x－2＝0，解得x₁＝－3，x₂＝2（2分）。（本小题4分） （2）这里a＝2，b＝－4，c＝－1，Δ＝b²－4ac＝(－4)²－4×2×(－1)＝16＋8＝24＞0（2分）。所以x＝(4±√24)/4＝(4±2√6)/4＝(2±√6)/2（3分），即x₁＝(2＋√6)/2，x₂＝(2－√6)/2。（本小题5分） 17．解：（1）当k＝5时，方程为x²－2x＋5＝0，Δ＝(－2)²－4×1×5＝4－20＝－16＜0，所以方程没有实数根。（3分） （2）Δ＝(－2)²－4×1×k＝4－4k。要使方程有两个不相等的实数根，需4－4k＞0，解得k＜1。（3分） （3）把x＝3代入方程，得9－6＋k＝0，解得k＝－3（1分）。此时方程为x²－2x－3＝0，因式分解得(x－3)(x＋1)＝0，所以方程的另一个根为－1（2分）。（本小题3分） 18．解：（1）由题意，BC＝DA＝x，CD＝34－2x（2分）。基地的面积x(34－2x)＝120（2分），整理得x²－17x＋60＝0，解得x＝5或x＝12（1分）。（本小题5分） （2）当x＝5时，AB＝34－2×5＝24＞20，超过墙长，不合题意，舍去（2分）；当x＝12时，AB＝34－2×12＝10≤20，符合题意（2分）。所以垂直于墙的边BC＝12m，平行于墙的边AB＝10m（1分）。（本小题5分） 19．解：（1）设解析式为y＝a(x－1)(x－3)（1分）。把（0，－3）代入，得a×(0－1)×(0－3)＝－3，即3a＝－3，解得a＝－1（2分）。所以y＝－(x－1)(x－3)＝－x²＋4x－3（3分）。（本小题6分） （2）由（1）知y＝－x²＋4x－3，对称轴x＝－b/2a＝－4/[2×(－1)]＝2（2分），顶点坐标为（2，1）（2分）。（本小题4分） 20．解：（1）y＝x²＋2x－3＝x²＋2x＋1－1－3＝(x＋1)²－4。（3分） （2）由（1）知顶点坐标为（－1，－4），对称轴为直线x＝－1。（3分） （3）对称轴x＝－1不在0≤x≤4内，且抛物线开口向上，所以在0≤x≤4上y随x的增大而增大（1分）。当x＝0时，y最小＝0²＋2×0－3＝－3（2分）；当x＝4时，y最大＝4²＋2×4－3＝16＋8－3＝21（1分）。（本小题4分） 21．解：（1）Δ＝[－(m＋2)]²－4×1×(2m－1)＝m²＋4m＋4－8m＋4＝m²－4m＋8＝(m－2)²＋4（3分）。因为(m－2)²≥0，所以(m－2)²＋4＞0恒成立，故无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根（1分）。（本小题4分） （2）把x＝3代入方程，得9－3(m＋2)＋2m－1＝0，即2－m＝0，解得m＝2（2分）。此时方程为x²－4x＋3＝0，因式分解得(x－3)(x－1)＝0，所以方程的另一个根为1（2分）。（本小题4分） 22．解：（1）售价为x元时，比60元提高(x－60)元，每天少售出2(x－60)件，所以y＝100－2(x－60)＝220－2x（x≥60）。（3分） （2）w＝(x－40)·y＝(x－40)(220－2x)＝－2x²＋300x－8800。（3分） （3）w＝－2x²＋300x－8800中a＝－2＜0，抛物线开口向下，有最大值。对称轴x＝－b/2a＝－300/[2×(－2)]＝75（2分），在x≥60的范围内。最大利润w＝－2×75²＋300×75－8800＝2450（元）（2分）。所以当售价定为75元/件时，每天的销售利润最大，最大利润为2450元。（本小题4分） 23．解：（1）令y＝0，得x²－4x＋3＝0，解得x₁＝1，x₂＝3，所以A（1，0）、B（3，0）（2分）；令x＝0，得y＝3，所以C（0，3）（1分）。（本小题3分） （2）AB＝3－1＝2，点C到x轴的距离为3，所以S△ABC＝½×2×3＝3（2分）。y＝x²－4x＋3＝(x－2)²－1，所以顶点P（2，－1）（1分）。（本小题3分） （3）设对称轴x＝2上的点Q的坐标为（2，t）。先求S△APC：直线PC过P（2，－1）、C（0，3），其解析式为y＝－2x＋3；过点A作x轴的垂线交直线PC于点D，当x＝1时，y＝－2×1＋3＝1，所以D（1，1），铅垂高AD＝1；水平宽取点P、C的横坐标之差2，所以S△APC＝½×2×1＝1（1分）。再求S△BQC：直线BC过B（3，0）、C（0，3），其解析式为y＝－x＋3；过点Q作x轴的垂线交直线BC于点E，当x＝2时，y＝－2＋3＝1，所以E（2，1），铅垂高QE＝|t－1|；水平宽取点B、C的横坐标之差3，所以S△BQC＝½×3×|t－1|＝3|t－1|/2（1分）。由S△APC＝S△BQC，得3|t－1|/2＝1，所以|t－1|＝2/3，解得t＝1/3或t＝5/3。所以点Q的坐标为（2，1/3）或（2，5/3）。（本小题3分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $