北京市顺义牛栏山第一中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试卷

2026-2027牛山一中高三数学月考2026.9.3 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．） 1．如果集合，，那么（ ） A． B． C． D． 2．已知命题：，，则（ ） A．：， B．：， C．：， D．：， 3．设，，，则 A． B C． D． 4．下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 5．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年~1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则．在的二项式展开式中，的系数为（ ） A． B． C． D． 6．已知无穷等比数列的公比为q，则“”是“单调递减”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．中华人民共和国道路交通安全法判定酒驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于，但小于；判定醉驾的标准为：驾驶员血液中酒精含量大于或等于．某驾驶员饮酒后血液中酒精含量为，若停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则该驾驶员至少需经过（ ）小时才能合法驾驶（酒精含量需小于）．参考数据：，． A．10 B．11 C．12 D．13 8．在等差数列中，，则的值为（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 9．已知函数给出下列四个结论 ①当时，在上单调递增；②当时，存在最小值；③的零点个数为，则函数的值域为；④当时，对任意，，．其中正确结论的个数（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 10．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用．已知斐波那契数列满足，（，），则下列结论中错误的是（ ） A．存在，使得，，成等差数列 B．存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列 C．存在，使得，，成等比数列 D．存在正整数，，…，，且，使得 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11．函数的定义域是________． 12．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为________． 13．设函数，则________，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为________． 14．设矩形（其中）的周长为24，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点．设，求的最大面积为________． 15．已知是定义在上的可导函数．若函数满足对恒成立，给出下面四个结论： ①； ②对成立； ③可能是奇函数； ④一定没有极值点． 其中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16．（本题14分）已知等差数列的前项和满足，． （1）求的通项公式； （2），求数列的前项和． 17．（本题14分）已知函数，． （1）当时，求函数的最小值； （2）若函数在区间上的最大值为6，求的值． 18．（本题14分）已知函数． （1）若函数为偶函数，求的值； （2）求函数在区间内只有一个零点，求实数的取值范围； （3）当时，设函数满足①，，②，，求在区间上的值域． 19．（本题14分）已知函数（），（）． （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，过上一点作的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由． （3）实数使得对恒成立，求的取值范围．（只需直接写出结论） 20．（本题14分）已知椭圆：（）的一个顶点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，过点，分别作直线：的垂线（点，在直线的两侧）．垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总成等比数列？若存在，求出的值．若不存在，请说明理由． 21．（本题15分）已知数列为有穷数列，且，若数列满足如下两个性质，则称数列为的增数列：①；②对于，使得的正整数对有个． （1）写出所有4的1增数列； （2）当时，若存在的6增数列，求的最小值； （3）若存在100的增数列，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027牛山一中高三数学月考2026.9.3 数学试卷 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 c D c 马 B C B D C 二、填空 11. g 12.（-5,0U5,+o) 13.①2：②(0,1U(2,+o) 14.108-72√2 15.①② 三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16.解：(1)设公差为d,则，=3a+3d=-3.S,=7a+21d=-21 3a+3d=-3 a1=0 所以7a+21d=-21解得d=-1, 所以a=4+(n-1)d=-n+1 a=他网4 11 -君据品》招 0+片片 2n+3 17.解：(1)当2时， f)=+2文3.xe+a.ls<% )-f63)=6-5)+2x2x 1-1=出-2x5- 则 2xX2 2≤x<x3,x-x3<0,x3>4 2xx-1>0,f(x)-f()<0.即f(G)<f() ∴∫()在2，+∞)上单调递增，六f()的最小值为 或如下：x之2， r-0 进代B上E城，的克，@-到 a (2)法一：当a<0时，x,x均在(0，+0)单调递增，所以f()在(0，+o)单调递增， 当a=0时，f()在(0，+o)单调递增。 当>0所，f创=1-月.re0回.f<0,t: x∈(Na,+∞)，∫()>0，f()单调递增. 综上，函数f(x)在区间L,e上的最大值为max{f(),f(e} 当f0=6时，a=2,f@)=e+3+36 e,不符合题意. 当f(e)=6时，a=3e-c2,f0)=1+3+3e-e=4+3e-e<6,符合题意 所以a=3e-e2 (2)法二： f")=r2-a x2 1≤x≤e,1≤x2≤e2. (1D若a≤1时，f'()>0在(，e)恒成立 f(d)在Le]上递增 Fmm(x)=f(c)=e+3+4=6 e, 得a=e(3-e)符合asl,a=e(3-e), (2)若a≥e2时，f'()<0在(，e)恒成立 f()在L,©上递减 fmx (x)=f(1)=4+a=6 得a=2,不符合a≥e2: (3)若1<a<e2时，令f'()=0.得x=a 列表如下 1.va) a (a,e) f'() 0 + f(x) y 最小值 f(闭=na0.fo}=ax4+ae3+号 有以两种情况： 1<a<e2 1<a<e2 4+a≥e+3+a e+3+a≥4+a e e 4+a=6 e+3+a=6 ,无解： e ,无解： 综上，a的值为e(3-c)】 18.解：(1)依题有xeR,f()+f(-x)=0 2(m+1)x2+4mx+2m-1=2(m+1)(-x)/+4m(-x)+2m-1 得，m=0 、3 (0,1) (2)①若m=-1时，函数xeR,f()=-4-3,零点42 ②若m≠-1时， （1）当A=(4m-8(m+10(2m-l)=0,即m=L, 儿=r+1=Dr+旷，季有0 (i)当△≠0，即m≠1时，函数f()在区间(0，)内只有一个零点，有以下可能： 1 1 a)f0)f0k0即(2m-18m+)<0,所以，-8m<2, 2 )7O)=0即m2时.出时国)=3x+2x另-个零有30小 a0=0g-nm-子r员.好-t6a侧 _11 综上，实数m的取值范围8'2 (3)当xel,3),g(x)=f(x)-2mx2=2x2+4mr+2m-1 由已知8(x)=f()-2mx2=2x2+4mx+2m-1.xe[,3) x∈[5,7），则x-4∈[l3) g(x)=g(x-4)+2 =2(x-2)}+4m(x-2)+2m-1+2 =2x2+(4m-16)x+33-14m 对称轴x=4-m<4 函数8()在[5.7)单调递指，8(5)=6m+3,8(7)=14m+19 8()在区同[5,7)上的值域为[6m+3,14m+19), 19.解：1)令h(=f()-g()=r-al血x(x>0), '(x)=2x-0=2x2-a2 所以 x, ()-2r-a 解.当变化时.(，()的度化如下表 =0 a 8 侣 h(x) 0 + h(x) 减 极小值 增 a=a_aln 所以在(0，+)的最小值为 9-am222 “2 />0 解得0<a<2e 所以当0<a<2e时，()>0恒成立，即()>8()恒成立. (2)可作出2条切线， 理由如下：当a=l时，8(x)=lnx 设过点（，)的直线1与8(=血x相切于点P(x%), g()=%-11=n。-1 -1即x-1 整理得n,-2x。+1-0 令m()=x血x-2x+1,则m()在(0，+o)上的零点个数与切点P的个数一一对应. m(x)=lnx-1,令m'(x)=lnx-1=0解得x=e. 当x变化时，m(),m(的变化情况如下表： x (0,e) e (e,+o) m'(x) 0 × m(x) 减 极小值 增 所以m()在(0，c)上单调递减，在(C,+o)上单调递增. m(e)=exIne-2e+1=-e+1<0 m(e2)=e2×lne2-2e2+1=1>0 所以m()z心，和6e)上各有-个雪点，即hx-2x+1=0有两个不同的解. 所以过点(L,1)可作出y=血x的2条切线. (3)m<=2 20.解：(1)根据己知可得b=1,a2,a2=b2+c2, 所以b=1,c=1,a2=b2+c2=2, 2 所以椭圆E的方程为2 +y2=1 (2)由己知得，BC的斜率存在，且B，C在x轴的同侧， 设直线BC的方程为V=k(x-2）,B(,4),C(,不妨设<， 则>0，<1<， y=k(x-2) x2 由2+r1+242)2-8+2-20 8k2 8k2-2 所以4=81-2)）>0，+51+2E,方61+2， 因为5=2-=0--s=-0 所u58-4s-0-小- =4(s-0-x)年-23-2) =4[(+)-x-][-2(x+)+4 器是 w0-听-+ 4号=62-0-=6422-6- =16(2-[【+x广-4] 8k22 32k2-8 1+2k2 0-6 要使S,25.S意破等比数列，则应有+2=(-2)解得=1， 所以存在1=1，使得S,2 ?,S总成等比数列 21.解：(1)由题意得4+a,++a,=4, 且对于1≤i<j≤4，使得4，<0的正整数对()有1个， 由于1+2+1=4或1+3=4. 故所有4的1增数列有数列1,2,1和数列1,3. (2)当n-5时，存在m的6增数列， 即4+a+a,+a,+4=m,且对于1≤i<j≤5，使得4，<0的正整数对，）有6个， 所以数列a,}的各项中必有不同的项，所以m≥6且m∈N. 若m=6,满足要求的数列a,}中有四项为1，一项为2， 所以k≤4，不符合题意，所以m>6. 若m=7,满足要求的数列a,}中有三项为1，两项为2， 此时数列为1,1,1,2,2，满足要求的正整数对，)分别为1,4)，(2,4)，(（3,4)，（1,5)，(2,5)， (3,5) 符合m的6增数列， 所以当n=5时，若存在m的6增数列，m的最小值为7. (3)若数列a}中的每一项都相等，则k=0, 若k≠0，所以数列a,}中存在大于1的项， 若首项4≠1，将4拆分成4个1后k变大， 所以此时k不是最大值，所以4=1， 当i=2,3,,n时，若4>a1,交换4，a1的顺序后k变为k+1, 所以此时k不是最大值，所以a,≤a+1, 若4-4∈0,1，所以42a,+2, 所以将41改为41一1，并在数列首位前添加一项1，所以k的值变大， 所以此时k不是最大值，所以a14,∈{0，} 若数列a,}中存在相邻的两项4=2,41之3，设此时{0，}中有x项为2， 将a1改为2，并在数列首位前添加a1-2个1后，k的值至少变为k+1, 所以此时k不是最大值， 所以数列a,}的各项只能为1或2，所以数列a,}为1,1，，1,2,2，，2的形式. 设其中有x项为1，有y项为2， 因为存在100的k增数列，所以x+2y=100 所以k=y=(100-2y）y=-2y2+100y=-2(0y-25}2+1250 所以，当且仅当x=50,y=25时，k取最大值为1250.