精品解析：重庆市西南大学附属中学2026年8月人教版小升初（针对区县招生）数学试题

西附区县 数学 一、计算题（共31分） 1. 解方程。 2. 基础计算。 （1） （2） （3） （4） 3. 技巧计算。 （1） （2） （3） （4） 4. 已知，要求估算其数量级。 二、填空题（每题2分，共28分） 5. A和B合作做一件工作，合力需要12天完成，已知A单独做需要20天，则B单独做这件工作需要_________天。 6. 求最小的正整数N（按十进制写）。使得N的各位数字之积等于36，最小的这样的N是_________。 7. 的个位数字（即末位）是_________。 8. 把除以7，得到的余数是_________。 9. 数255的质因数分解中，最大的质因数是_________。 10. 如图在一个由小正方形构成的方格（3列、2行，共6个小格）上，问方格上所有可能的矩形（包括正方形）共有_________个。 11. 把7个相同的小球任意放入4个盒子，每个盒子都不空的放法有_________种。 12. 在整数集合上定义新的二元运算“*”为，已知按从左到右的结合顺序计算，即，则的值为_________。 13. 已知实数满足，求_________。 14. 时针和分针在2点之后第一次重合发生在距约_________分处。 15. 已知两个数的和是50，差是6，这两个数分别是_________和_________，它们的积是_________。 16. 一个人有3件上衣、4条裤子、2顶帽子，穿衣时每件都可以任意搭配（可任意选择上衣、裤子、帽子各一件），共有_________种不同的穿法。 17. 从7本不同的书中任意取出3本按顺序摆放在书桌上，有_________种不同的摆放方法。 18. 把正整数n分成两个正整数和（即，、为正整数），当时，求的最大值，并写出此时和的取值，因此，最大值是_________，对应_________，_________。 三、解答题（19－20题各5分，21－23题各7分，共31分） 19. 求图中的阴影部分的面积。（单位：厘米，取3.14） 20. 一个水池有三个管：注水管A，注水管B和排水管C，A单独注满需要6小时，B单独注满需要8小时，C单独排空需要12小时，若三管同时打开（A，B注水，C排水），需要多少小时把空池注满？ 21. A、B两城相距210千米，甲车从A城出发开往B城，速度为60千米/时；乙车从B城同时出发开往A城，速度为15千米/时，两车在出发后多少小时相遇？并求相遇地点离A城有多少千米？ 22. 学校需要配制15升20%的某溶液，现有10%溶液和30%溶液两种可供混合，问需要各取多少升两种溶液才能配成15升20%的溶液？ 23. 求正整数解个数（x，y，z为正整数）使得，，，。并说明求解方法。 四、综合性问题（从A、B两题中选做一个，共10分） 24. 证明：对任意整数n，数一定能被30整除。 25. 对任意整数x定义一次操作为：把当前数乘3再加上5，即把x变为。若连续做4次这样的操作后得到结果848，求原来的整数是多少。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西附区县 数学 一、计算题（共31分） 1. 解方程。 【答案】 ； 【解析】 【分析】（1）先根据等式的性质2，方程两边同时乘5，再把方程转化为，再根据等式的性质1，两边同时减去，再同时加45，化简方程后，最后两边同时除以4.5即可。 （2）先根据乘法分配律化简方程，再根据等式的性质1，方程两边同时减，再同时减去1.8，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以0.08即可。 【详解】 解： 解： 2. 基础计算。 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）； （2）5； （3）1； （4）2 【解析】 【分析】（1）先算小括号里的减法，将小数转化为分数，再算中括号里的除法，最后算中括号外的除法； （2）把分数线看成除法，算式变成（2.4＋2.1×2）÷（1÷1.25＋）－×7，然后第一步先算括号里的乘法和除法，再算括号里的加法，接着算括号外的除法和乘法，最后算减法； （3）先算小括号里的除法，再算小括号里的加法，接着算中括号里的除法，然后算中括号里的减法，再算括号外的乘法，最后算括号外的减法； （4）先将括号里的分数除法转化成乘法，然后括号里的利用乘法分配律进行简便运算后，最后算括号外的乘法； 【详解】 ＝÷[（）÷] ＝÷[] ＝ ＝×10 ＝ ＝（2.4＋2.1×2）÷（1÷1.25＋）－×7 ＝（2.4＋2.1×）÷（1×）－×7 ＝（2.4＋5.4）÷（）－×7 ＝7.8÷1－×7 ＝7.8－ ＝ ＝×[7.5－（×4）÷2] ＝×[7.5－（）÷2] ＝×[7.5－3÷2] ＝×[7.5－] ＝×[] ＝ ＝ ＝1 ＝×6.2－5.8×－0.2×）× ＝×（0.8＋6.2－5.8－0.2）× ＝×1× ＝2 3. 技巧计算。 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）12497500；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）利用裂项相消的方法，把每一个分数拆成两个分数差的一半，中间的分数相互抵消，只计算首尾部分，简化运算。 （2）利用立方和的规律，先算出1到100全部数的立方和，再减去2到100所有偶数的立方和，偶数部分提取相同因数8，再套用立方和规律计算。 （3）分子用裂项相消，抵消中间项求出分子结果；分母通分相加，最后用分子除以分母，分数除法转化成乘倒数算出结果。 （4）利用立方和小规律，分子等于1加到10的和乘1加到10的和，和分母约分之后，只需要求1到10的总和，用（首数＋尾数）×个数÷2计算。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2）13＋33＋53＋…＋993 ＝（13＋23＋33＋…＋1003）－（23＋43＋63＋…＋1003） ＝（1＋2＋…＋100）2－[（2×1）3＋（2×2）3＋…＋（2×50）3] ＝[]2－[23×（13＋23＋…＋503）] ＝50502－[8×（1＋2＋…＋50）2] ＝50502－8×[]2 ＝25502500－8×12752 ＝25502500－8×1625625 ＝25502500－13005000 ＝12497500 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝1＋2＋3＋…＋10 ＝（1＋10）×10÷2 ＝11×10÷2 ＝110÷2 ＝55 4. 已知，要求估算其数量级。 【答案】 【解析】 【分析】先把1.01和0.99拆成和：展开和的时候，不带0.01的部分（即所有的1）刚好互相减掉，带偶数次0.01的项相减会直接抵消，带奇数次0.01的项相减会保留。所以分子，分母等于0.02，约分后得116.17，一百多的数量级是。 【详解】 二、填空题（每题2分，共28分） 5. A和B合作做一件工作，合力需要12天完成，已知A单独做需要20天，则B单独做这件工作需要_________天。 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查分数除法应用中的工程问题。解题关键是将工作总量看作单位“1”。根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出A和B合作的工作效率以及A单独做的工作效率。用合作效率减去A的效率得到B的效率，最后利用“工作时间＝工作总量÷工作效率”求出B单独做需要的天数。 【详解】1÷12＝ 1÷20＝ －＝－＝＝ 1÷＝1×30＝30（天） 答：B 单独做这件工作需要30天。 6. 求最小的正整数N（按十进制写）。使得N的各位数字之积等于36，最小的这样的N是_________。 【答案】 49 【解析】 【分析】位数越少，数本身越小，优先把36拆成尽可能少的1—9的单个数字（数字不能是0，否则乘积会变成0）。位数相同时，把小数字放在高位，得到的数更小。根据各位数字之积为36，将36分解为若干个一位数的乘积，找出位数最少且高位数字最小的组合。 【详解】确定最少位数：一位数最大是9，小于36，所以N至少是两位数。要使位数最少，分解出的因数个数应尽可能少，且不能包含1（因为包含1会增加位数而不改变积，使数值变大）。 分解36为两个一位数的乘积：4×9＝36，组成的两位数有49和94；6×6＝36，组成的两位数是66。 若分解为三个或更多一位数，如2×2×9＝36，位数为三位，数值一定大于两位数。 在49、94、66中，49＜66＜94。 所以最小的这样的N是49。 7. 的个位数字（即末位）是_________。 【答案】7 【解析】 【分析】一个数的乘方，它的个位数字只会由底数的个位决定，会不断重复出现，形成循环周期。先依次算出7的几次方的个位，找出循环周期；再用指数除以周期长度，根据余数判断72025对应的个位数字。 【详解】71＝7，个位是7 72＝49，个位是9 73＝343，个位是3 74＝2401，个位是1 75＝16807，个位是7 …… 个位周期是7，9，3，1，周期长度为4 2025÷4＝506……1 余数是1，对应周期中的第一个数字7。 8. 把除以7，得到的余数是_________。 【答案】 4 【解析】 【分析】分别求出23、24、25、26、……除以7的余数，总结出规律，然后判断出所求的余数是多少即可。 【详解】23÷7＝8÷7＝1……1 24÷7＝16÷7＝2……2 25÷7＝32÷7＝4……4 26÷7＝64÷7＝9……1 27÷7＝128÷7＝18……2 28÷7＝256÷7＝36……4 从23开始，除以7的余数分别是1、2、4，每3个为一个周期； （20－2）÷3＝18÷3＝6，所以220除以7的余数是4。 9. 数255的质因数分解中，最大的质因数是_________。 【答案】17 【解析】 【分析】分解质因数是将合数写成若干个质数相乘的形式，一般先从简单的质数试着分解，255分解质因数的结果为255＝3×5×17，质因数有3、5、17，最大的质因数是17。 【详解】对255分解质因数： 255÷3＝85 85÷5＝17 所以255＝3×5×17 质因数有3、5、17，最大的质因数是17 10. 如图在一个由小正方形构成的方格（3列、2行，共6个小格）上，问方格上所有可能的矩形（包括正方形）共有_________个。 【答案】18 【解析】 【分析】单个小格的矩形（都是正方形）：一共6个；由2个小格拼成的矩形：横着拼的每行有2个，2行共4个；竖着拼的每列有1个，3列共3个，加起来7个；由3个小格拼成的矩形：只有横着把一行3个小格连起来的情况，共2个；由4个小格拼成的矩形：能找到2行2列的组合，一共2个；由6个小格拼成的大矩形：把全部6个小格合起来的1个大长方形。再把所有数量相加即可。 【详解】6＋7＋2＋2＋1＝18（个） 11. 把7个相同的小球任意放入4个盒子，每个盒子都不空的放法有_________种。 【答案】20 【解析】 【分析】将7分解为4个不为的自然数之和，找出所有可能的组合，再根据盒子的不同位置确定每种组合有几种不同的放法，最后利用加法原理，将所有组合的不同放法相加即可。 【详解】将7个小球分成4份，每份至少1个，共有以下3种组合情况（不考虑盒子顺序）： 4，1，1，1； 3，2，1，1； 2，2，2，1； 4，1，1，1组合：有1个盒子放4个，其余3个盒子各放1个。从4个盒子中选1个放4个小球，有4种选法。放法数量：4种； 3，2，1，1组合：放3个小球的盒子有4种选择，放2个小球的盒子有4－1＝3种选择，共有4×3＝12种选择； 2，2，2，1组合：有3盒相同，只有1盒不同，从4个盒子中选择1个盒子放1个小球，共有4种选择； 放法总数：4＋12＋4＝20（种） 12. 在整数集合上定义新的二元运算“*”为，已知按从左到右的结合顺序计算，即，则的值为_________。 【答案】59 【解析】 【分析】本题考查定义新运算的计算方法。根据题干给出的规则a*b＝a＋b＋ab，需要严格按照运算顺序，先算括号里面的2*3，得出结果后再与4进行同样的运算。解题关键是将具体的数代入公式中的字母位置，区分新运算符号“*”与普通乘号“×”，按照四则运算顺序进行计算。 【详解】根据定义a*b＝a＋b＋ab可知： 2*3 ＝2＋3＋2×3 ＝5＋6 ＝11 11*4 ＝11＋4＋11×4 ＝15＋44 ＝59 所以（2*3）*4＝59 13. 已知实数满足，求_________。 【答案】18 【解析】 【分析】我们可以根据＋2ab＋，将x＋＝3两边同时平方，从而求出的值，再根据＝（a＋b）（－ab＋），把x看成a，把看成b，可得＝（x＋）（－x×），把x＋和的值代入即可。 【详解】 ＋2×x×＝9 ＋2＋＝9 ＋2＋－2＝9－2 ＝（x＋）（－ x×）＝（x＋）（－1＋）＝3×（7－1）＝3×6＝18 14. 时针和分针在2点之后第一次重合发生在距约_________分处。 【答案】## 【解析】 【分析】钟表一周有12个大格，60小格，分针1分钟走1小格，时针1小时也就是60分钟走5小格（1大格），则1分钟走小格，2：00时，分针指着12，时针指着2，分针和时针相差10小格（2大格），根据追及问题，时间＝路程差÷速度差求出下一次重合时经过的时间即2点后第一次重合距2：00的时间。 【详解】10÷（1－） ＝10÷ ＝10× ＝ ＝（分钟） 15. 已知两个数的和是50，差是6，这两个数分别是_________和_________，它们的积是_________。 【答案】 ①. 28 ②. 22 ③. 616 【解析】 【分析】用假设法解决，假设两个数是相等的，它们的和还是50，用50除以2算出每个数是多少；但实际两个数的差是6，所以需要对假设的数进行调整，把其中一个数增加（6÷2），另一个数减少（6÷2）即可。 【详解】假设这两个数是相等的； 50÷2＝25 6÷2＝3 较大数：25＋3＝28 较小数：25－3＝22 28×22＝616 16. 一个人有3件上衣、4条裤子、2顶帽子，穿衣时每件都可以任意搭配（可任意选择上衣、裤子、帽子各一件），共有_________种不同的穿法。 【答案】24 【解析】 【分析】根据题意，一个人有3件上衣、4条裤子、2顶帽子，每件都可以任意搭配，那么从3件上衣中选择1件，有3种不同的选择；从4条裤子中选择1条，有4种不同的选择；从2顶帽子中选择1顶，有2种不同的选择，所以一共有（3×4×2）种不同的穿法。 【详解】3×4×2 ＝12×2 ＝24（种） 17. 从7本不同的书中任意取出3本按顺序摆放在书桌上，有_________种不同的摆放方法。 【答案】210 【解析】 【分析】从7本不同的书中取3本按顺序摆放，相当于有3个位置需要填书。第一个位置有7种选法，第二个位置有6种选法，第三个位置有5种选法。将每一步的选法数量相乘，即可得到总的摆放方法数。 【详解】摆放第一本书有7种选择；摆放第二本书有6种选择；摆放第三本书有5种选择。 7×6×5 ＝42×5 ＝210（种） 18. 把正整数n分成两个正整数和（即，、为正整数），当时，求的最大值，并写出此时和的取值，因此，最大值是_________，对应_________，_________。 【答案】 ①. 2500 ②. 50 ③. 50 【解析】 【分析】根据“两个数越接近乘积就越大”可知，当时，与的乘积最大，据此确定和的取值，并计算出它们的积。 【详解】当时，即；，当时，与的乘积最大，最大值是，对应，。 三、解答题（19－20题各5分，21－23题各7分，共31分） 19. 求图中的阴影部分的面积。（单位：厘米，取3.14） 【答案】22.26平方厘米 【解析】 【分析】通过观察可得：阴影部分的面积＝大三角形的面积－正方形内四分之一圆之外的空白部分的面积，先计算包含阴影的大三角形的面积，大三角形底为（6＋4）厘米、高为6厘米，利用三角形面积公式计算。再计算正方形内四分之一圆之外的空白部分的面积，先求边长为6厘米的正方形的面积，再求半径为6厘米的四分之一圆的面积，用正方形面积减去四分之一圆面积得到该空白部分的面积。最后用大三角形面积减去正方形内四分之一圆之外的空白部分的面积即可得到阴影部分面积。(取3.14） 【详解】大三角形的面积： （6＋4）×6÷2 ＝10×6÷2 ＝60÷2 ＝30（平方厘米） 正方形的面积：6×6＝36平方厘米 四分之一圆的面积是： ×3.14×62 ＝×3.14×36 ＝0.785×36 ＝28.26（平方厘米） 正方形内四分之一圆之外的空白部分的面积：36－28.26＝7.74（平方厘米） 阴影部分的面积：30－7.74＝22.26（平方厘米） 20. 一个水池有三个管：注水管A，注水管B和排水管C，A单独注满需要6小时，B单独注满需要8小时，C单独排空需要12小时，若三管同时打开（A，B注水，C排水），需要多少小时把空池注满？ 【答案】小时 【解析】 【分析】将水池总容量看作单位“1”。根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出A、B两根注水管的注水效率与排水管C的排水效率；两根注水管效率之和减去排水管效率，得到三管齐开时每小时的净注水效率；再用工作总量÷净注水效率，求出注满空池的时间。 【详解】 （小时） 答：需要小时把空池注满。 21. A、B两城相距210千米，甲车从A城出发开往B城，速度为60千米/时；乙车从B城同时出发开往A城，速度为15千米/时，两车在出发后多少小时相遇？并求相遇地点离A城有多少千米？ 【答案】2.8小时；168千米 【解析】 【分析】根据相遇时间＝总路程÷速度和，代入数值求出相遇时间；再根据路程＝速度×时间，用甲车速度乘时间，可求出距A城的距离。 【详解】速度和：60＋15＝75（千米/时） 相遇时间：210÷75＝2.8（小时） 距A城距离：60×2.8＝168（千米） 答：两车在出发后2.8小时相遇，相遇地点离A城有168千米。 22. 学校需要配制15升20%的某溶液，现有10%溶液和30%溶液两种可供混合，问需要各取多少升两种溶液才能配成15升20%的溶液？ 【答案】需要取的溶液7.5升，的溶液7.5升。 【解析】 【分析】采用鸡兔同笼的假设法，把两种溶液看成 “鸡和兔”，总容量 15 升是总头数，溶质总量是总脚数。先算出目标溶液的溶质总量，假设全为高浓度溶液，假设出的溶质比实际溶质多，每把1升30%溶液换成1升10%溶液，溶质会减少30%－10%＝20%，再推算出两种溶液的体积。 【详解】配15升20%的溶液，溶质：15×20%＝3（升） 假设15升溶液全部是30%的溶液，溶质有：15×30%＝4.5（升） 比实际溶质多：4.5－3＝1.5（升） 每替换1升，溶质减少：30%－10%＝0.2 10%的溶液：1.5÷0.2＝7.5（升） 30%的溶液：15－7.5＝7.5（升） 答：需要取10%的溶液7.5升，30%的溶液7.5升才能配成15升20%的溶液。 23. 求正整数解个数（x，y，z为正整数）使得，，，。并说明求解方法。 【答案】正整数解共有55个。求解方法：采用固定变量枚举法，固定其中一个未知数的取值，将三元方程转化为二元方程，数出每个取值对应的正整数解个数，再将所有个数相加，计算总个数。 【解析】 【分析】三个正整数的和为12，可通过固定一个未知数，把三元问题简化为二元正整数解问题，逐一枚举后累加数量，计算得出总数。 【详解】因为、、均为正整数，所以，，。 x＋y＋z＝12，的最大取值为： 当x＝1时，y可以取1，2，3，4，5，6，7，8，9，10， x、y的每一组取值，z都有唯一一个值对应，共有10种情况； 当x＝2时，y可以取1，2，3，4，5，6，7，8，9，共有9种情况； 当x＝3时，y可以取1，2，3，4，5，6，7，8，共有8种情况； 当x＝4时，y可以取1，2，3，4，5，6，7，共有7种情况； 当x＝5时，y可以取1，2，3，4，5，6，共有6种情况； 当x＝6时，y可以取1，2，3，4，5，共有5种情况； 当x＝7时，y可以取1，2，3，4，共有4种情况； 当x＝8时，y可以取1，2，3，共有3种情况； 当x＝9时，y可以取1，2，共有2种情况； 当x＝10时，y可以取1，共有1种情况； 合计共有解法：10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个） 答：正整数解共有55个。求解方法：采用固定变量枚举法，固定其中一个未知数的取值，将三元方程转化为二元方程，数出每个取值对应的正整数解个数，再将所有个数相加，计算总个数。 四、综合性问题（从A、B两题中选做一个，共10分） 24. 证明：对任意整数n，数一定能被30整除。 【答案】30＝2×3×5，2、3、5两两互质，只需证明n5－n能同时被2、3、5整除。 n5－n＝n（n4－1） ＝n（n2－1）（n2＋1） ＝n（n－1）（n＋1）（n2＋1） n－1、n、n＋1是三个连续整数，其中必有一个偶数，因此n（n－1）（n＋1）是2的倍数，所以n5－n能被2整除。 三个连续整数中必有一个是3的倍数，因此n（n－1）（n＋1）是3的倍数，所以n5－n能被3整除。 整数除以5的余数只能是0、1、2、3、4，分五种情况讨论： 余数为0：n是5的倍数，乘积是5的倍数； 余数为1：n－1是5的倍数，乘积是5的倍数； 余数为2：n2＝2×2＝4，n2＋1＝4＋1＝5，是5的倍数，乘积是5的倍数； 余数为3：n2＝3×3＝9，n2＋1＝9＋1＝10，是5的倍数，乘积是5的倍数。 余数为4：n＋1是5的倍数，乘积是5的倍数； 因此n5－n能被5整除。 综上，n5－n能同时被2、3、5整除，所以一定能被30整除。 【解析】 【分析】要证明n5－n能被30整除，先将30分解为2×3×5，三个数两两互质，只需证明n5－n能同时被2、3、5整除。将式子变形为三个连续整数与n2＋1的乘积，借助连续整数的性质可直接证明能被2和3整除，再分类讨论验证能被5整除即可。 【详解】略 25. 对任意整数x定义一次操作为：把当前数乘3再加上5，即把x变为。若连续做4次这样的操作后得到结果848，求原来的整数是多少。 【答案】 8 【解析】 【分析】根据题意，假设3x＋5＝b，b为每次求得的结果，则利用等式的基本性质1和等式的基本性质2，先同时－5，再同时÷3，求得当前数x＝（b－5）÷3，据此计算4次即可得到原数x。 【详解】第4次操作前的数：（848－5）÷3＝843÷3＝281 第3次操作前的数：（281－5）÷3＝276÷3＝92 第2次操作前的数：（92－5）÷3＝87÷3＝29 第1次操作前的数（原数）：（29－5）÷3＝24÷3＝8 答：原来的整数是8。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $