3.6 正多边形（教学课件）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学课件聚焦正多边形的定义、与圆的关系及作图方法，通过蜂巢、雪花、足球等生活实例导入，搭建从生活到数学的学习支架，帮助学生建立正多边形与圆的内在联系。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过实例抽象定义，作图与定理推导发展数学思维，如垂直平分线找圆心，典例分析强化数学语言应用，如正六边形面积计算。助力学生提升几何直观，教师可高效开展教学。

3.6 正多边形 第三章 圆的基本性质 浙教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解正多边形的定义，能说出正多边形需要同时满足各边相等、各内角相等两个条件；知道正多边形外接圆、圆内接正多边形的概念，记住任意正多边形都存在外接圆。 能识别正三角形、正方形、正五边形、正六边形等常见正多边形，会判断一个多边形是否为正多边形，初步感知正多边形与圆之间的内在联系。 通过认识正多边形及其外接圆，感受几何图形的对称美，提升观察、归纳几何概念的能力，建立正多边形和圆相互关联的几何观念。 新课导入 情境创设：生活中的正多边形 我们生活在一个充满几何之美的世界里。从自然界的鬼斧神工到人类的智慧创造，正多边形以其独特的对称性与稳定性，成为了构成美好事物的基础元素，在生活中随处可见。 蜂巢 · 高效的自然建筑 由无数个正六边形紧密拼接而成，以最少的材料构建出最稳固且空间利用率最高的结构，是自然界中“最优化”的几何应用典范。 雪花 · 天然的几何结晶 每一片雪花的核心结构单元都是完美的正六边形，这种对称的几何形态源于水分子在结晶过程中的自然排列，展现了微观世界的数学之美。 3 新课导入 情境创设：生活中的正多边形 正多边形不仅存在于自然界的精妙构造中，更被广泛应用于人类的创造之中。从建筑装饰的几何纹样，到体育用品的结构设计，它们以独特的对称之美与秩序感，成为连接抽象数学与现实生活的桥梁。 建筑美学的秩序感 六边形蜂窝状的装饰纹样，以其稳固的结构和重复的韵律，赋予建筑独特的几何美感与视觉张力，展现了正多边形在空间设计中的经典应用与美学价值。 运动器材的几何拼接 经典的足球表面由正五边形与正六边形无缝拼接而成。这种完美的几何组合不仅保证了球体的圆润与弹性，更直观地体现了数学规律在运动器材设计中的巧妙运用。 4 新知探究 新知探究：正多边形的定义 定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。这是判定一个多边形是否为正多边形的核心依据，二者缺一不可。 核心条件：双重标准 必须同时满足“各边相等”和“各角相等”两个条件。仅有边等（如菱形）或仅有角等（如矩形），都不能判定为正多边形。 命名规则：正 n 边形 若一个正多边形有 n 条边（n ≥ 3，且 n 为整数），则称其为“正 n 边形”。常见的有正三角形、正方形、正五边形等。 直观示例：如图所示，从左至右依次为正三角形、正方形、正五边形和正六边形。它们都完美契合“各边相等、各角相等”的几何特征。 5 新课探究 性质学习：正多边形与圆的关系 定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆，圆心即为正多边形的中心。 我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫作这个正多边形的外接圆,这个正多边形也就叫作圆内接正多边形。任何正多边形都有一个外接圆。 01 中心 正多边形外接圆（或内切圆）的圆心，是正多边形的对称中心，也是其旋转对称的中心。 02 半径 (R) 正多边形外接圆的半径，即从中心到任意顶点的距离，它决定了正多边形的大小范围。 03 边心距 (r) 正多边形内切圆的半径，即中心到任意一边的垂直距离，反映了正多边形的“内径”大小。 04 中心角 正多边形每一边所对的外接圆圆心角，计算公式为：中心角 = 360° / n（n为边数）。 6 新课探究 作图方法：如何作正多边形的外接圆 方法一：利用垂直平分线找圆心 01 选取两条边 在正多边形中任意选取两条不平行的边，这是确定圆心的基础步骤。 02 作垂直平分线 分别用尺规作图法，画出这两条边的垂直平分线，确保线条精准无误。 03 确定圆心 两条垂直平分线的交点即为正多边形的中心O，该点也是外接圆的圆心。 04 画外接圆 以中心O为圆心，以O到任意一个顶点的距离为半径，用圆规画圆即可。 7 新课探究 作图方法：通过等分圆周作正多边形 适用场景： 已知一个圆，求作它的内接正n边形 01 绘制基础圆 设定半径为R，用圆规画一个圆⊙O。这是作图的基础，它决定了正多边形的外接圆大小，是后续等分的基准。 02 等分圆周 量角器法：计算中心角(360°/n)，依次画出角与圆相交。 圆规法：保持半径不变，从圆上一点截取等弧，快速得到等分点（适用于正六边形等）。 03 连接成多边形 用直尺依次连接圆周上的所有等分点，首尾相接。最终形成的封闭图形即为该圆的内接正n边形，各边相等且内角相等。 💡 关键提示： 等分圆周的精度直接决定了正多边形的规整度，对于特殊多边形（如正六边形），利用圆规截取半径长的弧是最高效的方法。 8 典例1 从一个正方形的铁皮里，剪下一个最大的圆，已知圆的周长 是25.12cm，那么正方形的面积比圆的面积多百分之几?(结果 精确到0.1%，其中π取3.14) 典例分析 解：设圆的周长为c，半径为r，正方形边长为a, r===4cm, ∴S圆=πr2=π×4²=16π, ∵最大的圆，直径与正方形的边长相等， ∴a=2r=2×4=8cm,∴S正=a2=8²=64cm2, ==≈0.2739≈27.4% 练一练 如图是边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形，以顶 点A为圆心，AB长为半径画圆，则阴影部分的面积是? 典例分析 解：如图，边长均为6的正八边形和正六边形的组合图形， ∴∠BAG==135°, ∠CAG==120° ∴∠BAC=360°-135°-120°=105°, S阴影部分==π 典例分析 中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是园林造景的点睛之笔．如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭追昔亭，该亭的基座平面可近似看作半径为2m的正六边形，则此正六边形的面积是？. 典例2 解：∵如图，过点O作OD⊥AB交AB于点D ∵正六边形，∴OA=OB∠AOB=360°÷6=60°, ∴△AOB为等边三角形. ∴OA=OB=AB=2m，AD=DB=AB=1m. 在Rt△AOB中，OD⊥AB,AO=2m,AD=1m, OD===m S▲AOB=AB·OD=m2 ∵正六边形含有全等的6个正三角形， S正六边形=6S▲AOB=6m2. 练一练 正六边形蜂巢的建筑结构密实度最高 用材最少、空间最大、也最为坚固。如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形ABCDEF，则BF的长为？ 典例分析 解：如图，作AM⊥BF于点M, 由题知，AF=AB=8， ∠BAF=180°=120°, ∴∠AFB=∠ABF=30°, ∴BM=FM，AM=AF=4， ∴FM==4, ∴BF=2FM=8· 典例分析 如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为上的一点，连接BM，CM. 典例3 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∵AB=CD, ∴= ∵BM=CM, ∴=, ∴-=- ∴=, M为的中点 (1)若BM=CM，求证：M为的中点. 典例分析 如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为上的一点，连接BM，CM. 典例3 (2)解：∵正方形的面积为4, ∴正方形的边长为2, 连接OC、OD, ∴△OCD是等腰直角三角形， ∴OC=CD=，即圆的半径为 (2)若正方形的面积为4，请直接写出⊙O的半径. 典例分析 如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM. 练一练 (1)求证：BM=CM; 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CD, ∴· ∵M为的中点， ∴= ∴= ∴BM=CM; 典例分析 如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM. 练一练 (2)连接OB、OM，求∠BOM的度数. (2)连接OA、OB、OM. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AOB=90°. ∵M为弧AD的中点， ∴∠AOM=45°, ∴∠BOM=∠AOB+∠AOM=135°. 课堂小结 课堂小结 · 重点回顾 01 一个定义 正多边形是指各边相等、各角也相等的多边形。它是兼具对称性与规律性的几何图形，也是我们研究圆与多边形关系的基础模型。 02 两大关系 ① 与圆共生：正多边形必有外接圆和内切圆，且两圆同心；② 元素关联：中心角=360°/n，内角与中心角互补，半径、边心距与边长之半构成直角三角形。 03 三个核心概念 掌握三个关键要素：中心（外接圆与内切圆的圆心）、半径（外接圆半径R）、边心距（内切圆半径r）。这三者是解析正多边形几何性质的关键。 04 两种作图方法 ① 找圆心法：利用外接圆性质确定圆心后绘制；② 等分圆周法：将圆n等分，依次连接各分点即可得到正n边形，是几何作图的核心技巧。 课堂练习 1. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为 上的一点（点P不与点C重合），则∠CPD的度数为（ ） A. 36° B. 45° C. 60° D. 72° 课堂练习 2.在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是 ( ). A. 3π B. 5π C. 7π D. 9π 课堂练习 3.五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子(C60)中的微粒像足球一样团结在一起，一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示）.如图②，在正六边形ABCDEF中，连接BE，若BE=18，则正六边形ABCDEF的边长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 课堂练习 4.如图是个报警装置，由一个正六边形的可旋转阀门和触碰装置P组成，且AP=BP，将阀门绕其中心O旋转，当正六边形的顶点恰好与P重合时，报警器会发出警报，此时阀门至少旋转了（ ）度. A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 课堂练习 5.如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB长为半径画圆.若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的周长是_____. 4π 课堂练习 6.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2cm， ⊙O是它的外接圆，则阴影部分的面积____ cm2 $