精品解析：北京市朝阳区北京中学2026-2027学年高三上学期定位考试数学试卷

2027届高三数学定位考试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 3. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 若直线被圆所截得的弦的长度为，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 碳的半衰期约为年（即碳大约每过年衰减为原来的一半），经过年后，碳的含量 （为常数），从亿年到亿年，碳含量占比由变为 ，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，D是以BC为直径的圆上一点，则的最大值为（ ） A. 12 B. C. D. 9. 如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器底面一边 于地面上，再将容器以 为轴顺时针旋转，给出以下四个命题： ①有水的部分始终是棱柱； ②水面所在四边形 为矩形且面积不变； ③棱 始终与水面平行； ④当点 在棱 上且点 在棱 上（均不含端点）时， 不是定值. 则正确命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为_____. 12. 设 ，则 ____________.（要求用数字作答） 13. 若函数 ，则 的最大值为 _____；若 的最小正周期为 ， 则满足条件“ 是偶函数”的 的一个值为 ________（写出一个满足条件的 即可）. 14. 在直角坐标系 中，直线l过抛物线 的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为 则 的面积为 ________. 15. 已知数列 满足 ， ，则下列命题正确的有 _________. ① 是递减数列； ② ； ③ ； ④ . 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，已知，． （1）求的值； （2）若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，在四棱锥 中，侧面 平面 ， 是边长为2的等边三角形，底面 为直角梯形，其中 ， ， ， 为线段 中点，连接 . （1）证明： 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 18. 某家电专卖店销售、、三种型号的空调，销售情况如下表所示： 第一周 第二周 第三周 第四周 型数量（台） 型数量（台） 型数量（台） （1）从前三周随机选一周，求这一周型空调销售量既比型空调多又比型空调多的概率； （2）根据以往的销售和维修记录，一台型空调、型空调在销售后五年内需要维修的概率分别为、.为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店售出的型空调中随机抽取一台，型空调中随机抽取两台，试估计抽取的三台空调在销售后五年内恰有两台需要维修的概率； （3）直接写出一组、、的值，使得表中三种类型的空调在前四周销售台数的方差相等. 19. 已知椭圆过点，且，为坐标原点，平行于的直线l交椭圆于A，B两个不同的点. （1）求椭圆方程 （2）求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形. 20. 设函数，点在曲线上. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数的单调性； （3）设，若存在极值，求的取值范围. 21. 已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P. （1）判断下列数列是否具有性质P； ①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32. （2）已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值； （3）若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学定位考试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出，利用补集概念求出答案. 【详解】，故. 故选：A 2. 已知复数，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求得，再求复数的模即可. 【详解】由题意， 则. 故选：D. 3. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的值，进而求出离心率即可. 【详解】由双曲线方程，可知，，即，， 又因为双曲线的渐近线， 所以，解得，所以，则， 所以双曲线的离心率，故A正确. 4. 若直线被圆所截得的弦的长度为，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件计算圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式可得结果. 【详解】由题意得，圆的圆心坐标为，半径. ∵弦长， ∴圆心到直线的距离，即点到直线的距离为2， ∴，解得或. 故选：C. 5. 设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由，分和两种情况讨论公比取值，即可判断. 【详解】若“数列为递减数列”，易得， 若“对任意的正整数，”， ， 当时，由，得， 解得：或， 若，则，此时，与已知矛盾； 若，则，由指数函数单调性可知单调递减； 当时，由，得， 解得：或， 若，则，此时，与已知矛盾； 若，则，由指数函数单调性可知单调递减； 综上可知：若，可判断数列为递减数列， 所以“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的充要条件， 故选：C 6. 对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据锐角三角函数值的范围结合两角和差公式判断A、B；令，结合倍角公式检验判断C；根据三角函数的单调性判断D. 【详解】若为锐角，则 ，A错误； ，B错误； 令，则，即 ∵，则 ∴且，则，C错误； 令 ∵，则在上单调递减，则 ∴ 又∵，则，D正确； 故选：D. 7. 碳的半衰期约为年（即碳大约每过年衰减为原来的一半），经过年后，碳的含量 （为常数），从亿年到亿年，碳含量占比由变为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设经过亿年后，碳的含量为，经过亿年后，碳的含量为，由条件确定，，再判断结论. 【详解】设经过亿年后，碳的含量为，经过亿年后，碳的含量为， 由已知 ，， 所以，， 所以. 8. 在中，，D是以BC为直径的圆上一点，则的最大值为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图分析，将的最大值转化为点到圆上一点距离的最大值求解即可. 【详解】如图： 取BC，BD中点E，G，可知，且， 取BE的中点O，则G为圆O上一点，所以最大值为， 故的最大值为12. 故选：A. 9. 如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器底面一边 于地面上，再将容器以 为轴顺时针旋转，给出以下四个命题： ①有水的部分始终是棱柱； ②水面所在四边形 为矩形且面积不变； ③棱 始终与水面平行； ④当点 在棱 上且点 在棱 上（均不含端点）时， 不是定值. 则正确命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】抓住棱柱定义和线面平行判定分析空间位置关系；水的体积恒定，旋转时横截面积不变，用来判断乘积是否为定值. 【详解】①有水部分的几何体，有两个面都垂直于，这两个面始终平行，若在棱上，由面面平行的性质知，//，而//，并且始终与水面平行，即有//，所以////EH，因此该几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱； 若点在棱上， EH //，因此该几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，①正确； ②水面是矩形，长度固定，但另一边会随旋转角度改变，因此矩形面积会变化，②错误； ③长方体中；平行于水面，不在水面平面内，由线面平行判定定理，水面，③正确； ④当点在棱上且点在棱上(均不含端点)时，有水部分的棱柱的底面为三角形，而水的体积不变，高不变，则底面面积不变， 即是定值， ④错误. 综上，①③正确，共个. 10. 已知函数的定义域为，若是奇函数，且，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由中，令，得到，求得，得到A不一定正确，C错误；又由中，令，，可判定B错误，D一定正确. 【详解】因为是奇函数，且， 在中，令，可得， 所以， 所以，，故A不一定正确，C错误. 在中，令，可得， 因为函数是上的奇函数，所以，所以， 所以， 所以，，所以B错误，D一定正确. 故选：D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由分式分母不为零、平方根被开方数不小于零即可求得. 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为： 12. 设 ，则 ____________.（要求用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别令和，两个等式相减即可求解. 【详解】根据题意，令，可得， 令，可得， 两式相减得， 所以. 13. 若函数 ，则 的最大值为 _____；若 的最小正周期为 ， 则满足条件“ 是偶函数”的 的一个值为 ________（写出一个满足条件的 即可）. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】形如，先用辅助角公式化成，振幅|就是函数最大值；正弦型函数为偶函数时，相位要等于，据此解出参数. 【详解】， 因为的最大值为，所以的最大值是； 由 的最小正周期，得， 故，所以， ， 因为 是偶函数， 所以， 所以，取，得，满足条件. 14. 在直角坐标系 中，直线l过抛物线 的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为 则 的面积为 ________. 【答案】 【解析】 【详解】因为抛物线，所以焦点，又因为直线倾斜角为，可知直线为. 代入抛物线可知，解得，，因为位于轴上方，所以，. 15. 已知数列 满足 ， ，则下列命题正确的有 _________. ① 是递减数列； ② ； ③ ； ④ . 【答案】②④ 【解析】 【分析】①通过前后两项相减判断单调性.②通过函数单调性求解.③通过累乘法构造判断范围.④通过裂项相消法求解. 【详解】①因为，易知，故，所以是递增数列，错误. ②由于数列各项为正整数且是递增数列，由数学归纳法可证：, 假设，则， 故对所有的正整数成立，因此，正确. ③因为（当时取等），所以，错误. ④因为，所以，， ，正确. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，已知，． （1）求的值； （2）若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2） 条件①不能选；若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为. 【解析】 【分析】（1）转化已知条件求得，解得正弦定理，即可求得； （2）对条件①：求得，由其可为钝角，也可为锐角，从而判定三角形不唯一；对条件②，由，判定角唯一，且三角形唯一，再由正弦定理求得，以及，即可求得其面积；对条件③，求得，由，判定为锐角，三角唯一，同理求得，即可求得三角形面积. 【小问1详解】 因为，则， 又，，故，也即； 又，由正弦定理可得：，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，，又为锐角，故，又； 若选择条件①：，由正弦定理可得，解得， 此时，可以为锐角，也可以时钝角，故此时三角形有两解，不满足题意，条件①不能选择； 若选择条件②：，则，由正弦定理，可得； 此时，两角均为锐角，故三角形唯一， 且， 故三角形的面积； 若选择条件③：，又，解得， 因为，又为锐角，故也是锐角，此时，三角形唯一， 且， 故三角形的面积； 综上所述：条件①不能选；若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为. 17. 如图，在四棱锥 中，侧面 平面 ， 是边长为2的等边三角形，底面 为直角梯形，其中 ， ， ， 为线段 中点，连接 . （1）证明： 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 【答案】（1） 在四棱锥中，取的中点，连接， 由为的中点，且， 得，， 则四边形为平行四边形，所以． 而平面，平面， 所以平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理可证明； （2）利用面面垂直性质定理证明平面，进而证明直线，，两两垂直，然后建系，利用二面角的向量计算公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，．由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面， 由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线，，两两垂直， 如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，． 设平面的法向量为， 则，即，取，得． 设平面的法向量为， 则，即，取，得． 设平面与平面所成的角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为． 18. 某家电专卖店销售、、三种型号的空调，销售情况如下表所示： 第一周 第二周 第三周 第四周 型数量（台） 型数量（台） 型数量（台） （1）从前三周随机选一周，求这一周型空调销售量既比型空调多又比型空调多的概率； （2）根据以往的销售和维修记录，一台型空调、型空调在销售后五年内需要维修的概率分别为、.为跟踪调查空调的使用情况，从该家电专卖店售出的型空调中随机抽取一台，型空调中随机抽取两台，试估计抽取的三台空调在销售后五年内恰有两台需要维修的概率； （3）直接写出一组、、的值，使得表中三种类型的空调在前四周销售台数的方差相等. 【答案】（1） （2） （3），， 【解析】 【小问1详解】 由表格中的数据可知，第三周型空调销售量既比型空调多又比型空调多， 第一周和第二周均不满足要求， 故从前三周随机选一周，这一周型空调销售量既比型空调多又比型空调多的概率为. 【小问2详解】 记事件从该家电专卖店售出的型空调中随机抽取一台，型空调中随机抽取两台，抽取的三台空调在销售后五年内恰有两台需要维修， 包含两种情况：①抽取的一台型空调需要维修，抽取的两台型空调中有且只有一台空调需要维修； ②抽取的一台型空调不需要维修，抽取的两台型空调都需要维修. 故. 【小问3详解】 方差相等，即三组数据波动一样， 、、、， 、、、， 、、、， 一组可行解：，，， 三组数据离散程度相同，方差相等，答案不唯一， 此时组数据的平均数为，方差为； 组数据的平均数为，方差为； 组数据的平均数为，方差为. 所以，，满足题意. 19. 已知椭圆过点，且，为坐标原点，平行于的直线l交椭圆于A，B两个不同的点. （1）求椭圆方程 （2）求证：直线，与轴始终围成一个等腰三角形. 【答案】（1） （2）设直线 ， 的斜率分别为 ，，只需证明 即可. 设 ，，则 ，. 因为直线 平行于 ，， 所以可设直线的方程为. 联立，消去，得 . ，又 ， 所以 且 所以 ，， 又 ， 所以 ， 故直线 ， 与 轴始终围成一个等腰三角形. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组求解； （2）设直线，的斜率分别为，，问题转化为证明 ，设直线的方程为与椭圆联立方程组，利用韦达定理证明即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 20. 设函数，点在曲线上. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数的单调性； （3）设，若存在极值，求的取值范围. 【答案】（1）. （2）函数 的单调增区间为 ， 单调减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）求出，判断导数正负得解； （3）由题意可得，求导结合分，，讨论求解. 【小问1详解】 因为，所以， ，， 曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ，， 令得， 当时，，当时，， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为. 【小问3详解】 ，， 令， 则， ①当时，若，，即在上单调递减， 又，所以，在上单调递增； 当时，， 即在上单调递减， 又，所以，在上单调递减. 在取极大值， 符合. ②当时，若，，即在上单调递减， 若，，即在上单调递增， 因为，所以在定义域内恒成立， 在定义域内单调递增，无极值，不符合. ③当时，若，，即在上单调递增， 因为，所以，在上单调递增； 当时，，即在上单调递增， 因为，所以，在单调递减. 在取极小值，符合. 综上，的取值范围为. 21. 已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P. （1）判断下列数列是否具有性质P； ①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32. （2）已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值； （3）若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ①：3，1，7，5，具有性质P. ②：2，4，8，16，32，不具有性质P. （2）或 （3）存在，4045；一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045 【解析】 【分析】（1）根据数列具有性质的定义进行判断即可求解. （2）由具有性质，然后利用其性质对分奇偶进行讨论即可求解. （3）根据具有性质，然后利用其性质分别对，分情况讨论，从而其存在最小值，即可求解. 【小问1详解】 ①：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，而，所以具有性质P. ②：2，4，8，16，32，任意两项和的结果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10个，而，所以不具有性质P. 【小问2详解】 对于数列：2，4，8，16，32，m，任意两项和不同的取值最多有15个，所以.而：2，4，8，16，32中任意两项和的结果有10个，且全是偶数. （i）当为奇数时，都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则：2，4，8，16，32，中所有的值共有15个，所以. （ii）当为偶数时，都是偶数，所以. 所以. 时，在前项中任两项和的结果中未出现， 所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾. 时，，，这三个结果在前项中任意两项和的结果中未出现，所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾. 时，：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值有6，10，12，16，18，20，22，24，30，34，36，40，46，48共个，成立. 综上，或. 【小问3详解】 存在最小值，且最小值为. 将的项从小到大排列构成新数列：， 所以. 所以的值至少有个. 即的值至少有个，即. 数列：1，3，5，…，4043，4047，4045符合条件. ：1，3，5，…，4043，4047，4045可重排成等差数列：1，3，5，…，4045，4047， 考虑，根据等差数列的性质， 当时，；当时，， 因此每个等于中的一个， 或者等于中的一个. 所以：1，3，5，…，4045，4047中共有4045个不同值. 即：1，3，5，…，4043，4047，4045中共有4045个不同值. 综上，的最小值是4045，一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045. 【点睛】方法点睛：对于数列的新定义，可根据数列具有性质，根据其定义中所有不同值的个数作为解题的思路进行分类讨论，从而即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $