北京市朝阳区北京中学2026-2027学年高三上学期定位考试数学试卷

2027届高三数学定位考参考答案 选择题： ABACC DBABD 11. 12.122 13.【答案】2， （答案不唯一，也可以写，，符合即可） 14. 15. ②④ 16.【解】（I）因为，则 ， 又， 故，也即； 又，由正弦定理可得：， 解得. （II）由（1）可知，，又为锐角，故， 又； 若选择条件①：，由正弦定理可得，解得， 此时，C可以为锐角，也可以时钝角，故此时三角形有两解，不满足题意，条件①不能选择； 若选择条件②：，则， 由正弦定理，可得； 此时，A，B两角均为锐角，故三角形唯一， 且， 故三角形ABC的面积. 若选择条件③：，又， 解得，， 因为，又B为锐角，故A也是锐角， 此时，三角形唯一， 且， 故三角形ABC的面积； 综上所述：条件①不能选；若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为. 17.（I）在四棱锥 中，取 中点 ，连接 ，由 为 的中点，且 ，，得 ，， 则四边形 为平行四边形， 所以 ， 而 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （II）取 的中点 ，连接 ，，由 为等边三角形，得 ， 而平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 则 平面 ，由 ，，得四边形 是平行四边形， 于是 ，而 ，则 ，直线 ，， 两两垂直， 以 为坐标原点，直线 ，， 分别为 ，， 轴建立空间直角坐标系，如图， 则 ，，，，， ，， 设平面 的法向量为 ， 得 设平面 的法向量为 ， 得 设平面 与平面 夹角为 于是 ，， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . 18.（I）记事件M为“从前三周随机选一周，这一周A型空调销售量既比B型空调多又比C型空调多”， 根据已知，在三周中，有一周A型空调销售量既比B型空调多又比C型空调多， 所以 . （II）解：三台空调中恰有两台需要维修两种情况：（1）两台空调均为B型空调；（2）两台空调一台为A型空调，一台为B型空调. 需要维修的两台均为B型空调的概率为：， 需要维修的两台空调，一台为A型，一台为B型的概率为 ， 所以三台空调在销售后五年内恰有两台需要维修的概率为： . （III）解：，，. 19.已知椭圆 过点 ，且 ， 为坐标原点，平行于 的直线 l交椭圆于 ， 两个不同的点. （I）求椭圆方程； （II）求证：直线 ， 与 轴始终围成一个等腰三角形. 解：（I） （II）设直线 ， 的斜率分别为 ，，只需证明 即可. 设 ，，则 ，. 因为直线 平行于 ，， 所以可设直线的方程为. 联立，消去，得 . ，又 ， 所以 且 所以 ，， 又 ， 所以 ， 故直线 ， 与 轴始终围成一个等腰三角形. 20.解：（I） ， ， 曲线 在点 处的切线方程为 . （II） ，， 令 得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增. 所以函数 的单调增区间为 ， 单调减区间为 （III） ，， 令 ， 则 ①当 时， 若 ， ， 单调递增； 当 时， ， 单调 递减. 在 取极大值， 符合. ②当 时， ， 单调递增， 无极值， 不符合. ③当 时，若 ， 单调递增；当 时， ， 单调递减. 在 取极小值， 符合. 综上， 的取值范围为 21.（1）① ，，，，任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，而 ，所以具有性质 . ② ，，，，，任意两项和的结果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10个，而 ，所以不具有性质 . （2）对于数列 ，，，，，，任意两项和不同的取值最多有15个，所以 .而 ，，，， 中任意两项和的结果有10个，且全是偶数 （i）当 为奇数时， 都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则 ，，，，， 中所有 的值共有15个，所以 . （ii）当 为偶数时， 都是偶数，所以 . 所以 . 时， 在前5项中任两项和的结果中未出现， 所以 ，，，，， 中任意两项和的不同值的个数大于10，即 ，矛盾. 时，，， 这三个结果在前5项中任意两项和的结果中未出现，所以 ，，，，， 中任意两项和的不同值的个数大于12，即 ，矛盾. 时，，，，，， 中任意两项和的不同值有 6，10，12，16，18，20，22，24，30，34，36，40，46，48共14个，成立. 综上， 或 . （3） 存在最小值，且最小值为4045. 将 的项从小到大排列构成新数列 ，，，， 所以 . 所以 的值至少有 个. 即 的值至少有4045个，即 . 数列 ，，，，，， 符合条件. ，，，，，， 可重排成等差数列 ，，，，，， 考虑 ，根据等差数列的性质， 当 时，；当 时，， 因此每个 等于 中的一个， 或者等于 中的一个. 所以 ，，，，， 中 共有4045个不同值. 即 ，，，，，， 中 共有4045个不同值. 综上， 的最小值是4045，一个满足条件的数列 ，，，，，，. 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学定位考试卷 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1.已知集合 , ,则 A.{3,4} B.{0,3,4} C.{3,4,5} D.{0,3,4,5} 2.已知复数 , ,则 A. B.2 C. D.3 3.已知直线是双曲线的一条渐近线,则双曲线的离心率为 A. B. C.2 D. 4.若直线被圆所截得的弦的长度为 ,则 A.12 B.8 C.12或-8 D.8或-12 5.设数列是公比不为1的无穷等比数列,则“数列为递减数列”是“对任意的正整数,”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.对任意的锐角, ,下列不等关系中正确的是 A. B. C. D. 7.碳14的半衰期约为5730年(即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半),经过年后,碳14的含量 (为常数),从2亿年到3亿年,碳14含量占比由变为 ,则 A. B. C. D. 8.在中, , 是以为直径的圆上一点,则的最大值为 A.12 B. C. D. 9.如图,透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水,固定容器底面一边 于地面上,再将容器以 为轴顺时针旋转,给出以下四个命题: ①有水的部分始终是棱柱; ②水面所在四边形 为矩形且面积不变; ③棱 始终与水面平行; ④当点 在棱 上且点 在棱 上(均不含端点)时, 不是定值. 则正确命题的个数为: A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.已知函数 的定义域为R,若 是奇函数,且 ,则下列结论中一定正确的是 A. B. C. D. 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。 11.函数 的定义域是 . 12.设 ,则 .(要求用数字作答) 13.若函数 ,则 的最大值为 ;若 的最小正周期为 , 则满足条件“ 是偶函数”的 的一个值为 (写出一个满足条件的 即可). 14.在直角坐标系 中,直线l过抛物线 的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为 则 的面积为 . 15.已知数列 满足 , ,则下列命题正确的有 . ① 是递减数列; ② ; ③ ; ④ . 三、解答题共6小题,共85分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.在 中,已知 , . (I)求 的值; (II)若 为锐角,再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知,使 存在且唯一,求 的面积. 条件①: ; 条件②: ; 条件③: . 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分. 17.如图,在四棱锥 中,侧面 平面 , 是边长为2的等边三角形,底面 为直角梯形, 其中 , , , 为线段 中点,连接 . (I)证明: 平面 ; (II)求平面 与平面 夹角的余弦值. 18.某家电专卖店销售 ,, 三种型号的空调,销售情况如下表所示: 第一周 第二周 第三周 第四周 A型数量(台) 11 10 15 a B型数量(台) 14 9 13 b C型数量(台) 6 11 12 c (I)从前三周随机选一周,求这一周A型空调销售量既比B型空调多又比C型空调多的概率; (II)根据以往的销售和维修记录,一台A型空调,B型空调在销售后五年内需要维修的概率分别为 , .为跟踪调查空调的使用情况,从该家电专卖店售出的A型空调中随机抽取一台,B型空调中随机抽取两台,试估计抽取的三台空调在销售后五年内恰有两台需要维修的概率; (III)直接写出一组 ,, 的值,使得表中三种类型的空调在前四周销售台数的方差相等. 19.已知椭圆过点,且,为坐标原点,平行于的直线l交椭圆于A,B两个不同的点. (I)求椭圆方程 (II)求证:直线,与y轴始终围成一个等腰三角形. 20.设函数,点在曲线上. (I)求曲线在点处的切线方程; (II)设,讨论函数g(x)的单调性; (III)设,若h(x)存在极值,求t的取值范围. 21.已知各项均为正整数的有穷数列,,,满足,有. 若等于中所有不同值的个数,则称数列具有性质P. (I)判断下列数列是否具有性质P; ① ,,,;② ,,,,. (II)已知数列,,,,,具有性质P,求出m的所有可能取值; (III)若一个数列,,,具有性质P,则是否存在最小值?若存在,求出这个最小值,并写出一个符合条件的数列;若不存在,请说明理由. 学科网(北京)股份有限公司 $